Kinematički opis kretanja: tabele i grafovi

🎯 Cilj lekcije

Opisati isto kretanje riječima, tabelom i grafikom te prelaziti s jednog prikaza na drugi.
Nacrtati i pročitati s-t i v-t grafik.
Odrediti brzinu iz nagiba s-t grafika i pređeni put iz površine ispod v-t grafika.
Prepoznati mirovanje, ravnomjerno i ubrzano kretanje na osnovu oblika grafika.

1. Tri načina opisa istog kretanja

Isto kretanje možeš opisati na tri načina, i sva tri govore istu priču:

Riječima: „Biciklista se kreće stalnom brzinom 5 m/s.“
Tabelom: u jednoj koloni su vremena, u drugoj pređeni putevi.
Grafikom: na osu x stavimo vrijeme, na osu y pređeni put, pa tačke spojimo linijom.

Riječi su najkraće, ali ne pokazuju detalje. Tabela daje tačne brojeve, ali se iz nje ne vidi oblik kretanja na prvi pogled. Grafik pokazuje oblik zavisnosti: da li je linija prava ili kriva, da li raste ili pada. Zato u fizici najčešće koristimo sva tri prikaza zajedno.

💡 Dogovor o osama Vrijeme uvijek ide na horizontalnu osu, a veličina koju mjerimo na vertikalnu. Uz svaku osu pišemo oznaku veličine i jedinicu: t/s i s/m.

2. Tabela mjerenja

Tabelu punimo mjerenjem: svakih nekoliko sekundi zapišemo pređeni put. Iz same tabele već se vidi kakvo je kretanje, ako pogledamo povećanja između susjednih kolona.

t / s	0	1	2	3	4
s / m	0	5	10	15	20
povećanje u 1 s	—	5	5	5	5

Povećanje je stalno i iznosi 5 m, pa se tijelo kreće ravnomjerno brzinom 5 m/s. Kada bi povećanja rasla, kretanje bi bilo ubrzano; kada bi se smanjivala, bilo bi usporeno.

t / s	0	1	2	3	4
s / m	0	2	8	18	32
povećanje u 1 s	—	2	6	10	14

Ovdje povećanja rastu, pa se tijelo ubrzava. Srednja brzina za cijele 4 s je s/t = 32 m : 4 s = 8 m/s, ali ona ne kaže koliko je tijelo išlo u prvoj, a koliko u zadnjoj sekundi.

3. s-t i v-t grafik

Postoje dva grafika koja treba razlikovati već po naslovu osa:

Grafik	Vertikalna osa	Šta pokazuje	Oblik za ravnomjerno kretanje
s-t	pređeni put s	kako put raste s vremenom	prava linija kroz ishodište
v-t	brzina v	kako se brzina mijenja s vremenom	vodoravna linija

Na s-t grafiku ravnomjernog kretanja linija je prava i prolazi kroz ishodište, jer u trenutku t = 0 nije pređen nikakav put. Na v-t grafiku brzina se ne mijenja, pa je linija vodoravna. Pri ravnomjernom ubrzavanju s-t linija je sve strmija, a v-t linija je prava koja se uspinje. Ako ubrzanje nije stalno, v-t linija može biti kriva.

4. Nagib i površina

Dvije stvari na grafiku nose brojčanu informaciju:

Nagib s-t grafika je brzina. Nagib = Δs/Δt, a to je upravo definicija brzine. Što je linija strmija, brzina je veća.
Površina ispod v-t grafika je pređeni put. Pravougaonik širine t i visine v ima površinu v·t, a to je put.

nagib(s-t) = ΔsΔt = v površina(v-t) = v · t = s

Primjer: v-t grafik pokazuje stalnih 12 m/s tokom 5 s. Površina ispod linije je pravougaonik 12 m/s · 5 s = 60 m, pa je pređeni put 60 m. Pri stalnom ubrzanju iz mirovanja površina je trougao: s = (v · t)/2. Ako početna brzina nije nula, površina je trapez.

⚠️ Pazi Prava linija na s-t grafiku nije putanja tijela. Ona pokazuje kako se put mijenja s vremenom. Putanja može biti prava, kružna ili bilo kakva kriva — grafik o tome ne govori.

Stroboskopski snimak

Stroboskopski snimak prikazuje položaje tijela u jednakim vremenskim razmacima (npr. svakih 0,5 s) na jednoj slici. Razmaci između slika govore o kretanju: ako su jednaki, tijelo se kreće ravnomjerno; ako se povećavaju, tijelo se ubrzava. Snimak je dijagram kretanja jer u jednom crtežu prikazuje i položaj i vrijeme.

