Mjerenje dužine i površine

🎯 Cilj lekcije

Izmjeriti dužinu metarskom skalom i pročitati nonijus do 0,1 mm.
Izmjeriti obim tijela koncem i od obima izračunati prečnik.
Izračunati površinu pravougla i procijeniti površinu nepravilnog lika mrežom kvadratića.
Pretvarati jedinice površine: mm², cm², m², ar i ha.

1. Mjerenje dužine: metarska skala i nonijus

Dužinu najčešće mjeriš metarskom skalom ili lenjirom. Skala je podijeljena na centimetre, a svaki centimetar na deset milimetara, pa je najmanji podiok 1 mm. Dužinu olovke pročitaš tako što jedan kraj postaviš na nulu, a na drugom kraju pročitaš crticu.

Ako je početak skale oštećen ili ne možeš doći do njega, počni mjerenje od bilo koje cijele oznake i oduzmi očitanja. Primjer: početak olovke je na 2,0 cm, a kraj na 15,8 cm, pa je dužina 15,8 cm − 2,0 cm = 13,8 cm.

Kada mjeriš, gledaj okomito na skalu. Ako gledaš iskosa, vidiš pogrešnu crticu — to je greška paralakse.

Za male debljine metarska skala nije dovoljna, jer razlikuje samo milimetar. Tada koristimo nonijus (kalupar): pomično mjerilo s dvije skale.

Dio nonijusa	Šta je	Kako se koristi
glavna skala	nepomična skala u milimetrima	očitaš cijele milimetre prije nule nonijusa
nonijus	pomična skala s 10 podioka	nađeš podiok koji se poklapa s crticom glavne skale

Deset podioka nonijusa zauzima 9 mm glavne skale, pa je jedan podiok nonijusa 0,9 mm. Razlika je 1 mm − 0,9 mm = 0,1 mm — to je vrijednost najmanjeg koraka očitanja ovog nonijusa. Nesigurnost cijelog mjerenja zavisi i od nule instrumenta, rukovanja i uslova. Očitanje je zbir glavne skale i dijela koji pokaže nonijus: 21 mm na glavnoj skali i poklapanje na četvrtom podioku daje 21 mm + 4 · 0,1 mm = 21,4 mm.

💡 Zapamti Nonijus ne zaokružuje na milimetar — on dodaje deseti dio milimetra. Zato je 21,4 mm, a ne 21 mm.

Dužinu „oko tijela“ mjeriš obimom. Obaviješ konac oko cijevi, flaše ili kolača, označiš mjesto gdje se konac sastavi, ispraviš ga i izmjeriš njegovu dužinu. Drugi način je prekotrljavanje: označiš tačku na obodu, prekotrljaš tijelo jedan puni krug i izmjeriš pređeni put.

Dodatni kabinetni ogled: mikrometar i debljina papira

Mikrometar pomjera mjernu površinu vijkom. Kod čestog školskog modela puni okret pomjera vijak za 0,5 mm, a bubanj ima 50 podioka: jedan podiok znači 0,01 mm. Prije mjerenja provjeri nulu i podjelu baš onog instrumenta koji koristiš. Predmet pridržavaj pomoću čegrtaljke, bez prejakog stezanja.

Riješeno: na nepomičnoj skali vidiš 2,5 mm, a referentnoj liniji odgovara 17. podiok bubnja. Očitanje je 2,5 mm + 17 · 0,01 mm = 2,67 mm. Ako je to debljina 30 jednakih listova, debljina jednog je 2,67 mm / 30 = 0,089 mm. Više listova smanjuje relativni uticaj podjele instrumenta.

Samostalno: debljina 20 listova izmjerena je kao 1,80 mm. Procijeni debljinu jednog lista i izrazi je u m.

Provjeri odgovor

d = 1,80 mm / 20 = 0,090 mm = 0,000090 m. Provjeri vraćanjem: 20 · 0,090 mm = 1,80 mm. Listove poravnaj i ne sabijaj ih previše; ovaj odnos je procjena za jednake listove.

