Položaj, pomak, putanja i pređeni put

🎯 Cilj lekcije

Zapisati položaj tijela koordinatom i razlikovati položaj od promjene položaja.
Izračunati pomak Δx = x₂ − x₁ i objasniti zašto on ima predznak.
Razlikovati putanju i pređeni put od pomaka.
Pokazati na kružnoj stazi da pomak može biti nula i kada je pređeni put velik.

1. Položaj i koordinata

Da bi opis kretanja bio precizan, prvo moramo znati gdje je tijelo. U referentnom sistemu s osom x položaj zapisujemo jednim brojem — koordinatom. Ako je ishodište na stubu stanice, autobus na 800 m prema istoku ima x = +800 m, a autobus 300 m prema zapadu x = −300 m.

Koordinata je dakle položaj, a ne put. Ona kaže gdje se tijelo nalazi u odabranom trenutku. Kada se tijelo kreće, njegova koordinata se mijenja — i ta promjena je prva veličina kojom opisujemo kretanje.

💡 Položaj nije put Položaj x = 800 m ne znači da je tijelo prešlo 800 m. Znači samo da je 800 m od ishodišta. Put je ono što je tijelo stvarno prešlo dok je dolazilo dovde.

2. Pomak Δx

Pomak je promjena položaja: od konačnog položaja oduzmemo početni.

Δx = x₂ − x₁

Pomak je vektor: ima iznos, pravac i smjer. U opisu duž jedne ose smjer prenosimo predznakom. Ako je x₁ = 20 m i x₂ = 140 m, tada je Δx = 140 m − 20 m = 120 m — pomak je 120 m u pozitivnom smjeru. Ako se tijelo vratilo s x₁ = 140 m na x₂ = 20 m, pomak je Δx = 20 m − 140 m = −120 m: isti iznos, suprotan smjer.

Dva važna svojstva pomaka:

Pomak zavisi samo od početnog i konačnog položaja, a ne od toga kojim je putem tijelo išlo.
Pomak ne mora biti jednak pređenom putu. Automobil koji se odveze 300 m i vrati nazad ima pomak 0 m, a pređeni put 600 m.

3. Putanja i pređeni put

Putanja je linija koju tijelo opisuje u prostoru: prava linija po autoputu, luk po kružnoj stazi, krivudava linija po planinskoj stazi. Pređeni put je dužina te putanje. Označavamo ga slovom s, mjerimo u metrima, i on je skalarna veličina — nikad nije negativan, samo raste dok se tijelo kreće.

Veličina	Oznaka	Jedinica	Vektor ili skalar	Može biti negativna?
Položaj	x	m	koordinata s predznakom	da
Pomak	Δx	m	vektor	da (smjer)
Pređeni put	s	m	skalar	ne

Kod pravolinijskog kretanja u jednom smjeru pomak i pređeni put imaju isti iznos, pa ih često poistovjećujemo. Čim se smjer promijeni ili putanja zakrivi, oni se razilaze — i tada se greške najlakše otkriju.

4. Kružna staza: pomak nula, put nije nula

Trkač istrči cijeli krug na stazi poluprečnika r = 32 m i vrati se na isto mjesto. Njegov početni i konačni položaj su identični, pa je pomak Δx = 0 m. A pređeni put je obim kruga:

s = 2 · π · r = 2 · 3,14 · 32 m ≈ 201 m

Dakle, za jedan krug: s ≈ 201 m, a Δx = 0 m. Za pola kruga: s ≈ 100,5 m, a pomak je jednak prečniku, Δx = 2r = 64 m, jer je najkraća linija od početka do kraja prečnik. Ovo je najjasniji primjer da pomak i pređeni put nisu isto.

⚠️ Pazi Pomak nije „pređeni put u pravoj liniji“. Pomak je vektor od početnog do konačnog položaja. Zato je na krugu nakon punog kruga nula, iako je trkač pretrčao 201 m.

5. Isprobaj: trkač na krugu

Povuci klizač i mijenjaj ugao φ koji trkač pretrči na kružnoj stazi poluprečnika 32 m. Plava linija je pređena putanja, a crvena strelica je pomak od početka do trenutnog položaja. Razmjer je stvaran.

Ugao φ: 0°

φ = 0° · pređeni put s = 0,0 m · iznos pomaka |Δr| = 0,0 m

Pomjeri klizač da trkač krene po kružnoj stazi.

Vrati se na početak — šta je ostalo od puta?

Kreni iz A, obiđi B, C i D i vrati se u A. Dionice gradi vodoravno ili uspravno kroz ponuđene tačke. Zatim sačuvaj drugu putanju s istim krajem i drugačijim putem. Sve možeš unijeti tastaturom, bez prevlačenja.

