Gustina tvari i gustina tijela

🎯 Cilj lekcije

Objasniti gustinu kao svojstvo tvari i zapisati je formulom ρ = m/V.
Izračunati masu iz gustine i zapremine te zapreminu iz mase i gustine.
Pročitati podatke iz tablice gustina i pretvarati g/cm³ u kg/m³.
Razlikovati gustinu tvari od gustine tijela i objasniti kada tijelo pliva, lebdi ili tone.

1. Šta je gustina?

Uzmi dvije kocke iste veličine: jednu od drveta, drugu od željeza. Zauzimaju isti prostor, ali željeznu jedva podigneš, a drvenu lako. Znači da u istom prostoru može biti više ili manje tvari. Ta razlika se zove gustina.

Gustina je masa jedinice zapremine tvari. Označavamo je grčkim slovom ρ (ro). Kaže se i da gustina pokazuje koliko mase dođe na svaki kubni metar zapremine.

Zamisli dvije posude od po jednog kubnog metra. Prvu napuniš vodom, drugu željezom. Voda u prvoj posudi ima masu 1000 kg, a željezo u drugoj 7870 kg. Zato kažemo da je gustina vode 1000 kg/m³, a gustina željeza 7870 kg/m³.

Gustina je svojstvo tvari: svaki homogen komad aluminijuma pri istoj temperaturi i pritisku ima istu gustinu, bio velik kao prsten ili kao prozorska greda. Zato se iz gustine može prepoznati od koje je tvari tijelo napravljeno.

2. Formula i izvedene veličine

Gustinu računamo tako što masu podijelimo zapreminom:

ρ = mV

Iz te jednačine izvodiš još dvije. Ako tražiš masu, gustinu pomnožiš zapreminom. Ako tražiš zapreminu, masu podijeliš gustinom:

m = ρ · V i V = mρ

SI jedinica gustine je kilogram po kubnom metru, oznaka kg/m³. U laboratoriji se često koristi i gram po kubnom centimetru, oznaka g/cm³. Veza među njima je:

1 g/cm³ = 1000 kg/m³

Provjeri to računom. Jedan gram je 0,001 kg, a jedan kubni centimetar je 0,000001 m³. Zato je 1 g/cm³ = 0,001 kg : 0,000001 m³ = 1000 kg/m³. Voda ima gustinu 1 g/cm³, odnosno 1000 kg/m³ — to je ista gustina zapisana u dvije jedinice.

💡 Zapamti Prije računa sve veličine svedi na isti sistem jedinica. Najsigurnije je: masa u kilogramima, zapremina u kubnim metrima, gustina u kg/m³. Tada se jedinice pokrate i rezultat ima smisla.

3. Tablica gustina

Gustina zavisi od tvari, a malo i od temperature. U tablici su vrijednosti na uobičajenoj sobnoj temperaturi, osim za vodu (na 4 °C) i zrak (na 0 °C).

Tvar	Gustina u kg/m³	Gustina u g/cm³
zrak	≈ 1,29	≈ 0,00129
drvo (bor)	≈ 500	≈ 0,5
voda	1000	1
aluminijum	2700	2,7
željezo	7870	7,87

Iz tablice se vidi zašto su neki predmeti teški iako su maleni. Aluminijumska kašika ima malu masu, ali ista zapremina željeza bila bi gotovo tri puta teža. Olovka od drveta pliva, a komad željeza iste veličine tone.

4. Gustina tvari i gustina tijela

Do sada smo govorili o tvari. Tijelo može biti napravljeno od jedne tvari ili od više njih, a može imati i šupljinu. Zato razlikujemo dva pojma:

Gustina tvari — svojstvo same tvari (npr. aluminijum 2700 kg/m³). Ne mijenja se ako od aluminijuma napraviš kašiku ili avion.
Gustina tijela — masa cijelog tijela podijeljena njegovom ukupnom zapreminom, uključujući i šupljine. Računa se istom formulom ρ = m/V.

Tijelo čiji su sastav i svojstva jednaki u svim njegovim dijelovima nazivamo homogenim. Ovdje posmatramo tijelo od jedne tvari bez šupljina. Kod homogenog tijela gustina tijela jednaka je gustini tvari. Ako tijelo ima šupljinu, njegova prosječna gustina je manja od gustine tvari od koje je napravljeno — u zapreminu ulazi i prazan prostor, a masa ne.