2. Površina pravougla i jedinice površine

Površina kaže koliko je lik velik, odnosno koliko kvadratnih jedinica stane u njega. Za pravougaonik stranica a i b:

P = a · b

Za kvadrat je P = a · a = a². Pravougaonik 12 cm × 5 cm ima površinu 60 cm². To znači da bi u njega stalo 60 kvadratića od po 1 cm × 1 cm.

Jedinica površine je uvijek kvadrat neke jedinice dužine. Zato se faktor pretvorbe kvadrira:

Jedinica	Veza s manjom jedinicom	Primjer
1 cm²	= 100 mm²	nokat na prstu
1 dm²	= 100 cm²	dlan
1 m²	= 10 000 cm² = 100 dm²	površina vrata
1 ar	= 100 m²	manje dvorište
1 ha	= 10 000 m² = 100 ari	fudbalsko igralište

Hektar i ar koriste se za zemljište: njiva od 2 ha ima 20 000 m², a parcela od 4 ara ima 400 m². Kvadratni kilometar je 100 ha, dakle 1 000 000 m².

⚠️ Pazi 1 m = 100 cm, ali 1 m² = 10 000 cm². Kod površine se pretvara i dužina i širina, pa se faktor 100 koristi dva puta.

3. Površina nepravilnog lika: mreža kvadratića

List, kamena ploča ili mrlja na papiru nemaju formulu za površinu. Tada pomaže mreža kvadratića poznate površine. Postupak je jednostavan:

Prekrij lik prozirnom mrežom ili ga prenesi na milimetarski papir.
Izbroj kvadratiće koji su cijeli unutar lika.
Izbroj kvadratiće koje lik samo djelimično prekriva.
Svaki djelimični kvadratić računaj kao pola kvadratića.

P ≈ (N + M / 2) · P₁

Ovdje je N broj punih, M broj djelimičnih kvadratića, a P₁ površina jednog kvadratića. Ako je mreža gušća, kvadratići su manji, pa je procjena bolja — više malih kvadratića bolje prati oblik lika.

Istu ideju koristiš i na karti: površina jezera ili šume procjenjuje se mrežom, a zatim se rezultat preračuna u stvarne jedinice pomoću razmjere.

4. Isprobaj: list na mreži kvadratića

Površina lista preko mreže

Izaberi označeno polje i procijeni je li potpuno unutar lista ili ga list pokriva samo dijelom. Označi nekoliko polja, pa otkrij granice površine. Prepolovi stranicu mreže i uporedi intervale. Lik je model lista od dva kružna luka; crtež i mreža imaju isti razmjer.

Veličina kvadratića: 1 cm

Polje na mreži Moja oznaka

Označeno polje ima tamni okvir. Izbor radi i tastaturom.

Granice će se pojaviti nakon otkrivanja.

Donja granica broji samo cijela polja; gornja broji cijela i sva rubna polja. Dodir samo po liniji nema površinu i ne računa se. Zeleno = cijelo, žuto = rubno; oznaka polja i tekst daju istu informaciju bez boje.

Poređenje ugniježđenih mreža

Mjerna radionica: gdje je nula?

Prije mjerenja predvidi: je li dovoljno poravnati predmet s rubom lenjira? Pomjeri lenjir tako da njegova nulta crtica bude ispod lijevog kraja predmeta. Pročitaj desni kraj i upiši dužinu. Najmanji podjeljak je 1 mm.

Predmet Pomjeri lenjir:

Isprekidane linije pokazuju gdje očitavaš oba kraja.

Izmjerena dužina / cm

Poravnaj nultu crticu s lijevim krajem predmeta.

Pokušaj	Tvoje očitanje / cm	Provjera

Razmak crtica i dužina predmeta koriste isti razmjer. Rub lenjira je 0,5 cm lijevo od nule. U ovom idealnom modelu crte su oštre; u stvarnom mjerenju važni su i debljina crte i položaj oka. Ponovi očitanje nakon pomjeranja lenjira.

