Mjerenje zapremine

🎯 Cilj lekcije

Izračunati zapreminu kvadra i kocke po formuli.
Očitati zapreminu tečnosti u menzuri, na dnu meniskusa.
Izmjeriti zapreminu nepravilnog tijela istisninom.
Pretvarati cm³, dm³, L i mL i znati da je 1 L = 1 dm³.

1. Zapremina i njene jedinice

Zapremina kaže koliko prostora tijelo zauzima. Za tečnosti kažemo i koliko ih stane u posudu. Zapreminu kvadra stranica a, b i c računamo po formuli:

V = a · b · c

Kocka ivice a ima V = a · a · a = a³. Kvadar 8 cm × 5 cm × 3 cm ima zapreminu 120 cm³ — to je isto kao 120 mL ili 0,12 L.

SI jedinica za zapreminu je metar kubni, ali u laboratoriji je prevelika, pa koristimo kubni decimetar, kubni centimetar, litru i mililitar. Litra je posebno ime za kubni decimetar:

Jedinica	Veza	Primjer
1 mL	= 1 cm³	kockica ivice 1 cm
1 L	= 1 dm³ = 1000 cm³ = 1000 mL	boca soka
1 m³	= 1000 dm³ = 1000 L	spremnik od 1000 L
1 cm³	= 0,001 dm³ = 0,001 L	kocka ivice 1 cm

Kod zapremine se faktor pretvorbe kubira, jer se pretvaraju sve tri dimenzije: 1 m = 100 cm, pa je 1 m³ = 100 cm · 100 cm · 100 cm = 1 000 000 cm³.

⚠️ Pazi 1 L nije 100 cm³ nego 1000 cm³. Litar je kubni decimetar, a decimetar je deset centimetara — kocka 10 cm × 10 cm × 10 cm ima tačno 1000 cm³.

2. Menzura: skala i meniskus

Menzura (graduirana cilindrična posuda) je posuda sa skalom za mjerenje zapremine tečnosti. Skala je najčešće u mililitrima. Kao i kod svakog instrumenta, prvo nađeš najmanji podiok: menzura u školi obično ima podiok 1 mL ili 2 mL, a veće imaju 5 mL ili 10 mL.

Površina tečnosti u uskoj posudi nije ravna. U staklu se voda uz zidove penje, pa je površina udubljena — ta zakrivljena površina zove se meniskus. Kod vode je meniskus udubljen (konkavan), a kod žive ispupčen. Zato vrijedi dogovor:

💡 Zapamti Nivo tečnosti s udubljenim meniskusom očitavaš na najnižoj tački zakrivljene površine, i to okom na skalu. Ako gledaš odozgo, pročitat ćeš preveliku zapreminu.

Nesigurnost očitanja je, kao i u prethodnoj lekciji, jednaka najmanjem podioku. Menzura s podiokom 2 mL daje zapis kao (84 ± 2) mL.

Menzuru drži uspravno na stolu, a ne u ruci. Nivo u nagnutoj menzuri je viši na jednoj strani, pa očitanje nije tačno.

3. Nepravilno tijelo: mjerenje istisninom

Kamen, ključ ili figurica nemaju stranice koje bi izmjerio lenjirom. Njihovu zapreminu nalazimo preko vode koju istisnu. Postupak se zove mjerenje istisninom:

Nalij vodu u menzuru i očitaj početni nivo V₁.
Pažljivo spusti tijelo da potpuno uroni.
Očitaj novi nivo V₂.
Zapremina tijela je razlika: V = V₂ − V₁.

V(tijela) = V₂ − V₁

Rezultat je u mililitrima, a kako je 1 mL = 1 cm³, isti broj vrijedi i za kubne centimetre. Primjer: V₁ = 60 mL, V₂ = 85 mL, pa je zapremina tijela 25 mL = 25 cm³.

Da bi mjerenje bilo ispravno, tri uslova moraju biti zadovoljena:

tijelo mora potpuno uroniti — ovdje biramo tijelo koje samo tone. Za tijelo koje pluta potreban je dodatni pribor, a i on istiskuje vodu;
tijelo mora biti potpuno pod vodom, bez mjehurića zraka na površini;
voda se ne smije prosuti, a tijelo se ne smije rastvarati u vodi niti upijati vodu.

⚠️ Pazi Mjehurić zraka na tijelu ponaša se kao dio tijela i nivo podigne više nego što treba. Zato tijelo prije uranjanja lagano protresi ili obriši.

4. Isprobaj: spusti tijelo u menzuru

Menzura, meniskus i istisnina

Odaberi zapreminu tijela i početnu količinu vode, pa spusti tijelo u menzuru. Skala je nacrtana u razmjeru: svaki veliki podeok je 50 mL. Oblik tijela je šematski, a nivo vode se podiže za zapreminu uronjenog dijela.

Zapremina tijela: 40 cm³ Voda prije uranjanja: 100 mL

Očitanje	u mL	u cm³

Očitaj početni nivo, spusti tijelo i očitaj novi nivo.

