Poluga i zakon ravnoteže

🎯 Cilj lekcije

Prepoznati oslonac, krak sile i krak tereta na poluzi.
Primijeniti zakon ravnoteže poluge: F₁·l₁ = F₂·l₂.
Razlikovati tri vrste poluga i naći primjere u svakodnevnom životu.
Objasniti kako poluga omogućava da manjom silom savladaš veći teret.

1. Šta je poluga?

Kada podižeš teški kamen dugačkom motkom podmetnutom pod njega, koristiš polugu. Poluga je kruto tijelo koje se može okretati oko neke tačke. Ta tačka je oslonac (ili uporište). Na polugu djeluju tvoja sila, sila tereta i sila oslonca. U jednostavnim zadacima zanemarujemo masu same poluge.

Oslonac — tačka oko koje se poluga okreće (kod makaza to je zavrtanj, kod klackalice srednji nosač).
Krak sile (l₁) — najkraće rastojanje od oslonca do pravca djelovanja sile kojom ti djeluješ.
Krak tereta (l₂) — najkraće rastojanje od oslonca do pravca djelovanja sile tereta.

Krak nije isto što i dužina poluge. Ako sila djeluje okomito na polugu, krak je jednak rastojanju od oslonca do hvatišta sile. Ako sila djeluje koso, krak je kraći — to je najkraće rastojanje do pravca sile.

Već u sedmom razredu upoznao si moment sile: djelovanje sile koja može zarotirati tijelo oko oslonca. Moment računamo kao proizvod sile i kraka:

M = F·l ⇒ 1 N·m

Ako poluga na početku miruje i suprotni momenti su jednaki, neće početi rotirati: tada je u ravnoteži. Jednaki momenti sami po sebi ne zaustavljaju polugu koja već rotira.

2. Zakon ravnoteže poluge

Za polugu u ravnoteži vrijedi da je moment sile na jednom kraku jednak momentu tereta na drugom kraku:

F₁·l₁ = F₂·l₂

Ovdje je F₁ sila kojom djeluješ, l₁ njen krak, F₂ sila tereta (najčešće težina tereta) i l₂ njen krak. Iz tog zakona slijedi najvažnija osobina poluge: ako je krak sile duži od kraka tereta, dovoljna je manja sila. Zato se dugačkom motkom podiže težak kamen, a ključem odvrće čvrsto stegnut zavrtanj.

Zapis u obliku razmjere pomaže pri procjeni: F₁/F₂ = l₂/l₁. Ako je krak sile tri puta duži od kraka tereta, sila je tri puta manja od tereta. Ali — ruka tada prelazi tri puta duži put. O tome govori sljedeća lekcija.

💡 Zapamti Poluga ne smanjuje rad; ona samo mijenja odnos sile i puta. Manja sila djeluje na dužem putu, a veća na kraćem. Proizvod sile i puta ostaje isti.

3. Tri vrste poluga

Poluge dijelimo prema tome šta se nalazi u sredini: oslonac, teret ili sila.

Vrsta	Raspored	Primjeri
Prva vrsta	oslonac je između sile i tereta	makaze, klackalica, kliješta, veslo, poluga za podizanje
Druga vrsta	teret je između oslonca i sile	kolica za teret, otvarač za flaše, lomilica za orahe
Treća vrsta	sila je između oslonca i tereta	pinceta, štap za pecanje, ljudska podlaktica

Kod prve vrste poluga može dati prednost u sili ili u putu, zavisi gdje je oslonac. Kod druge vrste krak sile je uvijek duži od kraka tereta, pa je sila manja od tereta — zato su kolica tako korisna. Kod treće vrste krak sile je kraći, pa je potrebna veća sila, ali se hvatište brže kreće: zato pincetom precizno radiš, a štapom za pecanje daleko zabacuješ.

Makaze imaju oslonac u zavrtnju. Kada režeš blizu zavrtnja, krak sile prstiju duži je od kraka otpora, pa uz istu silu ruke možeš savladati veći otpor nego pri vrhovima makaza. Klackalica radi kao prva vrsta: teži prijatelj sjedi bliže osloncu, a lakši dalje, tako da su proizvodi mase i kraka jednaki. Kolica su druga vrsta: teret je između točka i ručki, pa je potrebna sila znatno manja od težine tereta. Veslo je prva vrsta poluge: oslonac je na skeli, sila ruke je na kraćem kraju, a teret vode na dužem.