5. Isprobaj: tri kretanja, jedna tabela i dva grafika

Izaberi kretanje i pomjeri klizač vremena. Tabela, s-t grafik i v-t grafik mijenjaju se zajedno. Obrati pažnju na osjenčanu površinu ispod v-t linije: to je pređeni put.

Vrijeme t: 4,0 s

t / s	0	2	4	6	8	10
s / m	0,0	10,0	20,0	30,0	40,0	50,0
v / (m/s)	5,0	5,0	5,0	5,0	5,0	5,0
sada

t = 4,0 s · s = 20,0 m · v = 5,0 m/s

Ravnomjerno kretanje: svake sekunde 5 m, pa je s-t linija prava, a v-t linija vodoravna.

Istraživački izazov: nacrtaj kretanje svojim odlukama

Plava isprekidana linija je cilj: idi od položaja 0 m do 4 m za 4 s, miruj 2 s, pa se vrati do 0 m za 4 s. Prije prvog koraka predvidi: hoće li se graf pri povratku spuštati ili uspinjati?

Svako dugme pomjera vrijeme za tačno 1 s. Pozitivan smjer je udesno. Ovdje crtaš položaj x, a ne ukupni pređeni put: položaj može opadati.

┄ Plava linija: cilj · ━ Jantarna linija: tvoj pokušaj. Okomiti vodič povezuje isti trenutak na obje linije.

Kreni korak po korak. Nagib pokazuje brzinu s predznakom; vodoravan dio znači mirovanje.

Tabela mog pokušaja — svaki red je tačka na grafiku

t / s	x / m	Cilj x / m	Poređenje

Kako čitati dvije linije?

Isprekidana plava linija je zadatak, puna jantarna je tvoj zapis. Pad linije pri povratku znači smanjenje položaja. Pređeni put i tada raste. Nagla promjena brzine između koraka je pojednostavljenje modela.

6. Korak po korak: iz tabele u grafik

Zadatak: „Tabela daje t = 0, 1, 2, 3, 4 s i s = 0, 4, 8, 12, 16 m. Nacrtaj s-t i v-t grafik i opiši kretanje.“ Radi ovako, korak po korak.

1.Pogledaj povećanja Između susjednih mjerenja put raste za 4 m, uvijek isto, pa je kretanje ravnomjerno.

v=Δs / Δt = 4 m / 1 s = 4 m/s Nagib s-t grafika je brzina. Isti broj dobiješ iz svakog para susjednih kolona.

2.Postavi ose Horizontalno t od 0 do 4 s, vertikalno s od 0 do 16 m. Odaberi razmjer tako da grafik zauzme cijelu površinu.

3.Ucrtaj tačke i spoji ih Tačke (0, 0), (1, 4), (2, 8), (3, 12), (4, 16) leže na pravoj kroz ishodište. To je s-t grafik.

4.Nacrtaj v-t grafik Brzina je stalno 4 m/s, pa je v-t grafik vodoravna linija na visini 4 m/s od 0 do 4 s.

5.Provjeri površinom Površina ispod v-t linije: 4 m/s · 4 s = 16 m, a to je upravo posljednji put iz tabele. Grafici se slažu.

Čitanje stroboskopskog snimka korak po korak

Δt=0,5 s Vrijeme između dvije uzastopne slike je konstantno.

Δs₁ ; Δs₂ ; Δs₃=2,0 cm ; 4,0 cm ; 6,0 cm Razmaci između uzastopnih slika izmjereni lenjirom.

v₁=0,020 m / 0,5 s = 0,040 m/s Brzina između prve i druge slike. Centimetre pretvori u metre.

v₂=0,040 m / 0,5 s = 0,080 m/s Brzina između druge i treće slike.

v₃=0,060 m / 0,5 s = 0,12 m/s Brzina između treće i četvrte slike.

Zaključak⇒brzina raste za 0,040 m/s svakih 0,5 s; a = 0,04 / 0,5 = 0,08 m/s² Stalan porast brzine znači stalno ubrzanje.

7. Riješeni primjeri

Dva tipa zadatka: čitanje tabele i čitanje grafika. U svakom tipu su tri primjera, od lakšeg ka težem.

