Mjerenje i srednja vrijednost mjerenja

🎯 Cilj lekcije

Prepoznati instrument, skalu i najmanji podiok na njoj.
Zapisati mjerenje s nesigurnošću, na primjer (25,0 ± 0,1) cm.
Izračunati srednju vrijednost ponovljenih mjerenja i odstupanje pojedinog mjerenja.
Objasniti zašto jedno loše očitanje pomjera srednju vrijednost.

1. Mjerenje, instrument i skala

Da bi izmjerio nešto, treba ti dogovorena jedinica i instrument. Mjerenje je upoređivanje nepoznate vrijednosti s tom jedinicom. Na lenjiru, menzuri, vagi ili termometru to upoređivanje čitaš sa skale — niza crtica i brojeva.

Svaka skala ima tri važne stvari:

jedinicu — npr. cm na lenjiru, °C na termometru, mL na menzuri;
najmanji podiok — razmak između dvije susjedne crtice;
opseg — od najmanje do najveće vrijednosti koju instrument mjeri.

Na školskom lenjiru crtice su na svakom milimetru, pa je najmanji podiok 1 mm, odnosno 0,1 cm. Na menzuri s podjelom na svakih 2 mL najmanji podiok je 2 mL. Na termometru s crticom na svakom stepenu najmanji podiok je 1 °C.

💡 Zapamti Očitavaj okomito na skalu. Ako gledaš iskosa, vidiš pogrešnu crticu — to je greška paralakse, a ne greška instrumenta.

Instrument ne daje beskonačno tačan broj. On razlikuje dvije susjedne crtice, pa između njih samo procjenjuješ. Zato uz svako mjerenje ide i podatak koliko mu vjerujemo.

Zašto mjerenje čini poređenje objektivnijim?

Jedan učenik kaže da je klupa duga „četiri pedlja“, a drugi „pet pedljeva“. Ne mora niko pogriješiti: njihove šake nisu iste veličine. Kada upotrijebe istu dogovorenu jedinicu i pravilno očitaju instrument, rezultat mogu uporediti i drugi ljudi. Mjerenje je poređenje s utvrđenim etalonom, odnosno dogovorenom referencom jedinice. Lenjir praktično prenosi tu jedinicu, a nije svaki lenjir primarni etalon.

Riješeno korak po korak

Za dužinu klupe ne biramo broj pedljeva jer veličina pedlja zavisi od osobe.
Oba učenika mjere metarskom skalom od istog početka do istog kraja.
Očitaju 119,9 cm i 120,0 cm. Razlika 0,1 cm odgovara jednom podioku skale od 1 mm.
Zaključak: mjerenja su uporediva i bliska, uz navedenu podjelu instrumenta. Objektivnost ne znači da je rezultat bez nesigurnosti.

Samostalno: dvije osobe izmjere hodnik kao 20 svojih koraka i 25 svojih koraka. Da li to dokazuje da hodnik ima dvije različite dužine? Predloži objektivnije mjerenje i navedi jednu svakodnevnu odluku za koju je važno.

Provjeri obrazloženje

Ne: njihovi koraci mogu imati različite dužine. Upotrijebi metarsku traku, isti početak i kraj, provjeri nulu i zapiši dužinu u m uz podjelu instrumenta. Podatak pomaže, naprimjer, pri kupovini odgovarajuće dužine podne obloge. Dogovorena jedinica omogućava provjeru bez obzira na osobu.

2. Najmanji podiok i nesigurnost mjerenja

Dužina olovke pročitana s metarske skale glasi 25,0 cm. Ali to nije „tačno 25,000 cm“ — instrument ne razlikuje stoti dio centimetra. Zato pišemo:

(25,0 ± 0,1) cm

Broj 0,1 cm je nesigurnost mjerenja. Prema procjeni nesigurnosti, rezultat prikazujemo intervalom od 24,9 cm do 25,1 cm. To nije obećanje da u mjerenju nema dodatnih grešaka. Nesigurnost nije greška u računu i nije „loše mjerenje“ — ona pokazuje granicu koju instrument dopušta pri očitavanju.