Isti teret, tri rasporeda

Odaberi vrstu poluge i pomjeri označenu tačku. Posmatraj šta se nalazi između druge dvije tačke i uporedi krakove. Teret u sva tri modela djeluje silom F₂ = 120 N.

Položaj oslonca od lijevog kraja 0,50 m

Idealni model: poluga je vodoravna, zanemarive mase, bez trenja u osloncu; sile djeluju okomito na nju. Krajevi su udaljeni 1 m i krakovi su nacrtani u istom razmjeru. Strelice prikazuju sile na polugu; njihove dužine imaju zajednički razmjer unutar izabranog prikaza, koji se prilagođava pri promjeni rasporeda. Reakcija oslonca nije nacrtana; ona osigurava i ravnotežu sila.

Provjeri zaključak: kakva je potrebna sila F₁ u odnosu na silu tereta F₂ u ovom rasporedu?

Prvo uporedi dužine krakova.

Kratka historija prostih mehanizama

Ljudi su prostim mehanizmima olakšavali rad mnogo prije nego što su ih opisali zakonima. Poluga, kosina i valjak koristili su se u starom Egiptu i Mezopotamiji za podizanje kamena i vode. Arhimed je u 3. vijeku p. n. e. opisao zakon poluge; prema predanju je rekao da bi mogao pomjeriti Zemlju da ima dovoljno dugačku polugu i uporište. O načinu gradnje piramida postoje različite pretpostavke (kosine, rampe, poluge). Te pretpostavke se još istražuju, pa ih treba navoditi kao pretpostavke, a ne kao potvrđene činjenice.

Historijska tvrdnja i fizikalni dokaz

Izjava „piramide su sigurno građene samo pomoću poluga“ sadrži historijski zaključak koji sama fizika poluge ne potvrđuje. Korak po korak: odvoji opažene tragove od pretpostavke; provjeri šta izvor datira i čime to potkrepljuje; zatim fizičkim modelom provjeri može li predloženi alat podići teret. Mogućnost nekog postupka nije dokaz da je baš on korišten.

Primjer modela: za silu tereta 1000 N, krak tereta 0,20 m i krak sile 2,0 m treba idealno F = 1000·0,20/2,0 = 100 N. To potvrđuje mogućnost u idealnom modelu, a historijsko pitanje i dalje traži druge dokaze.

4. Isprobaj: klackalica

Pomjeri oslonac i mijenjaj mase s obje strane. Crtež pokazuje momente lijevo i desno te naginjanje daske. Dužine crvenih strelica imaju isti razmjer: dvostruka masa daje dvostruku silu teže. Ravnoteža nastupa kada su momenti jednaki. Nagib je šematski pokazatelj smjera okretanja, a ne izračunati konačni položaj. Momente upoređujemo za vodoravnu dasku zanemarive mase.

Teret lijevo: 20 kg Teret desno: 30 kg Položaj oslonca: 2,00 m

M₁ = 313,9 N·m, M₂ = 470,9 N·m — klackalica se naginje na desno.

5. Korak po korak: uravnoteži polugu

Zadatak: „Teret od 300 N visi na kraku 0,4 m od oslonca. Na kojem kraku treba djelovati silom 120 N da poluga bude u ravnoteži?“ Rješavamo korak po korak:

1.F₂ = 300 N, l₂ = 0,4 m Teret i njegov krak su poznati; sila F₁ = 120 N, a traži se l₁.

2.F₁·l₁ = F₂·l₂ Zakon ravnoteže poluge: momenti moraju biti jednaki.

3.l₁ = F₂·l₂/F₁ Podijeli obje strane silom F₁. Jedinice: njutn puta metar kroz njutn daje metar.

4.l₁ = 300·0,4/120 = 120/120 Prvo izračunaj brojnik: 300·0,4 = 120.

5.l₁ = 1 m Krak sile je 2,5 puta duži od kraka tereta, pa je sila 2,5 puta manja od tereta — smisleno.

6. Riješeni primjeri

Dva tipa zadatka: ravnoteža poluge i računanje momenta. U svakom tipu su tri primjera, od lakšeg ka težem.

