Tabele, grafikoni i proporcionalnost

🎯 Cilj lekcije

Prepoznati direktnu i obrnutu proporcionalnost preko stalnog količnika ili proizvoda.
Povezati skicu, tabelu, grafik i formulu iste pojave.
Preurediti jednostavnu formulu, pretvoriti jedinice i provjeriti smisao rezultata.
Jasno objasniti grafički prikaz drugom učeniku.

1. Šta ti govori tabela, a šta grafik?

Dva komada iste homogene tvari imaju zapremine 2 cm³ i 4 cm³. Ako drugi ima dvostruku masu, da li će i treći, tri puta veći komad imati trostruku masu? Tabela pomaže da uporediš brojeve, a grafik da uočiš pravilnost.

U tabeli svaka kolona ima naziv veličine i jedinicu. Na grafiku jedna tačka predstavlja par vrijednosti. Prvo pročitaj vodoravnu osu, zatim uspravnu: tačka (4 cm³, 8 g) kaže da je pri zapremini 4 cm³ masa 8 g.

V / cm³	m / g	m/V / (g/cm³)
2	4	2
4	8	2
6	12	2

Ovo su modelni podaci za tvar gustine 2 g/cm³, pri stalnoj temperaturi. U stvarnom ogledu upisuješ ono što si izmjerio, čak i kada tačke ne leže savršeno na pravoj.

2. Direktna i obrnuta proporcionalnost

Direktna proporcionalnost: kada zapreminu istog materijala povećaš dva puta, masa se poveća dva puta. Količnik m/V ostaje stalan i jednak je gustini. Grafik m prema V je prava kroz koordinatni početak.

m = ρ · V | m/V = ρ = stalno

Obrnuta proporcionalnost: uporedi različite uzorke iste mase 12 g. Uzorak veće zapremine ima manju prosječnu gustinu. Udvostručiš li V, gustina se prepolovi. Proizvod ρ·V ostaje 12 g. Grafik je zakrivljen; opadanje samo po sebi nije dovoljan dokaz obrnute proporcionalnosti.

ρ = m/V | ρ · V = m = stalno

Ne sabijamo isti čvrsti uzorak klizačem: u drugom modelu poredimo različite uzorke jednake mase. Formulu možeš preurediti: iz ρ = m/V množenjem s V dobiješ m = ρ·V, a dijeljenjem s ρ dobiješ V = m/ρ.

Prije crtanja skiciraj problem Nacrtaj dva tijela. Uz prvo napiši šta ostaje stalno, a uz drugo šta mijenjaš. Označi poznate veličine i traženu veličinu. Tek onda izaberi formulu i jedinice.

3. Istraži zavisnost

Odaberi odnos pa mijenjaj zapreminu. Tačka, tabela i opis prikazuju iste podatke. Ose su linearne; njihov razmjer se ne mijenja pri pomjeranju klizača.

Model Zapremina: 4 cm³

Zapremina V / cm³	Masa m / g	Količnik m/V / (g/cm³)

Od mjerenja do vlastitog grafa

Prikupi najmanje tri različita para podataka. Zatim sam postavi tačke: izaberi oznake osa, prepiši V kao vodoravnu koordinatu i očitanu veličinu kao uspravnu. Predvidi oblik grafa prije nego što postaviš sve tačke.

1. Prikupi podatke

Ogled Zapremina uzorka

Tačka	V / cm³	m / g	Postavljena tačka

2. Označi ose i postavi tačke

Čitaj jedan red tabele: prvo V → vodoravno, zatim drugu vrijednost ↑ uspravno. Broj uz tačku povezuje je s redom tabele.

Vodoravna osa Uspravna osa Vodoravna koordinata Uspravna koordinata

Mali podjeljak: vodoravno 1 cm³; uspravno 1 g ili 1 g/cm³. Isprekidane linije pokazuju kako čitaš posljednju postavljenu tačku.

3. Objasni pravilnost

Koju pravilnost pokazuju tvoji podaci?

Počni mjerenjem prvog uzorka.

Ovo su idealni modelni podaci. U prvom ogledu ista tvar ima gustinu 2 g/cm³. U drugom porediš različite uzorke iste mase, a ne sabijaš isti uzorak. U stvarnom ogledu zabilježi stvarna očitanja i kada tačke nisu savršeno pravilne.

4. Korak po korak: od riječi do grafa

Homogen uzorak gustine 2 g/cm³ ima zapreminu 5 cm³. Odredi masu i označi tačku na grafiku.

Podaci: ρ = 2 g/cm³; V = 5 cm³Nacrtaj uzorak i označi zapreminu. Tražiš masu m.

m = ρ · VIz ρ = m/V pomnoži obje strane sa V. Gustina je stalna.

m = 2 g/cm³ · 5 cm³ = 10 gJedinice cm³ se pokrate. Na grafiku je tačka (5 cm³, 10 g).

10 g = 0,010 kgPodijeli sa 1000 da dobiješ osnovnu SI jedinicu mase.

Provjera: 10 g / 5 cm³ = 2 g/cm³Dobijena gustina vraća početni podatak. Masa raste sa zapreminom, pa rezultat ima smisla.

Riješeni primjeri

Tip 1: ista gustina — direktna proporcionalnost

Primjer 1: masa manjeg uzorka

Tvar ima gustinu 2 g/cm³. Kolika je masa uzorka zapremine 3 cm³?