5. Korak po korak: od mreže do površine

Zadatak: „List je prekriven mrežom kvadratića od 1 cm. Unutar lista je 6 cijelih kvadratića, a 8 kvadratića list prekriva samo dijelom. Procijeni površinu lista.“

1.Površina kvadratića Kvadratić 1 cm × 1 cm ima površinu P₁ = 1 cm².

2.Broj punih: N = 6 Ti kvadratići cijeli su unutar lista, pa ulaze u površinu sa punim iznosom.

3.Broj djelimičnih: M = 8 List ih prekriva dijelom, pa svaki računamo kao pola kvadratića.

4.=(6 + 4) · 1 cm² Prvo podijeli, pa saberi: 8 : 2 = 4, a 6 + 4 = 10.

5.P ≈ 10 cm² Rezultat je procjena, pa pišemo znak ≈, a ne znak jednakosti.

6.Provjeri smisao 10 cm² je otprilike površina lista jasena — veličina je moguća.

6. Riješeni primjeri

Dva tipa zadatka: mjerenje dužine (skala, nonijus, obim) i računanje površine. U svakom tipu su tri primjera, od lakšeg ka težem.

Tip 1: mjerenje dužine

Primjer 1: mjerenje od oštećenog početka skale

Početak skale je odlomljen. Početak olovke postavljen je na oznaku 2,0 cm, a vrh olovke na 15,8 cm. Kolika je dužina olovke?

Početak=2,0 cm To nije dužina, nego očitanje položaja početka olovke.

Kraj=15,8 cm Očitanje položaja vrha olovke na istoj skali.

l=15,8 − 2,0 = 13,8 cm Dužina je razlika očitanja, jer mjerimo od 2,0, a ne od nule.

U milimetrima=138 mm 1 cm = 10 mm, pa 13,8 cm = 138 mm.

Smisao⇒l ≈ 13,8 cm Olovka od 14 cm je uobičajena, pa je rezultat moguć.

Primjer 2: očitanje nonijusa

Na nonijusu je nula pomične skale prošla 21 mm glavne skale. S crticom glavne skale poklapa se četvrti podiok nonijusa. Koliko iznosi očitanje?

Glavna skala=21 mm Čitamo cijele milimetre lijevo od nule nonijusa.

Korak očitanja=0,1 mm 10 podioka nonijusa pokriva 9 mm, pa je razlika 1 mm − 0,9 mm = 0,1 mm.

Nonijus=4 · 0,1 = 0,4 mm Broj podioka koji se poklapa množimo korakom očitanja.

Očitanje=21 + 0,4 = 21,4 mm Zbir glavne skale i dijela s nonijusa.

Smisao⇒21,4 mm = 2,14 cm Debljina od dva centimetra je moguća, a instrument omogućava očitanje desetine milimetra.

Primjer 3: od obima do prečnika

Konac obavijen oko cijevi ima dužinu 220 mm. Procijeni prečnik cijevi. Koristi π ≈ 3,14.

Podatak=O = 220 mm Dužina konca jednaka je obimu kruga koji cijev opisuje.

Veza=O = π · d Obim kruga je π puta veći od prečnika.

d=O / π = 220 / 3,14 Zato što tražimo prečnik, obim dijelimo s π.

Račun≈70,1 mm 220 : 3,14 = 70,06…, pa zaokružujemo na 70,1 mm.

Smisao⇒d ≈ 7,0 cm Cijev prečnika 7 cm je uobičajena za odvod, pa je rezultat moguć.

Tip 2: površina lika

Primjer 1: pravougaonik

Stranice pravougaonika su 12 cm i 5 cm. Odredi površinu u cm² i u mm².

Podaci=a = 12 cm, b = 5 cm Obje stranice su u centimetrima, pa je i površina u cm².

Formula=P = a · b Površina pravougaonika je proizvod dvije stranice.

P=12 · 5 = 60 cm² Kvadratna jedinica upisuje se odmah, jer je rezultat površina.

U mm²=60 · 100 = 6000 mm² 1 cm² = 100 mm², pa množimo sa 100.