Tip 1: ravnoteža poluge

Primjer 1: dvije sile na poluzi

Na poluzi djeluje sila 60 N na kraku 0,4 m. Kolika sila treba djelovati na kraku 0,8 m da poluga bude u ravnoteži?

F₁=60 N, l₁ = 0,4 m Prva sila i njen krak.

l₂=0,8 m Krak na kojem tražimo silu dvostruko je duži.

F₂=F₁·l₁/l₂ = 60·0,4/0,8 Iz zakona F₁·l₁ = F₂·l₂ izrazi nepoznatu silu.

F₂=30 N Duplo duži krak traži duplo manju silu — provjera je u redu.

Primjer 2: kolica

U kolicima je teret težine 300 N, na 0,5 m od osovine točka. Ručke su 1,5 m od osovine. Kolikom silom treba držati ručke?

F₂=300 N, l₂ = 0,5 m Teret djeluje naniže na kraku 0,5 m od oslonca u osovini točka.

l₁=1,5 m Krak sile je rastojanje od osovine do ručki.

F₁=F₂·l₂/l₁ = 300·0,5/1,5 Sila se smanjuje onoliko puta koliko je krak sile duži.

F₁=100 N Tri puta manja sila od težine tereta — zato su kolica druga vrsta poluge.

Primjer 3: veslo

Veslo je dugačko 2,4 m. Oslonac je na skeli, 0,8 m od ruke veslača. Veslač djeluje silom 150 N. Kojom silom lopatica djeluje na vodu?

l₁=0,8 m Krak sile mjeri se od oslonca na skeli do hvatišta ruke.

l₂=2,4 − 0,8 = 1,6 m Krak tereta je ostatak vesla do lopatice.

F₂=150·0,8/1,6 Krak tereta je dva puta duži, pa je sila na lopatici dva puta manja.

F₂=75 N Manja sila, ali lopatica prelazi duži put kroz vodu — zato se čamac ipak kreće.

Tip 2: moment sile i masa

Primjer 1: moment sile

Sila 40 N djeluje okomito na polugu na kraku 0,25 m. Koliki je moment te sile?

F=40 N Sila djeluje okomito, pa je krak jednak rastojanju od oslonca.

l=0,25 m Krak je u metrima, kao i uvijek u SI sistemu.

M=F·l = 40·0,25 = 10 N·m Moment se mjeri u njutn-metrima, ne u džulima.

Primjer 2: klackalica i djeca

Dijete mase 30 kg sjedi 1,5 m od oslonca klackalice. Gdje treba sjesti dijete mase 40 kg da klackalica bude u ravnoteži?

G₁=30·9,81 = 294,3 N U zakon ravnoteže ulaze sile, a ne mase — zato prvo izračunaj težine.

G₂=40·9,81 = 392,4 N Teže dijete ima veću težinu, pa mora sjediti bliže osloncu.

l₂=G₁·l₁/G₂ = 294,3·1,5/392,4 Kraće se piše preko masa, jer se g skrati: l₂ = m₁·l₁/m₂.

l₂=1,125 m ≈ 1,13 m Provjeri prije zaokruživanja: 392,4·1,125 = 441,45 N·m i 294,3·1,5 = 441,45 N·m. Momenti su jednaki.

Primjer 3: utezi na poluzi

Na kraku 0,3 m visi uteg mase 4 kg. Koja masa mora visiti na kraku 0,6 m da poluga bude u ravnoteži? Koliki su tada momenti?

G₁=4·9,81 = 39,24 N Težina prvog utega.

G₂=G₁·l₁/l₂ = 39,24·0,3/0,6 Duplo duži krak znači duplo manju silu.

G₂=19,62 N Iz težine u masu: m₂ = G₂/g = 19,62/9,81 = 2 kg.

M=39,24·0,3 ≈ 11,8 N·m Isti moment daje i drugi uteg: 19,62·0,6 ≈ 11,8 N·m. Ravnoteža je potvrđena.

⚠️ Česte greške

Krak se mjeri od oslonca, ne od kraja poluge. Ako uzmeš cijelu dužinu poluge, momenti neće biti u ravnoteži.
Miješanje mase i težine. U zakon ravnoteže ulaze sile. Masa 30 kg znači težina 294,3 N, a ne 30 N.
„Poluga smanjuje rad.“ Poluga smanjuje silu, ali povećava put. Rad ostaje isti — to je zlatno pravilo mehanike.
Duži krak uvijek na strani tereta. Obrnuto: da bi sila bila manja, krak sile mora biti duži od kraka tereta.