Primjer: šuplja aluminijumska kugla ima masu 270 g i vanjsku zapreminu 500 cm³. Njena prosječna gustina je 270 g : 500 cm³ = 0,54 g/cm³, odnosno 540 kg/m³. Gustina tvari je i dalje 2700 kg/m³, ali tijelo kao cjelina je „lakše“ jer je dio zapremine prazan.

Pliva, lebdi ili tone

Da li će tijelo plivati u vodi, odlučuje poređenje gustina, a ne masa samo po sebi:

Odnos gustina	Ponašanje u vodi	Primjer
ρ(tijela) < 1000 kg/m³	pliva — dio tijela je iznad površine	drvo (bor)
ρ(tijela) = 1000 kg/m³	lebdi — tijelo je potpuno uronjeno i stoji u vodi	tijelo prosječne gustine vode
ρ(tijela) > 1000 kg/m³	tone — padne na dno	aluminijum, željezo

Zato brod od željeza ne tone: nije homogen, nego šupalj, pa je prosječna gustina cijelog broda manja od gustine vode.

5. Isprobaj: gustina i plivanje

Odaberi masu i zapreminu tijela

Pomjeraj oba klizača i posmatraj tijelo u vodi. Kada je gustina tijela manja od gustine vode, tijelo pliva i dijelom je iznad površine. Kada je veća, tone na dno.

Masa tijela: 540 g Zapremina tijela: 200 cm³

Gustina tijela je 2700 kg/m³, više od gustine vode. Tijelo tone.

Laboratorijski izazov: prepoznaj nepoznati metal

Tri puna, homogena uzorka nemaju oznaku materijala. Predvidi možeš li prepoznati metal samo po masi. Zatim za izabrani uzorak izmjeri masu i zapreminu, izračunaj gustinu pa provjeri pretpostavku.

Nepoznati uzorak

Prati uzorak od vage do vode. Uporedi početni i završni nivo na jednako podijeljenim skalama; obojeni raspon pokazuje porast nivoa.

Početno očitanje: V₁ = 50 cm³. Izmjeri masu i završno očitanje.

Materijal	Gustina / (g/cm³)
Aluminij	2,7
Željezo	7,87
Bakar	8,9

Tvoja gustina / (g/cm³) Materijal

Za račun koristi razliku očitanja, a ne ukupnu zapreminu vode.

Model koristi idealna očitanja. Svi uzorci tonu, ne rastvaraju se u vodi i potpuno su uronjeni bez mjehurića zraka. Crtež uzorka i vaga su šematski; obje skale menzure i promjena nivoa vode koriste isti razmjer. Ljubičasta isprekidana linija označava početni nivo, a zeleni raspon porast nivoa vode.

6. Korak po korak: mjerenje gustine kamena

Zadatak: „Odredi gustinu kamena. Izmjeri masu vagom, a zapreminu potapanjem u menzuru s vodom. Rezultat upiši u kg/m³.“

1.Izmjeri masu Stavi kamen na vagu i očitaj masu. Upiši je s jedinicom, npr. m = 135 g.

2.Natoči vodu u menzuru Očitaj početnu zapreminu vode, npr. V₁ = 100 cm³. Očitavaj na nivou očiju, na dnu meniskusa.

3.Potopi kamen Kamen mora biti potpuno uronjen, bez prilijepljenih mjehurića. Spuštaj ga pažljivo da ne ošteti menzuru. Očitaj novu zapreminu V₂ = 150 cm³.

V(kamena)=V₂ − V₁ = 150 − 100 = 50 cm³ Kamen istisne onoliko vode kolika je njegova zapremina. Zato se zapremina dobije oduzimanjem.

ρ=m / V = 135 g / 50 cm³ = 2,7 g/cm³ Dobili smo gustinu u g/cm³. To je zgodno za brzu provjeru s tablicom.

ρ=2,7 · 1000 = 2700 kg/m³ Pomnoži sa 1000 da dobiješ SI jedinicu. Provjeri smisao: 2700 kg/m³ odgovara aluminijumu, ali to ne dokazuje da je kamen od aluminijuma: i druge tvari mogu imati sličnu gustinu.

7. Riješeni primjeri

Dva tipa zadatka: računanje gustine iz mase i zapremine te računanje mase ili zapremine iz gustine. U svakom tipu su tri primjera, od lakšeg ka težem.