Dogovor koji koristimo u ovoj lekciji: nesigurnost zbog očitavanja procjenjujemo jednim najmanjim podiokom skale. To nije uvijek ukupna nesigurnost: rasipanje ponovljenih mjerenja, pomjerena nula i vrijeme reakcije mogu je povećati. Za skalu s podiokom 1 mm to je 0,1 cm, za menzuru s podiokom 2 mL to je 2 mL, a za termometar s podiokom 1 °C to je 1 °C.

Instrument	Najmanji podiok	Zapis mjerenja
metarska skala	1 mm = 0,1 cm	(25,0 ± 0,1) cm
menzura	2 mL	(84 ± 2) mL
termometar	1 °C	(21 ± 1) °C

Dvije stvari koje uvijek moraju biti usklađene:

ista jedinica u broju i u nesigurnosti;
isti broj decimala u broju i u nesigurnosti.

⚠️ Pazi Zapis (25,03 ± 0,1) cm obećava preciznost koju instrument nema. Ispravno je (25,0 ± 0,1) cm.

Preciznost i tačnost nisu isto

Preciznost govori koliko su ponovljena mjerenja bliska jedno drugom, tj. koliko se rasipaju. Tačnost govori koliko je mjerenje blizu prave vrijednosti. Mjerenja mogu biti precizna, a netačna: očitanja 27,1 cm, 27,0 cm i 27,1 cm su bliska jedno drugom, ali sva su oko 2 cm veća od prave dužine 25,0 cm. Mogu biti i tačna u prosjeku, a neprecizna: očitanja 24,6 cm, 25,4 cm i 25,0 cm imaju srednju vrijednost 25,0 cm, ali su jako rasuta.

Preciznost se popravlja pažljivijim mjerenjem, a tačnost se popravlja otklanjanjem uzroka sistematske greške, npr. pomjeranjem lenjira tako da mu nula bude tačno na početku predmeta. Ponavljanje mjerenja ne može ispraviti sistematsku grešku.

Isprobaj: precizno, a pogrešno?

Rasipanje i pomjerena nula na istoj osi

Referentna dužina šipke je 25,0 cm (poznata iz etalona). Prvo predvidi: ako mjerila imaju pomjerenu nulu, hoće li ih ponavljanje mjerenja dovesti do 25,0 cm? Zatim odvojeno biraj rasipanje i pomak nule, dodaj očitanja i klasifikuj grupu. U ovoj aktivnosti dogovorno važi: grupa je precizna ako je raspon najviše 0,4 cm, a tačna u prosjeku ako srednja vrijednost odstupa od reference najviše 0,3 cm. Prikaz je šematski, s unaprijed pripremljenim nizom očitanja.

Rasipanje očitanja: ±0,1 cm Pomak nule: +2,0 cm

Zelena linija: referenca 25,0 cm. Krugovi: očitanja (jednaka se slažu u stupac). Gornja zagrada: raspon. Trougao: srednja vrijednost x̄. Donja strelica: odstupanje x̄ od reference.

Odaberi klasu grupe da vidiš provjeru s brojevima.

Korak po korak: preciznost ili tačnost?

1.Zapiši očitanja i pravu vrijednost 27,1 cm; 27,0 cm; 27,1 cm. Prava vrijednost je 25,0 cm (poznata iz etalona).

2.Izračunaj srednju vrijednost x̄ = (27,1 + 27,0 + 27,1) cm : 3 ≈ 27,1 cm. Zaokruži tek konačan rezultat.

3.Odredi rasipanje: preciznost Najveće − najmanje = 27,1 − 27,0 = 0,1 cm. Malo rasipanje znači preciznost.

4.Odredi odstupanje od prave vrijednosti: tačnost x̄ − 25,0 cm ≈ 2,1 cm. Veliko odstupanje znači netačnost.

5.Zaključi i traži uzrok Mjerenje je precizno, a netačno. Vjerovatan uzrok je pomjerena nula lenjira (sistematska greška), pa treba ispraviti lenjir, a ne ponavljati mjerenje.

Riješeno poređenje: ponovljivost i referenca

Referentna dužina je 25,0 cm. Grupa A dobije 27,1; 27,0; 27,1 cm, a grupa B 24,6; 25,4; 25,0 cm.