✅ Kviz — provjeri sebe (4 pitanja)

1. Šta je krak sile?

2. Šta vrijedi za polugu u ravnoteži?

3. Kolica za teret su poluga kod koje je teret između oslonca i sile. Koja je to vrsta poluge?

4. Lijevo visi 20 kg na kraku 1 m, desno 30 kg na kraku 0,5 m. Na koju stranu se klackalica naginje?

7. Primijeni i objasni

Samostalan zadatak: Zanemari masu daske i trenje u osloncu. Daska je dugačka 3 m i leži na osloncu koji je 1 m od lijevog kraja. Na lijevom kraju visi teret mase 15 kg. Koju masu treba objesiti na desni kraj da daska bude u ravnoteži? Objasni šta bi se dogodilo da oslonac pomakneš u sredinu.

Provjeri rješenje i obrazloženje

Krakovi su: lijevi l₁ = 1 m (od lijevog kraja do oslonca), desni l₂ = 3 m − 1 m = 2 m. Težina lijevog tereta: G₁ = 15 kg · 9,81 N/kg = 147,15 N. Iz zakona ravnoteže G₁·l₁ = G₂·l₂ slijedi G₂ = 147,15 N · 1 m / 2 m ≈ 73,6 N, pa je masa m₂ = 73,6/9,81 ≈ 7,5 kg. Provjera: 147,15·1 ≈ 147 N·m i 73,6·2 ≈ 147 N·m. Ako oslonac pomaknemo u sredinu, oba kraka postaju 1,5 m, pa je za ravnotežu potrebna ista masa od 15 kg. Pomicanjem oslonca mijenjamo odnos krakova, a time i potrebnu silu — to je osnova rada svake poluge.

Pokušaj najprije samostalno. Ako zapneš, vrati se na simulaciju i pomjeri oslonac dok se daska ne smiri.

Samostalan zadatak: Istraživački zadatak: navedi dva argumenta koja podržavaju pretpostavku da su pri gradnji piramida korištene kosine i jedan argument koji ukazuje da je pretpostavka nepotpuna. Zatim objasni kako bi se pretpostavka mogla provjeriti ogledom.

Provjeri rješenje i obrazloženje

Argumenti za: pronađeni su ostaci rampi i kosina u blizini građevina; kosina smanjuje potrebnu silu: teret težine 9,81·10³ N uz kosinu čija je dužina 4 puta veća od visine treba silu oko 2,5·10³ N, tj. četvrtinu težine. Argument protiv / ograničenje: nisu sačuvani svi tragovi, pa ne možemo potvrditi način gradnje. Ogled: model kosine s dinamometrom i tegom pokazuje silu za podizanje na različitim nagibima.

Samostalno istraži i obrazloži

Članak tvrdi da dugačka poluga može podići bilo koji teret i da time potvrđuje jedan tačan način gradnje piramida. Izračunaj silu za teret 600 N s krakom 0,30 m i krakom sile 1,8 m. Navedi dva ograničenja stvarnog uređaja i razdvoji fizikalnu mogućnost od historijskog zaključka. Uporedi dvije informacije o istoj primjeni i zapiši izvore.

Provjeri obrazloženje

F = 600·0,30/1,8 = 100 N, uz zanemarene masu poluge i trenje. Stvarna poluga može puknuti ili se saviti, oslonac popustiti, a potreban hod biti nedostupan. Račun pokazuje šta idealni model dopušta, ali ne dokazuje kojim su se alatom ljudi zaista služili. Izvori trebaju navesti tragove i stepen sigurnosti zaključka.

Veza s programom

Ključni sadržaji koje ovdje učiš: zakon ravnoteže na poluzi, krak sile i krak tereta, vrste poluga i primjena.

Oblasti B.8.1 i B.8.2. Oznake ishoda u izvoru: B.8.1, B.8.2. Predmetni kurikulum KS, 8. razred, štampana str. 19. Raspored oblasti na portalu je urednički. Objašnjenja, primjeri i aktivnosti su autorski.