Gdje treba biti oko pri očitavanju?

Oko u ravni meniskusa

Bočni, šematski prikaz uvećanog dijela menzure (podiok 1 mL). Skala je na prednjem zidu, a najniža tačka meniskusa je u sredini, malo iza skale. Razmak skale i površine vode je namjerno uvećan da se vidi pomak. Prvo pretpostavi: iz kojeg položaja oka je očitanje najpouzdanije? Zatim odaberi pogled, prati liniju pogleda do skale i upiši šta očitavaš.

Visina oka: u ravni dna meniskusa

Plava tačka: najniža tačka meniskusa (V). Narandžasta tačka: gdje linija pogleda siječe skalu. Isprekidana linija: linija pogleda. Prikaz je šematski, a razmak skale i vode uvećan.

Moje očitanje (mL):

Odaberi položaj oka, pročitaj mjesto gdje linija pogleda siječe skalu i upiši očitanje u mL.

5. Korak po korak: zapremina kamena istisninom

Zadatak: „U menzuru s podiokom 1 mL naliveno je 60 mL vode. Kada je kamen potpuno uronjen, nivo pokaže 85 mL. Odredi zapreminu kamena i zapiši je u cm³, dm³ i litrama.“

1.Očitaj V₁ Prije uranjanja nivo je 60 mL. Gledaj najnižu tačku meniskusa, okomito na skalu.

2.Očitaj V₂ Poslije uranjanja nivo je 85 mL, uz uslov da je kamen potpuno pod vodom.

3.V = V₂ − V₁ Zapremina tijela jednaka je istisnutoj zapremini vode.

4.=85 mL − 60 mL = 25 mL Oduzimamo manji nivo od većeg, pa je rezultat pozitivan.

5.=25 mL = 25 cm³ Jedan mililitar je jedan kubni centimetar, pa broj ostaje isti.

6.= 0,025 dm³ = 0,025 L 1 dm³ = 1000 cm³, pa 25 cm³ dijelimo sa 1000.

7.Provjeri smisao Kamen zapremine 25 cm³ može stati u dlan. Iz same zapremine ne možemo zaključiti kolika mu je masa.

6. Riješeni primjeri

Dva tipa zadatka: zapremina kvadra po formuli te zapremina istisninom. U svakom tipu su tri primjera, od lakšeg ka težem.

Tip 1: zapremina kvadra i pretvaranje

Primjer 1: kvadar

Kvadar ima stranice 8 cm, 5 cm i 3 cm. Odredi zapreminu u cm³, mL i litrama.

Podaci=a = 8 cm, b = 5 cm, c = 3 cm Sve tri stranice su u centimetrima, pa je rezultat u cm³.

Formula=V = a · b · c Zapremina kvadra je proizvod tri dimenzije.

V=8 · 5 · 3 = 120 cm³ Prvo 8 · 5 = 40, pa 40 · 3 = 120.

U mL=120 mL 1 cm³ = 1 mL, pa je broj isti.

U litrama=120 : 1000 = 0,12 L 1 L = 1000 mL, pa iz mililitara u litre dijelimo sa 1000.

Smisao⇒V = 0,12 L Manje od jedne čaše vode — veličina je moguća za kutiju tih dimenzija.

Primjer 2: akvarijum

Akvarijum je kvadar 40 cm × 25 cm × 30 cm. Koliko litara vode stane u njega?

Podaci=a = 40 cm, b = 25 cm, c = 30 cm Dimenzije su u centimetrima, pa će zapremina biti u cm³.

V=40 · 25 · 30 = 30 000 cm³ 40 · 25 = 1000, a 1000 · 30 = 30 000.

U dm³=30 000 : 1000 = 30 dm³ 1 dm³ = 1000 cm³.

U litrama=30 L 1 L = 1 dm³, pa je 30 dm³ isto što i 30 L.

Smisao⇒V = 30 L Akvarijum od 30 L je mali kućni akvarijum — rezultat je moguć.

Primjer 3: visina iz zapremine

Posuda oblika kvadra ima zapreminu 2,5 L, a dno 20 cm × 12,5 cm. Do koje visine se napuni?

Pretvorba=2,5 L = 2500 cm³ Prvo pretvori zapreminu u kubne centimetre, jer su stranice u centimetrima.

Dno=20 · 12,5 = 250 cm² Površina dna je proizvod dvije stranice.

Formula=V = P · h Zapremina je površina dna puta visina.

h=2500 : 250 = 10 cm Dijelimo zapreminu površinom dna da dobijemo visinu.

Provjera=20 · 12,5 · 10 = 2500 cm³ Množenjem sve tri dimenzije vraćamo se na polaznu zapreminu — račun je dobar.

Tip 2: zapremina istisninom

Primjer 1: kamen u menzuri

Prije uranjanja kamena u menzuri je bilo 60 mL vode, a poslije 85 mL. Kolika je zapremina kamena?

V₁=60 mL Početni nivo, očitan na dnu meniskusa.