Ponovljivost: raspon grupe A je 0,1 cm, a grupe B 0,8 cm. A je preciznija: njena očitanja su međusobno bliža.
Poređenje s referencom: srednja vrijednost grupe A je ≈ 27,1 cm, pa odstupa ≈ 2,1 cm. Srednja vrijednost grupe B je 25,0 cm, jednaka referenci u ovom primjeru.
Zaključak: B je tačnija u prosjeku, A preciznija. Ponavljanje pomjerene skale može dati vrlo bliska, ali stalno pogrešna očitanja. Zato provjeravamo i rasipanje i referencu.

3. Ponovljena mjerenja i srednja vrijednost

Isti instrument i ista olovka mogu dati 24,9 cm, pa 25,1 cm, pa 25,0 cm. Razlog su sitne slučajnosti: kako si postavio početak skale, kako si gledao, gdje si procijenio dio između crtica. Zato mjerenje ponavljamo 3 do 5 puta i uzimamo srednju vrijednost:

x̄ = (x₁ + x₂ + … + xₙ) / n

Srednja vrijednost je bolja procjena od pojedinačnog mjerenja, jer se slučajne greške djelimično poništavaju: neka očitanja su malo veća, neka malo manja.

Odstupanje pojedinog mjerenja je razlika između tog mjerenja i srednje vrijednosti:

Δxᵢ = xᵢ − x̄

Odstupanje može biti pozitivno ili negativno, a mjeri se u istoj jedinici kao i veličina. Za mjerenja 24,9 cm, 25,0 cm i 25,1 cm srednja vrijednost je 25,0 cm, a odstupanja su −0,1 cm, 0,0 cm i +0,1 cm.

Odstupanje nije isto što i nesigurnost: odstupanje govori koliko se jedno očitanje razlikuje od srednje vrijednosti, a nesigurnost opisuje raspon koji pridružujemo rezultatu. Na nju mogu uticati podjela instrumenta, način rada i rasipanje očitanja.

💡 Zapamti Srednja vrijednost ublažava slučajne greške, ali ne može ispraviti sistematsku grešku. Ako je početak skale oštećen, sva očitanja su pogrešna u istom smjeru i srednja vrijednost to ne popravlja.

Pregledna tabela mjerenja

Više mjerenja preglednije je zapisati u tabelu nego u dugu rečenicu. Tabela ima jedinicu u zaglavlju, po jedno mjerenje u svakom redu i red za srednju vrijednost. Tako se odmah vidi i rasipanje i odstupanja.

1.Napravi zaglavlje Kolone: redni broj mjerenja, veličina s jedinicom (t / s) i odstupanje (Δt / s).

2.Upiši mjerenja Svako mjerenje u svoj red, sa istim brojem decimala i decimalnim zarezom.

3.Izračunaj srednju vrijednost i odstupanja Odstupanje je Δtᵢ = tᵢ − t̄. Zaokruživanje ostavi za kraj.

4.Provjeri zbir odstupanja Zbir svih odstupanja mora biti ≈ 0. Ako nije, pogriješio si u srednjoj vrijednosti.

Mjerenje	t / s	Δt / s
1	0,45	−0,006
2	0,47	+0,014
3	0,44	−0,016
4	0,46	+0,004
5	0,46	+0,004
srednja	0,456 ≈ 0,46	zbir ≈ 0

4. Isprobaj: tri mjerenja iste dužine

Tri mjerenja, srednja vrijednost i odstupanja

Tri učenika mjere istu olovku metarskom skalom s podiokom 1 mm. Pomjeri klizače za po 1 mm i gledaj šta se dešava s tabelom, s oznakama na skali i sa srednjom vrijednošću. Obrati pažnju na slučaj kada jedno očitanje jako odstupi.

1. mjerenje: 25,0 cm 2. mjerenje: 25,1 cm 3. mjerenje: 24,9 cm

Mjerenje	Očitanje	Odstupanje Δ

Rezultat zapisujemo s nesigurnošću.

Pomjeri klizače i uporedi srednju vrijednost sa pojedinačnim očitanjima.

5. Korak po korak: srednja vrijednost i odstupanja

Zadatak: „Učenik je tri puta izmjerio dužinu olovke: 24,9 cm, 25,0 cm i 25,1 cm. Izračunaj srednju vrijednost, odstupanja i napiši rezultat, ako je najmanji podiok skale 1 mm.“

1.Uskladi jedinice Sva tri očitanja su u centimetrima, pa nema pretvaranja. Da je neko bilo u milimetrima, prvo bismo ga pretvorili.