Tip 1: od mase i zapremine do gustine

Primjer 1: komad aluminijuma

Komad aluminijuma ima masu 540 g i zapreminu 200 cm³. Odredi gustinu u g/cm³ i u kg/m³.

m=540 g Podaci: masa i zapremina. Traži se gustina.

V=200 cm³ Oba podatka su u „malim“ jedinicama, pa prvo računamo u g/cm³.

ρ=m / V = 540 / 200 Uvrsti podatke u formulu ρ = m/V.

ρ=2,7 g/cm³ = 2700 kg/m³ 2,7 · 1000 = 2700. Tablica potvrđuje: to je gustina aluminijuma.

Provjera⇒veće od vode 2700 kg/m³ > 1000 kg/m³, pa bi komad aluminijuma potonuo u vodi. Rezultat je moguć.

Primjer 2: komad željeza

Komad željeza ima masu 787 g i zapreminu 100 cm³. Odredi gustinu.

m=787 g Masa je data u gramima.

V=100 cm³ Zapremina je data u kubnim centimetrima.

ρ=787 / 100 = 7,87 g/cm³ Dijeljenje sa 100 pomjera zarez za dva mjesta ulijevo.

ρ=7870 kg/m³ 7,87 · 1000 = 7870. Tablica: to je gustina željeza.

Provjera⇒skoro 8 puta od vode Željezo je gušće od aluminijuma (2700 kg/m³), kako i očekujemo. Red veličine je dobar.

Primjer 3: ista tvar, druga veličina

Drugi komad aluminijuma ima masu 1,35 kg i zapreminu 500 cm³. Provjeri računom da oba komada imaju jednaku gustinu.

m=1,35 kg = 1350 g Za računanje u g/cm³ pretvori masu u grame: 1,35 · 1000 = 1350.

V=500 cm³ Zapremina je već u kubnim centimetrima.

ρ=1350 / 500 = 2,7 g/cm³ Isti rezultat kao u primjeru 1, iako je komad veći.

ρ=2700 kg/m³ Gustina je svojstvo tvari: ista homogena tvar pri istoj temperaturi i pritisku ima istu gustinu.

Zaključak⇒obje su aluminijum Da je gustina zavisila od veličine, veći komad bi dao drugi broj. Nije — zato je gustina svojstvo tvari.

Tip 2: od gustine do mase ili zapremine

Primjer 1: masa vode

Kolika je masa 2 dm³ vode? Gustina vode je 1000 kg/m³.

ρ=1000 kg/m³ Gustina vode je poznata i uzima se iz tablice.

V=2 dm³ = 0,002 m³ 1 dm³ = 0,001 m³, pa 2 dm³ = 0,002 m³. Zapreminu svodiš na kubne metre.

m=ρ · V = 1000 · 0,002 Koristi izvedenu formulu m = ρV.

m=2 kg Rezultat je 2 kg, odnosno 2000 g.

Provjera⇒2 L vode = 2 kg Iz iskustva znamo da flaša od dvije litre vode ima masu oko 2 kg. Račun se slaže sa iskustvom.

Primjer 2: masa aluminijumske kocke

Aluminijumska kocka ima zapreminu 200 cm³. Kolika je njena masa? Gustina aluminijuma je 2700 kg/m³.

ρ=2700 kg/m³ = 2,7 g/cm³ Gustinu pretvori u g/cm³ jer je zapremina data u cm³: 2700 : 1000 = 2,7.

V=200 cm³ Zapremina je data u kubnim centimetrima.

m=2,7 · 200 = 540 g Množenjem gustine i zapremine dobija se masa. Jedinice se poklapaju: g/cm³ · cm³ = g.

m=0,54 kg 540 : 1000 = 0,54. Isti rezultat u osnovnoj jedinici.

Provjera⇒0,54 kg u ruci To je masa koju lako držiš jednom rukom. Rezultat je moguć i red veličine je dobar.

Primjer 3: šuplja kugla

Zatvorena šuplja aluminijumska kugla ima masu 270 g i vanjsku zapreminu 500 cm³. Gustina aluminijuma je 2,7 g/cm³; masu zraka zanemari. Odredi njenu prosječnu gustinu i objasni da li pliva u vodi. Kolika bi bila zapremina pune kugle od iste tvari?

m=270 g Masa cijele kugle. Masu zraka u zatvorenoj šupljini zanemarujemo.