Tip 1: iz tabele u opis i brzinu

Primjer 1: ravnomjerno kretanje iz tabele

Tabela: t = 0, 2, 4, 6 s; s = 0, 10, 20, 30 m. Odredi brzinu i opiši kretanje.

Δs=10 − 0 = 10 m Uzimamo prvi interval od 2 s i vidimo koliko se put promijenio.

Δt=2 s Interval je 2 s, a ne 1 s, pa dijelimo s 2, a ne s 1.

v=10 m / 2 s = 5 m/s Isti iznos dobiješ iz svakog intervala: (20 − 10)/2 i (30 − 20)/2 takođe daju 5 m/s.

Zaključak⇒ravnomjerno, 5 m/s Povećanja su jednaka, pa je kretanje ravnomjerno. 5 m/s je brzina trčanja, dakle rezultat je moguć.

Primjer 2: ubrzano kretanje iz tabele

Tabela: t = 0, 1, 2, 3, 4 s; s = 0, 2, 8, 18, 32 m. Dokaži da kretanje nije ravnomjerno i odredi srednju brzinu za cijele 4 s.

povećanja=2, 6, 10, 14 m Razlike susjednih puteva nisu jednake, pa kretanje nije ravnomjerno.

promjena=6 − 2 = 4 m, 10 − 6 = 4 m Povećanja rastu za stalnih 4 m, što znači da se brzina povećava ravnomjerno — kretanje je ubrzano.

v(sr)=s / t = 32 m / 4 s = 8 m/s Srednja brzina za cijelo vrijeme je ukupni put podijeljen ukupnim vremenom.

Provjera⇒8 m/s između 2 m/s i 14 m/s Srednje brzine u četiri intervala su 2, 6, 10 i 14 m/s. Njihov prosjek je 8 m/s jer svi intervali traju jednako. To nisu trenutne brzine na krajevima intervala.

Primjer 3: srednja brzina na dijelu puta

Tabela: t = 0, 2, 4, 6 s; s = 0, 4, 16, 36 m. Odredi brzinu na zadnjem intervalu i srednju brzinu za cijelih 6 s, pa uporedi.

Δs=36 − 16 = 20 m Na zadnjem intervalu tijelo je prešlo 20 m, a ne 36 m — gledamo razliku, ne ukupni put.

v(zadnji)=20 m / 2 s = 10 m/s To je srednja brzina samo na zadnjem intervalu od 4 s do 6 s.

v(sr)=36 m / 6 s = 6 m/s Za cijelo kretanje put je 36 m, a vrijeme 6 s: srednja brzina je 6 m/s.

Provjera⇒10 m/s > 6 m/s Na kraju se tijelo ubrzalo, pa je brzina na zadnjem dijelu veća od prosjeka cijelog puta. Sve se slaže.

Tip 2: iz grafika u brojeve

Primjer 1: nagib s-t grafika

Na s-t grafiku linija prolazi kroz tačke (0 s, 0 m) i (4 s, 24 m). Kolika je brzina i kakvo je kretanje?

Δs=24 − 0 = 24 m Čitamo dvije tačke s grafika: promjena puta je 24 m.

Δt=4 − 0 = 4 s Promjena vremena je 4 s. Nagib je promjena puta kroz promjenu vremena.

v=24 m / 4 s = 6 m/s Linija je prava, pa je nagib svuda isti — brzina se ne mijenja.

Provjera⇒6 m/s = 21,6 km/h To je brzina trkača na srednjoj distanci, dakle grafik je realan.

Primjer 2: površina ispod v-t grafika

Na v-t grafiku linija je vodoravna na v = 12 m/s od t = 0 do t = 5 s. Koliki je pređeni put?

oblik=pravougaonik Vodoravna linija i ose zatvaraju pravougaonik visine 12 m/s i širine 5 s.

s=v · t = 12 m/s · 5 s = 60 m Površina ispod v-t grafika brojno je jednaka pređenom putu.

jedinice⇒(m/s) · s = m Provjeri jedinice: metar u sekundi puta sekunda daje metar, pa je rezultat put, a ne brzina.

Provjera⇒60 m za 5 s 12 m/s je oko 43 km/h, pa je 60 m za 5 s sasvim uobičajeno za automobil u gradu.