Tačke u metrima: A (0; 0), B (4; 0), C (4; 3), D (0; 3), E (2; 0), F (2; 3). Jedno polje mreže = 1 m u oba pravca.

Sljedeća tačka:

Plavo: cijela izgrađena putanja. Crvena strelica: pomak od A do trenutne tačke. Pri povratku u A pomak je nula i nema strelice smjera.

Pokušaj najprije A → B → C → D → A.

Sačuvana putanja	Pređeni put	Iznos pomaka

Za drugu putanju iskoristi E i F. Poredi dužine dionica, a zatim početni i krajnji položaj. „Nova putanja“ čuva ranije rezultate za poređenje.

6. Korak po korak: od putanje do pomaka

Zadatak: „Trkač istrči tri četvrtine kruga na stazi poluprečnika 40 m. Odredi pređeni put i pomak.“ Radi ovako, korak po korak.

1.Nacrtaj skicu Označi centar, početni položaj, smjer kretanja i konačni položaj. Skica odmah pokaže da pomak nije duž putanje.

r=40 m, φ = 3/4 kruga = 270° Zapiši zadato: poluprečnik i dio kruga izražen u stepenima ili razlomkom.

s=(3/4) · 2 · π · 40 ≈ 188,5 m Pređeni put je dužina luka, dakle odgovarajući dio obima kruga.

Δx=√(40² + 40²) ≈ 56,6 m Početni i konačni poluprečnik međusobno su okomiti. Iznos pomaka je hipotenuza pravouglog trougla s katetama 40 m i 40 m: koristi Pitagorinu teoremu.

Provjera⇒188,5 m > 56,6 m Pomak je manji od pređenog puta, kako i mora biti kada putanja nije prava linija.

7. Riješeni primjeri

Dva tipa zadatka: pomak na pravoj stazi i pomak na kružnoj stazi. U svakom tipu su tri primjera, od lakšeg ka težem.

Tip 1: pomak i pređeni put na pravoj stazi

Primjer 1: trkač u jednom smjeru

Trkač trči po pravoj stazi od položaja x₁ = 20 m do položaja x₂ = 140 m. Odredi pomak i pređeni put.

x₁, x₂=20 m, 140 m Oba položaja su na istoj osi i u metrima, pa pretvaranje nije potrebno.

Δx=140 − 20 = 120 m Pomak je konačni položaj minus početni. Predznak je pozitivan, dakle smjer je prema strelici ose.

s=120 m Kretanje je pravolinijsko u jednom smjeru, pa je put jednak iznosu pomaka.

Provjera⇒|Δx| = s = 120 m 120 m na stazi je oko pola minute trčanja pri 4 m/s — rezultat je moguć.

Primjer 2: trkač se vraća nazad

Trkač krene s položaja x₁ = 140 m i otrči do položaja x₂ = 20 m. Odredi pomak i pređeni put.

Δx=20 − 140 = −120 m Predznak minus znači da je smjer pomaka suprotan od pozitivnog smjera ose.

s=120 m Pređeni put je dužina putanje i ne može biti negativan: on je uvijek 120 m.

|Δx|=120 m = s Iznos pomaka jednak je putu jer je kretanje pravolinijsko, ali smjer je sada negativan.

Provjera⇒pomak −120 m, put 120 m Minus ne znači „manji put“, nego suprotan smjer. Zato se predznak piše uz pomak, a nikad uz pređeni put.

Primjer 3: automobil ide naprijed, pa se vraća

Automobil krene s položaja x₁ = −250 m, odveze se do x = 450 m, pa se vrati na x₂ = 150 m. Odredi pređeni put i pomak.

prvi dio=450 − (−250) = 700 m Od −250 m do 450 m pređeno je 700 m, jer se kod koordinate s predznakom rastojanje dobije razlikom.

drugi dio=450 − 150 = 300 m Automobil se vraća 300 m u suprotnom smjeru. Put se sabira bez obzira na smjer.

s=700 + 300 = 1000 m Pređeni put je zbir dužina svih dijelova putanje.

Δx=150 − (−250) = 400 m Pomak gleda samo početak i kraj: od −250 m do 150 m ukupno je 400 m u pozitivnom smjeru.

Provjera⇒1000 m > 400 m Pomak je manji od puta jer je automobil dio puta prešao vraćajući se — upravo zato se veličine razlikuju.

Tip 2: pomak i pređeni put na kružnoj stazi

Primjer 1: pola kruga

Trkač pretrči pola kruga na stazi poluprečnika 32 m. Odredi pređeni put i pomak.

r=32 m, φ = 180° Pola kruga znači da je pređeni ugao 180°, a ljudi kažu i „pola obima“.

s=(1/2) · 2 · 3,14 · 32 ≈ 100,5 m Put je dužina luka, dakle polovina obima kruga.