V₂=85 mL Nivo poslije potpunog uranjanja kamena.

V=V₂ − V₁ = 85 − 60 = 25 mL Voda je porasla za zapreminu tijela.

U cm³=25 cm³ 1 mL = 1 cm³, pa je broj isti.

Smisao⇒V = 25 cm³ Kamen veličine oraha ima oko 20 do 30 cm³ — rezultat je moguć.

Primjer 2: metalni predmet i litre

U menzuri je 120 mL vode. Poslije uranjanja metalnog predmeta nivo pokaže 175 mL. Odredi zapreminu predmeta u cm³, dm³ i litrama.

V₁=120 mL Početno očitanje prije uranjanja.

V₂=175 mL Očitanje poslije uranjanja, s predmetom potpuno pod vodom.

V=175 − 120 = 55 cm³ Razlika nivoa je zapremina ključa, u mililitrima i kubnim centimetrima isto.

U dm³=55 : 1000 = 0,055 dm³ 1 dm³ = 1000 cm³, pa dijelimo sa 1000.

U litrama=0,055 L Litra je isto što i kubni decimetar, pa je broj isti.

Smisao⇒V = 0,055 L Metalni predmet od 55 cm³ može stati u širu menzuru, a 0,055 L je pedeset i pet hiljaditih dijelova litre.

Primjer 3: kocka i očekivani nivo

Metalna kocka ima ivicu 4 cm. U menzuri je 80 mL vode. Koji nivo očekujemo kada kocku potpuno uronimo?

V(kocke)=4³ = 64 cm³ Kocka ivice 4 cm ima zapreminu 4 · 4 · 4 = 64 cm³.

U mL=64 mL Kubni centimetar i mililitar su jednaki.

V₂=V₁ + V = 80 + 64 Ovaj put tražimo novi nivo, pa zapreminu tijela dodajemo početnom nivou.

Račun=144 mL Nivo u menzuri bio bi 144 mL.

Smisao⇒V₂ = 144 mL Kocka od 64 cm³ mora podići nivo za 64 mL — to je više od polovine početne količine, pa je rezultat logičan.

⚠️ Česte greške

Očitavanje s vrha meniskusa. Kod vode je meniskus udubljen, pa se čita najniža tačka. Vrh daje preveliku zapreminu.
Izvještaj o V₂ kao zapremini tijela. Zapremina tijela je razlika V₂ − V₁, a ne novo očitanje. Bez oduzimanja dobiješ i vodu i tijelo.
Tijelo pluta ili viri iz vode. Tada se mjeri samo uronjeni dio. Tijelo mora potonuti i biti potpuno pod vodom.
1 L = 100 cm³. Nije: 1 L = 1000 cm³, jer je litra kocka ivice 10 cm.

✅ Kviz — provjeri sebe (4 pitanja)

1. Koliko kubnih centimetara ima 1 L?

2. Gdje očitavaš nivo vode u menzuri?

3. U menzuri je 50 mL vode, a poslije uranjanja tijela 72 mL. Kolika je zapremina tijela?

4. Čemu je jednako 1 dm³?

7. Primijeni i objasni

Samostalan zadatak: U menzuru s najmanjim podiokom 5 mL naliveno je 120 mL vode. Poslije uranjanja kamena nivo pokaže 155 mL. Odredi zapreminu kamena u cm³, dm³ i litrama, zapiši rezultat s nesigurnošću i objasni zašto kamen mora potpuno potonuti.

Provjeri rješenje i obrazloženje

Početni nivo je V₁ = 120 mL, a nivo poslije uranjanja V₂ = 155 mL. Zapremina kamena je V = V₂ − V₁ = 35 mL = 35 cm³. U kubnim decimetrima: 35 : 1000 = 0,035 dm³, a kako je 1 dm³ = 1 L, to je i 0,035 L. Svako od dva očitanja ima procijenjenu nesigurnost zbog podioka od 5 mL. Pri oduzimanju uzimamo opreznu granicu 5 mL + 5 mL = 10 mL, pa je zapis V = (35 ± 10) mL. To je procjena zbog dva očitanja, bez drugih mogućih grešaka. Kamen mora potonuti zato što se mjeri zapremina istisnute vode: kada bi tijelo plutalo, uronio bi samo dio i izmjerili bismo premalu zapreminu. Isto tako, mjehurići zraka na kamenu podigli bi nivo više nego što odgovara njegovoj zapremini.

Pokušaj najprije samostalno. Ako zapneš, vrati se na simulaciju i uporedi nivo prije i poslije uranjanja.

Veza s programom

Ključni sadržaji koje ovdje učiš: zapremina i jedinice zapremine, menzura i očitavanje meniskusa, mjerenje zapremine nepravilnog tijela istisninom.

Oblast A. Priroda fizike i naučni metod — mjerenje. Predmetni kurikulum KS, 7. razred, štampana stranica 10. Redoslijed lekcija na portalu je urednički. Objašnjenja, primjeri i simulacija su autorski.