Smisao⇒P = 60 cm² To je površina kartice dimenzija 12 cm × 5 cm, mnogo manja od stranice školske sveske.

Primjer 2: list na mreži

List je prekriven mrežom kvadratića od 1 cm: 6 kvadratića su cijela unutar lista, a 8 su prekrivena dijelom. Procijeni površinu lista.

P₁=1 cm · 1 cm = 1 cm² Površina jednog kvadratića mreže.

Formula=P ≈ (N + M : 2) · P₁ Puni kvadratići ulaze cijeli, djelimični kao polovina.

Uvrštavanje=(6 + 8 : 2) · 1 cm² N = 6, M = 8, P₁ = 1 cm².

P≈10 cm² 8 : 2 = 4, a 6 + 4 = 10.

Smisao⇒10 cm² = 1000 mm² List od oko 10 cm² je realan. Gušća mreža dala bi tačniju procjenu.

Primjer 3: bašta u arima i hektarima

Bašta je pravougaonik 25 m × 40 m. Izrazi njenu površinu u m², arima i hektarima.

Podaci=a = 25 m, b = 40 m Veće dužine mjerimo u metrima, pa je površina u m².

P=25 · 40 = 1000 m² Proizvod stranica u metrima daje kvadratne metre.

U arima=1000 : 100 = 10 ari 1 ar = 100 m², pa iz m² u are dijelimo sa 100.

U hektarima=1000 : 10 000 = 0,1 ha 1 ha = 10 000 m², a 0,1 ha je istih 10 ari.

Smisao⇒P = 1000 m² Bašta od 10 ari je manja od petine hektara — veličina je moguća.

⚠️ Česte greške

Mjerenje od oštećenog kraja skale. Ako nula nije na kraju, izmjeri razliku očitanja, a ne samo očitanje na kraju.
1 m² = 100 cm². Nije: pretvaraju se obje stranice, pa je 1 m² = 10 000 cm².
Sabiranje stranica umjesto množenja. Obim pravougaonika je O = 2·(a + b), a površina P = a·b. Provjeri jedinicu: cm² pripada površini.
Djelimični kvadratići kao cijeli. Ako ih brojiš kao pune, površina ispadne prevelika. Svaki djelimični računaj kao pola.

✅ Kviz — provjeri sebe (4 pitanja)

1. Koliko kvadratnih centimetara ima 1 m²?

2. Koliki je najmanji korak očitanja ako 10 podioka nonijusa pokriva 9 mm glavne skale?

3. Pravougaonik ima stranice 8 cm i 4 cm. Kolika je površina u mm²?

4. Koliko ari ima 1 ha?

7. Primijeni i objasni

Samostalan zadatak: List je prekriven mrežom kvadratića stranice 0,5 cm. U unutrašnjosti lista je 24 cijela kvadratića, a 18 kvadratića list prekriva samo dijelom. Procijeni površinu lista u cm² i u mm².

Provjeri rješenje i obrazloženje

Površina jednog kvadratića je P₁ = 0,5 cm · 0,5 cm = 0,25 cm². Djelimični kvadratići ulaze kao polovina, pa je P ≈ (24 + 18 : 2) · 0,25 cm² = (24 + 9) · 0,25 cm² = 33 · 0,25 cm² = 8,25 cm². U kvadratnim milimetrima: 8,25 cm² · 100 = 825 mm². Obrazloženje: gušća mreža (0,5 cm umjesto 1 cm) bolje prati oblik lista, pa je procjena bliža stvarnoj površini.

Pokušaj najprije samostalno. Ako zapneš, vrati se na simulaciju i uporedi procjenu s grubom i s finom mrežom.

Veza s programom

Ključni sadržaji koje ovdje učiš: mjerenje dužine metarskom skalom i nonijusom, mjerenje obima, površina pravougla i nepravilnog lika, jedinice površine.

Oblast A. Priroda fizike i naučni metod — mjerenje. Predmetni kurikulum KS, 7. razred, štampana stranica 10. Redoslijed lekcija na portalu je urednički. Objašnjenja, primjeri i simulacija su autorski.