ρ = 2 g/cm³; V = 3 cm³Traži se masa. Sve veličine su u usklađenim jedinicama.

m = ρ · V = 2 · 3 g = 6 gNa grafiku pronađi V = 3 cm³ i m = 6 g.

6 g = 0,006 kgMasa 3 cm³ iste tvari tri puta je veća od mase 1 cm³.

Primjer 2: udvostručena zapremina

Uzorak zapremine 3 cm³ ima masu 6 g. Koliku masu ima 6 cm³ iste tvari?

V₂/V₁ = 6/3 = 2Poredi istu tvar pri istoj temperaturi.

m₂ = 2 · m₁ = 2 · 6 g = 12 gDirektna proporcionalnost: isti faktor djeluje na masu i zapreminu.

12 g / 6 cm³ = 2 g/cm³Količnik je ostao isti. Masa 12 g = 0,012 kg.

Primjer 3: nepoznata zapremina

Masa uzorka je 18 g, a gustina 2 g/cm³. Odredi V.

m = 18 g; ρ = 2 g/cm³Skiciraj uzorak; zapremina je nepoznata.

V = m/ρ = 18 g / (2 g/cm³) = 9 cm³Dijeljenje s g/cm³ daje cm³.

2 g/cm³ · 9 cm³ = 18 gVraćanje u početnu jednačinu potvrđuje rezultat.

Tip 2: ista masa — obrnuta proporcionalnost

Primjer 1: dvije zapremine

Dva različita uzorka imaju po 12 g. Njihove zapremine su 3 cm³ i 6 cm³. Uporedi gustine.

m = 12 g; V₁ = 3 cm³; V₂ = 6 cm³Stalna je masa, a ne gustina.

ρ₁ = 12/3 = 4 g/cm³; ρ₂ = 12/6 = 2 g/cm³Dvostruka zapremina daje upola manju gustinu.

ρ₁V₁ = ρ₂V₂ = 12 gProizvod ostaje stalan; 4 g/cm³ = 4000 kg/m³.

Primjer 2: čitanje zakrivljenog grafa

Na grafiku za masu 12 g odredi gustinu pri V = 8 cm³.

Tačka ima vodoravnu koordinatu 8 cm³Pročitaj uspravnu koordinatu ili upotrijebi formulu.

ρ = m/V = 12 g / 8 cm³ = 1,5 g/cm³Preračunavanje: 1,5 · 1000 = 1500 kg/m³.

1,5 g/cm³ · 8 cm³ = 12 gProvjera proizvoda potvrđuje da tačka pripada modelu.

Primjer 3: da li svako opadanje znači obrnutu proporcionalnost?

Tabela daje V = 2, 4 i 6 cm³, a gustine 6, 4 i 2 g/cm³. Jesu li obrnuto proporcionalne?

V raste, a ρ opadaTo je potrebno, ali nije dovoljno za obrnutu proporcionalnost.

ρV = 12 g, 16 g i 12 gProizvodi nisu jednaki; masa nije stalna.

Zaključak: nema obrnute proporcionalnostiNe proglašavaj zakon samo zato što kriva opada.

⚠️ Česte greške

Prava koja ne prolazi kroz početak nije dokaz direktne proporcionalnosti.
Opadanje nije dovoljno za obrnutu proporcionalnost: provjeri proizvod.
Ne povezuješ razlomljenom linijom mjerenja samo da bi dobio očekivani oblik. Prvo nacrtaj stvarno izmjerene tačke.
Na osi obavezno napiši veličinu i jedinicu. 1 g/cm³ = 1000 kg/m³.

Provjeri sebe

1. Pri stalnoj gustini zapremina se poveća tri puta. Masa se…

2. Koji podatak dokazuje obrnutu proporcionalnost ρ i V?

3. Tačka (6 cm³, 12 g) na grafiku m prema V znači…

4. Iz ρ = m/V slijedi…

Samostalno napravi tabelu i grafik

Za istu tvar gustine 3 g/cm³ izaberi V = 1, 2 i 4 cm³. Skiciraj uzorke, izračunaj mase, nacrtaj grafik, objasni proporcionalnost i masu najvećeg uzorka pretvori u kg. Zatim za različite uzorke jednake mase 12 g i zapremine 1, 2 i 4 cm³ izračunaj gustine i nacrtaj drugi grafik.

Provjeri postupak i odgovor

Prva tabela: m = 3, 6 i 12 g; m/V je stalno 3 g/cm³. Tačke (1,3), (2,6), (4,12) pripadaju pravoj kroz početak; 12 g = 0,012 kg. Druga tabela: ρ = 12, 6 i 3 g/cm³; proizvod ρV je stalno 12 g. Označi tačke i skiciraj opadajuću krivu modela ρ = 12/V. Tri tačke same po sebi ne dokazuju da odnos vrijedi za svaku zapreminu. U oba grafa napiši nazive i jedinice, a u zaključku navedi šta ostaje stalno.

Predstavi oba grafa drugom učeniku. Zamoli ga da svojim riječima opiše razliku, pa provjerite slaganje riječi, tabela i formula.

Veza s programom

A.7.2, matematički metod: direktna i obrnuta proporcionalnost, tabele i grafikoni, preuređivanje izraza, skica problema, jedinice i provjera smisla; A.7.3, komunikacija. Kurikulum KS, štampane str. 12–13. Ovo je urednički raspored sadržaja 7. razreda.