V=500 cm³ Vanjska zapremina kugle, uključujući i prostor šupljine.

ρ=270 / 500 = 0,54 g/cm³ To je prosječna gustina tijela: 0,54 · 1000 = 540 kg/m³.

540<1000 kg/m³ Gustina tijela manja je od gustine vode, pa kugla pliva.

V(puna)=270 g / 2,7 g/cm³ = 100 cm³ Puna kugla od aluminijuma iste mase bila bi mnogo manja. Razlika 500 − 100 = 400 cm³ je šupljina.

Provjera⇒moguće Gustina tijela je manja od gustine tvari, kako i mora biti kod šupljeg tijela. Rezultat je moguć.

⚠️ Česte greške

„Veće tijelo ima veću gustinu.“ Gustina ne zavisi od veličine. Komad aluminijuma od 100 g i od 2 kg imaju istu gustinu, 2700 kg/m³.
„1 g/cm³ = 100 kg/m³.“ Faktor je 1000, jer se i masa i zapremina pretvaraju. Tačno je 1 g/cm³ = 1000 kg/m³.
„Tijelo pliva ako je lakše.“ Ne poredi se masa, nego gustina. Veliki brod je teži od tebe, pa ipak pliva jer je njegova prosječna gustina manja od gustine vode.
„Šuplje tijelo ima manju gustinu tvari.“ Gustina tvari ostaje ista. Manja je prosječna gustina tijela, jer se u zapreminu računa i šupljina.

✅ Kviz — provjeri sebe (4 pitanja)

1. Kojom formulom računamo gustinu?

2. Koliko iznosi 1 g/cm³ u kg/m³?

3. Tijelo ima masu 270 g i zapreminu 100 cm³. Kolika je njegova gustina?

4. Koje tijelo pliva u vodi gustine 1000 kg/m³?

8. Primijeni i objasni

Samostalan zadatak: Komad nepoznate tvari ima masu 810 g i zapreminu 300 cm³. Odredi gustinu u g/cm³ i u kg/m³, uporedi je s tablicom i odgovori da li tijelo pliva, lebdi ili tone u vodi.

Provjeri rješenje i obrazloženje

ρ = m : V = 810 g : 300 cm³ = 2,7 g/cm³. U SI jedinicama to je 2,7 · 1000 = 2700 kg/m³.

Prema tablici, gustina 2700 kg/m³ odgovara aluminijumu. Pošto je 2700 kg/m³ > 1000 kg/m³, tijelo je gušće od vode i u vodi tone.

Provjera smisla: gustina je veća od gustine vode, ali manja od gustine željeza — takva vrijednost postoji i pripada aluminijumu.

Samostalno: tvar i šuplje tijelo

Zatvorena šuplja aluminijumska kugla ima masu 270 g i vanjsku zapreminu 400 cm³. Gustina aluminijuma je 2,7 g/cm³. Odredi prosječnu gustinu kugle, zapreminu samog aluminijuma i objasni zašto se te dvije gustine razlikuju. Da li će zatvorena kugla plivati u vodi?

Provjeri postupak

Gustina tijela je 270 g / 400 cm³ = 0,675 g/cm³ = 675 kg/m³. Zapremina aluminijuma je 270 g / (2,7 g/cm³) = 100 cm³; preostalih 300 cm³ je šupljina. Materijal ostaje gustine 2700 kg/m³, a prosječna gustina cijelog zatvorenog tijela je manja od 1000 kg/m³, pa kugla pliva. Pretpostavljamo zanemarivu masu zraka i da voda ne ulazi u šupljinu.

Pokušaj najprije samostalno. Ako zapneš, vrati se na simulaciju i na sliderima postavi m = 810 i V = 300, pa pogledaj šta se dešava s tijelom u vodi.

Veza s programom

Ključni sadržaji koje ovdje učiš: gustina tvari, gustina tijela, homogeno i šuplje tijelo, plivanje i tonjenje tijela.

Oblast A — Mjerenje (fizičke veličine), ishodi A.7.1, A.7.2 i A.7.3. Gustina tvari i gustina tijela navedene su u izvoru uz masu, dužinu, površinu, zapreminu, vrijeme i temperaturu. Predmetni kurikulum KS, 7. razred, štampana stranica 10. Raspored oblasti na portalu je urednički. Objašnjenja, primjeri i aktivnosti su autorski.