2.Saberi mjerenja 24,9 + 25,0 + 25,1 = 75,0 cm.

3.Podijeli brojem mjerenja 75,0 : 3 = 25,0 cm. To je srednja vrijednost x̄.

4.Odredi nesigurnost Najmanji podiok je 1 mm = 0,1 cm, pa je nesigurnost 0,1 cm.

5.Izračunaj odstupanja 24,9 − 25,0 = −0,1 cm; 25,0 − 25,0 = 0,0 cm; 25,1 − 25,0 = +0,1 cm.

6.Zapiši rezultat (25,0 ± 0,1) cm. Broj i nesigurnost imaju isti broj decimala.

7.Provjeri smisao Odstupanja ne prelaze nesigurnost (0,1 cm), pa se mjerenja dobro slažu. Štap dužine 25 cm lako stane na školsku klupu; račun ne daje nerazumno veliku dužinu.

6. Riješeni primjeri

Dva tipa zadatka: srednja vrijednost ponovljenih mjerenja te nesigurnost i zapis rezultata. U svakom tipu su tri primjera, od lakšeg ka težem.

Tip 1: srednja vrijednost i odstupanja

Primjer 1: tri mjerenja

Dužina stola izmjerena je tri puta: 124,9 cm, 125,0 cm i 125,1 cm. Odredi srednju vrijednost.

Podaci=124,9 cm; 125,0 cm; 125,1 cm Sva mjerenja su u istoj jedinici, pa možemo sabirati.

Zbir=375,0 cm 124,9 + 125,0 + 125,1 = 375,0.

x̄=375,0 : 3 = 125,0 cm Dijelimo brojem mjerenja, dakle s tri.

Smisao⇒125,0 cm Srednja vrijednost leži između najmanjeg i najvećeg mjerenja — to je uvijek dobra provjera.

Primjer 2: četiri mjerenja

Visina knjige mjerena je četiri puta: 12,4 cm, 12,5 cm, 12,3 cm i 12,4 cm. Odredi srednju vrijednost i odstupanja.

Zbir=12,4 + 12,5 + 12,3 + 12,4 = 49,6 cm Sabiraš sva četiri očitanja, ne samo prva tri.

x̄=49,6 : 4 = 12,4 cm Broj mjerenja je n = 4, pa dijelimo sa 4.

Δ₁=12,4 − 12,4 = 0,0 cm Prvo mjerenje se poklapa sa srednjom vrijednošću.

Δ₂=12,5 − 12,4 = +0,1 cm Pozitivno odstupanje: očitanje je veće od srednje vrijednosti.

Δ₃=12,3 − 12,4 = −0,1 cm Negativno odstupanje: očitanje je manje od srednje vrijednosti.

Provjera≈0,0 + 0,1 − 0,1 + 0,0 = 0 Zbir odstupanja je približno nula — dobar znak da je srednja vrijednost dobro izračunata.

Primjer 3: jedno očitanje jako odstupa

Masa uzorka mjerena je pet puta: 48,2 g, 48,4 g, 48,3 g, 48,5 g i 51,0 g. Izračunaj srednju vrijednost sa svih pet mjerenja i bez posljednjeg, pa uporedi.

Zbir (5)=48,2 + 48,4 + 48,3 + 48,5 + 51,0 = 244,4 g Posljednje očitanje je 2,6 g veće od ostalih — sumnjivo je.

x̄ (5)=244,4 : 5 = 48,88 ≈ 48,9 g Srednja vrijednost je zaokružena na jednu decimalu, kao i mjerenja.

Zbir (4)=193,4 g Bez sumnjivog očitanja: 48,2 + 48,4 + 48,3 + 48,5 = 193,4.

x̄ (4)=193,4 : 4 = 48,35 ≈ 48,4 g Bez posljednjeg očitanja srednja vrijednost je približno 0,5 g manja. To poređenje još ne dokazuje da očitanje smijemo izostaviti.