Primjer 3: trougao ispod v-t grafika

Na v-t grafiku linija raste od v = 0 do v = 8 m/s u 4 s. Odredi ubrzanje i pređeni put.

a=Δv / Δt = (8 − 0) m/s : 4 s = 2 m/s² Nagib v-t grafika je ubrzanje: brzina poraste 8 m/s u 4 s, dakle 2 m/s svake sekunde.

oblik=trougao Linija kreće iz ishodišta, pa osjenčana površina nije pravougaonik nego trougao.

s=(v · t) / 2 = (8 · 4) / 2 = 16 m Površina trougaona je pola proizvoda osnovice i visine, dakle pola od 32 m.

Provjera⇒v(sr) = 16 m / 4 s = 4 m/s Srednja brzina je tačno pola konačne brzine (4 m/s), kako i mora biti kada kreće iz mirovanja.

⚠️ Česte greške

Zamjena osa. Na s-t grafiku je vrijeme horizontalno, a put vertikalno. Ako ih zamijeniš, nagib više neće biti brzina, nego njen recipročan broj.
„Nagib v-t grafika je brzina.“ Nagib v-t grafika je ubrzanje. Brzina je vrijednost koju linija pokazuje, a ne njen nagib.
Grafik kao putanja. Linija na grafiku nije staza kojom se tijelo kreće. Ona pokazuje zavisnost dvije veličine.
Dijeljenje ukupnog puta ukupnim vremenom kao trenutna brzina. Tako dobiješ srednju brzinu za cijelo kretanje, a ne brzinu u nekom trenutku.

✅ Kviz — provjeri sebe (4 pitanja)

1. Šta pokazuje nagib s-t grafika?

2. Na v-t grafiku linija je vodoravna na v = 10 m/s od t = 0 do t = 6 s. Koliki je pređeni put?

3. Tabela: t = 0, 1, 2, 3 s i s = 0, 4, 8, 12 m. Kakvo je to kretanje?

4. Šta predstavlja površina ispod v-t grafika?

8. Primijeni i objasni

Samostalan zadatak: Tabela daje t = 0, 1, 2, 3, 4 s i s = 0, 3, 12, 27, 48 m. Odredi povećanja između kolona, opiši kretanje, izračunaj srednju brzinu za cijele 4 s i objasni zašto s-t grafik nije prava linija.

Provjeri rješenje i obrazloženje

Povećanja su 3 m, 9 m, 15 m i 21 m. Ona nisu jednaka, ali rastu za stalnih 6 m, pa se brzina povećava ravnomjerno — kretanje je ravnomjerno ubrzano. Srednja brzina za cijele 4 s je v(sr) = s/t = 48 m : 4 s = 12 m/s. s-t grafik nije prava linija zato što se u jednakim vremenima ne prelaze jednaki putevi: prve sekunde samo 3 m, a četvrte 21 m. Linija je zato kriva i sve je strmija, a nagib tangente raste od 0 m/s do 24 m/s za model s = 3·t². Vrijednosti 3 m/s i 21 m/s jesu srednje brzine u prvoj i četvrtoj sekundi, a ne trenutne brzine na krajevima cijelog intervala. Provjera smisla: srednja brzina 12 m/s nalazi se između početne i konačne brzine, a 48 m za 4 s odgovara prosječno 12 m/s, dakle račun je usklađen.

Pokušaj najprije samostalno. Ako zapneš, otvori simulaciju, izaberi „Ubrzano“ i uporedi tabelu s ovom iz zadatka.

Samostalan zadatak: Stroboskop bljeska svakih 0,2 s. Razmaci između uzastopnih slika su 1,0 cm; 2,0 cm; 3,0 cm; 4,0 cm. (a) Izračunaj brzinu za svaki razmak. (b) Kakvo je kretanje? (c) Izračunaj ubrzanje.

Provjeri rješenje i obrazloženje

(a) v = 0,010 / 0,2 = 0,050 m/s; 0,10 m/s; 0,15 m/s; 0,20 m/s. (b) Ubrzano kretanje: brzina raste za isti iznos (0,05 m/s) svakih 0,2 s. (c) a = Δv / Δt = 0,05 / 0,2 = 0,25 m/s².

Veza s programom

Ključni sadržaji koje ovdje učiš: tabelarni i grafički prikaz kretanja, s-t i v-t grafik, nagib i površina.

Oblast B — Mehanika, kinematika. Oznake ishoda u izvoru: B.8.1, B.8.2. Predmetni kurikulum KS, 8. razred, štampana str. 14. Raspored oblasti na portalu je urednički. Objašnjenja, primjeri i aktivnosti su autorski.