Δx=2 · r = 64 m Početna i konačna tačka su na suprotnim krajevima prečnika, pa je pomak jednak prečniku.

Provjera⇒100,5 m > 64 m Pomak je manji od puta, jer je putanja luk, a pomak tetiva. Pri brzini trčanja od 5 m/s to je 20 s rada.

Primjer 2: puni krug

Trkač istrči cijeli krug na stazi poluprečnika 32 m i zaustavi se na startu. Odredi pređeni put i pomak.

s=2 · 3,14 · 32 ≈ 201 m Puni obim kruga je pređeni put, bez obzira na to što se trkač vratio na početak.

x₁ = x₂⇒Δx = 0 m Početni i konačni položaj su ista tačka, pa je promjena položaja nula.

s ≠ Δx⇒201 m i 0 m Ovo je najjasniji dokaz da pređeni put i pomak nisu ista veličina.

Provjera⇒201 m ≈ 2 · 100,5 m Puni krug je dva puta pola kruga, pa se i pređeni put udvostručio, a pomak pao na nulu. Sve je logično.

Primjer 3: tri četvrtine kruga

Trkač istrči tri četvrtine kruga na stazi poluprečnika 40 m. Koliki je pređeni put, a koliki pomak?

s=(3/4) · 2 · π · 40 ≈ 188,5 m Tri četvrtine obima. Računaj s tipkom π, a rezultat zaokruži na kraju: s ≈ 188,5 m.

Δx=√(40² + 40²) ≈ 56,6 m Iznos pomaka je dužina tetive. Dva poluprečnika čine prav ugao, pa Pitagorina teorema daje √(40² + 40²).

smjer→od početne do konačne tačke Pomak je vektor: osim iznosa treba navesti i smjer, a to najlakše očitaš sa skice.

Provjera⇒56,6 m < 188,5 m Pomak je manji od prečnika 80 m, kako i mora biti: tetiva nikad nije duža od prečnika.

⚠️ Česte greške

„Pomak i pređeni put su isto.“ Jednaki su samo kod pravolinijskog kretanja u jednom smjeru. Na krugu je pređeni put 201 m, a pomak 0 m.
Negativan pređeni put. Put je dužina i nikad nije negativan. Predznak pripada pomaku i koordinati, jer oni nose smjer.
Računanje pomaka sabiranjem dijelova. Pomak se dobije oduzimanjem početnog od konačnog položaja. Sabiranje dijelova daje pređeni put.
Zaboravljen predznak koordinate. Od −250 m do 450 m nije 200 m, nego 700 m. Kod koordinata s predznakom uvijek računaj razliku, a ne „razmak između brojeva“.

✅ Kviz — provjeri sebe (4 pitanja)

1. Trkač istrči cijeli krug i vrati se na start. Šta vrijedi za pređeni put i pomak?

2. Tijelo se pomjerilo s položaja x₁ = 30 m na x₂ = 90 m. Koliki je pomak?

3. Šta je pređeni put?

4. Automobil se odveze 300 m prema istoku, pa 300 m prema zapadu. Koliki su pomak i pređeni put?

8. Primijeni i objasni

Samostalan zadatak: Trkač na kružnoj stazi poluprečnika 50 m istrči jedan i po krug. Odredi pređeni put i pomak, pa objasni zašto se te dvije vrijednosti toliko razlikuju.

Provjeri rješenje i obrazloženje

Obim staze je 2 · 3,14 · 50 m = 314 m. Jedan i po krug daje s = 1,5 · 314 m = 471 m. Nakon punog kruga trkač je na startu, a zatim pretrči još pola kruga i zaustavi se na suprotnoj strani staze. Početni i konačni položaj su tada na suprotnim krajevima prečnika, pa je pomak jednak prečniku: Δx = 2 · 50 m = 100 m. Razlika je velika zato što je putanja zakrivljena: pređeni put sabira cijeli luk, uključujući i onaj dio koji trkača vraća na početak, a pomak gleda samo ravnu liniju od početka do kraja. Provjera smisla: pomak od 100 m ne može biti veći od prečnika od 100 m, a upravo je jednak njemu — dakle račun je tačan.

Pokušaj najprije samostalno. Ako zapneš, vrati se na simulaciju i postavi ugao na 360°, pa na 180° i uporedi brojeve za s i Δx.

Veza s programom

Ključni sadržaji koje ovdje učiš: položaj, pomak, putanja i pređeni put kao osnovne kinematičke veličine.

Oblast B — Mehanika, kinematika. Oznake ishoda u izvoru: B.8.1, B.8.2. Predmetni kurikulum KS, 8. razred, štampana str. 14. Raspored oblasti na portalu je urednički. Objašnjenja, primjeri i aktivnosti su autorski.