Zaključak⇒48,4 g uz ponovljeno mjerenje Odstupanje od 2,6 g veće je od nesigurnosti vage (0,1 g), pa treba provjeriti postupak i ponoviti mjerenje. Očitanje izostavi samo ako utvrdiš razlog greške i zapišeš ga.

Tip 2: nesigurnost i zapis rezultata

Primjer 1: metarska skala

Dužina olovke očitana je kao 25,0 cm na skali s najmanjim podiokom 1 mm. Zapiši rezultat s nesigurnošću i navedi interval u kojem je prava vrijednost.

Očitanje=25,0 cm Pročitan je cijeli centimetar i procijenjen dio do sljedeće crtice.

Podiok=1 mm = 0,1 cm Razmak između susjednih crtica pretvaramo u centimetre.

Nesigurnost=0,1 cm Po dogovoru iz lekcije nesigurnost je jednaka najmanjem podioku.

Zapis=(25,0 ± 0,1) cm Procijenjeni interval zbog očitavanja je od 24,9 cm do 25,1 cm; moguće dodatne greške treba zasebno provjeriti.

Primjer 2: menzura

U menzuri s najmanjim podiokom 2 mL očitana je zapremina 84 mL. Zapiši rezultat s nesigurnošću.

Očitanje=84 mL Nivo vode čitan je na dnu udubljenja (meniskusa), okomito na skalu.

Nesigurnost=2 mL Nesigurnost je jednaka najmanjem podioku menzure.

Zapis=(84 ± 2) mL Procijenjeni interval zbog očitavanja je od 82 mL do 86 mL.

Smisao⇒84 mL = 0,084 L Zapis je i u litrama moguć: (0,084 ± 0,002) L, jer se nesigurnost pretvara zajedno s brojem.

Primjer 3: temperatura mjerena tri puta

Temperatura vode mjerena je tri puta termometrom s najmanjim podiokom 1 °C: 21 °C, 22 °C i 21 °C. Odredi srednju vrijednost, odstupanja i zapiši rezultat.

x̄=(21 + 22 + 21) : 3 = 64 : 3 ≈ 21,3 °C Zbir je 64 °C, a dijeljenje s tri daje 21,33 °C.

Zaokruži≈21 °C Termometar razlikuje samo cijele stepene, pa srednju vrijednost zaokružujemo na cijeli stepen.

Odstupanja=−0,3 °C; +0,7 °C; −0,3 °C Računato od 21,3 °C, prije zaokruživanja.

Zapis=(21 ± 1) °C Nesigurnost je 1 °C, pa broj i nesigurnost pišemo na cijele stepene.

Smisao⇒voda je mlaka Odstupanje od 0,7 °C manje je od nesigurnosti, pa se mjerenja slažu.

⚠️ Česte greške

„Nesigurnost znači da sam pogriješio.“ Ne. Nesigurnost opisuje granicu očitavanja instrumenta i piše se i kada je mjerenje savršeno pažljivo izvedeno.
Previše decimala. (25,03 ± 0,1) cm obećava stoti dio centimetra koji skala ne razlikuje. Ispravno je (25,0 ± 0,1) cm.
Jedno mjerenje i odmah rezultat. Jedno očitanje može biti slučajno preveliko ili premalo; ponovi mjerenje 3 do 5 puta i uzmi srednju vrijednost.
Pogrešna osnova za odstupanje. Odstupanje se računa od srednje vrijednosti, a ne od nule ni od prvog mjerenja.

✅ Kviz — provjeri sebe (4 pitanja)

1. Zašto isto mjerenje ponavljamo nekoliko puta?

2. Šta znači zapis (25,0 ± 0,1) cm?

3. Najmanji podiok skale je 1 mm. Kolika je nesigurnost zapisa po dogovoru iz lekcije?

4. Mjerenja su 12,4 cm, 12,5 cm i 12,3 cm. Kolika je srednja vrijednost?

7. Primijeni i objasni

Samostalan zadatak: Učenik je pet puta izmjerio dužinu daske: 182,3 cm, 182,5 cm, 182,4 cm, 182,6 cm i 185,0 cm. Najmanji podiok skale je 1 mm. Izračunaj srednju vrijednost sa svih pet mjerenja i bez posljednjeg, uporedi ih i napiši zapis uz nesigurnost zbog podioka. Objasni i zašto rasipanje može povećati ukupnu nesigurnost.

Provjeri rješenje i obrazloženje

Sa svih pet mjerenja: zbir je 182,3 + 182,5 + 182,4 + 182,6 + 185,0 = 914,8 cm, pa je x̄ = 914,8 : 5 = 182,96 cm ≈ 183,0 cm. Bez posljednjeg mjerenja: zbir je 729,8 cm, pa je x̄ = 729,8 : 4 = 182,45 cm ≈ 182,5 cm. Posljednje očitanje odstupa 2,6 cm od ostalih, što je dvadeset i šest puta više od nesigurnosti 0,1 cm — takvo očitanje je vjerovatno pogrešno pročitana skala, pa ga treba provjeriti ponovnim mjerenjem. Nemoj ga izbrisati samo zato što odstupa. Ako se potvrdi greška očitavanja, zabilježi razlog izostavljanja. Za preostala četiri očitanja srednja vrijednost je ≈ 182,5 cm; samo nesigurnost zbog podioka je 0,1 cm. Raspon 182,3–182,6 cm upozorava da za ukupnu nesigurnost treba uzeti u obzir i rasipanje.

Samostalan zadatak 2: Dva mjerioca mjere dužinu šipke čija je prava vrijednost 50,0 cm. Prvi dobije 50,6 cm, 50,5 cm i 50,6 cm. Drugi dobije 49,8 cm, 50,3 cm i 50,0 cm. Koji mjerilac je precizniji, a koji tačniji? Obrazloži preko rasipanja i odstupanja od prave vrijednosti.

Provjeri rješenje i obrazloženje

Prvi: x̄ = (50,6 + 50,5 + 50,6) : 3 ≈ 50,6 cm; rasipanje 50,6 − 50,5 = 0,1 cm; odstupanje od prave vrijednosti 50,6 − 50,0 = 0,6 cm. Precizan je, ali netačan. Drugi: x̄ = (49,8 + 50,3 + 50,0) cm : 3 ≈ 50,03 cm; rasipanje 50,3 − 49,8 = 0,5 cm; odstupanje srednje vrijednosti od prave vrijednosti ≈ 0,03 cm. Tačniji je u prosjeku, ali manje precizan. Odgovor: precizniji je prvi mjerilac, a tačniji drugi.

Samostalan zadatak 3: Za pet mjerenja trajanja istog niza oscilacija njihala dobiveni su podaci štopericom čiji je najmanji podjeljak 0,01 s: 3,21 s; 3,18 s; 3,25 s; 3,20 s; 3,22 s. Napravi tabelu s rednim brojem, vremenom i odstupanjem, izračunaj srednju vrijednost i napiši zapis uz nesigurnost zbog podioka. Objasni i zašto rasipanje može povećati ukupnu nesigurnost.

Provjeri rješenje i obrazloženje

Zbir je 16,06 s, pa je t̄ = 16,06 : 5 = 3,212 s ≈ 3,21 s. Tabela: (1) 3,21 s, Δt = −0,002 s; (2) 3,18 s, Δt = −0,032 s; (3) 3,25 s, Δt = +0,038 s; (4) 3,20 s, Δt = −0,012 s; (5) 3,22 s, Δt = +0,008 s. Zbir odstupanja je 0 s, što provjerava račun srednje vrijednosti. Nesigurnost zbog podioka je 0,01 s, ali opaženo rasipanje i vrijeme reakcije mogu biti veći. Zapis (3,21 ± 0,01) s zato opisuje samo očitanje skale, a ne dokazanu ukupnu nesigurnost mjerenja.

Pokušaj najprije samostalno. Ako zapneš, vrati se na simulaciju i pomjeri treći klizač na krajnju vrijednost — vidjet ćeš kako jedno očitanje vuče srednju vrijednost.

Veza s programom

Ključni sadržaji koje ovdje učiš: mjerenje, instrument i skala, najmanji podiok, nesigurnost mjerenja, ponovljena mjerenja, srednja vrijednost i odstupanje.

Oblast A. Priroda fizike i naučni metod — mjerenje. Predmetni kurikulum KS, 7. razred, štampana stranica 10. Redoslijed lekcija na portalu je urednički. Objašnjenja, primjeri i simulacija su autorski.