Ravnomjerno pravolinijsko kretanje

🎯 Cilj lekcije

Prepoznati ravnomjerno pravolinijsko kretanje po tome što se u jednakim vremenskim intervalima prelaze jednaki putevi.
Primijeniti s = v·t i izvesti iz njega v = s/t i t = s/v.
Pročitati nagib prave na s-t grafiku kao brzinu.
Riješiti zadatak susreta i zadatak sustizanja u jednom smjeru.

1. Šta je ravnomjerno pravolinijsko kretanje?

Zamisli autobus na dugoj ravnoj dionici puta. Vozač drži istu brzinu, a putnici u jednakim razmacima vremena gledaju iste kilometarske oznake. Tijelo se tada kreće ravnomjerno pravolinijsko: u svakoj sekundi pređe istu dužinu i ne mijenja smjer.

💡 Definicija Ravnomjerno pravolinijsko kretanje je kretanje po pravoj liniji pri kojem tijelo u jednakim vremenskim intervalima pređe jednake puteve. Brzina je stalna po iznosu i po smjeru.

Provjeri to na stvarnom primjeru. Automobil se kreće brzinom 15 m/s i svake sekunde pređe 15 m:

Vrijeme t u s	0	1	2	3	4
Pređeni put s u m	0	15	30	45	60
Povećanje u svakoj sekundi	—	15	15	15	15

Povećanje je uvijek isto. Upravo zato se ovo kretanje zove ravnomjerno: nema ubrzavanja ni usporavanja. Ako se povećanje mijenja, kretanje je promjenljivo i o njemu govori sljedeća lekcija.

Brzina je ovdje stalna, pa je srednja brzina na svakoj dionici jednaka trenutnoj brzini u svakom trenutku. Zato smiješ računati s jednim brojem za cijelo kretanje.

2. Formula s = v·t i njeni oblici

Iz definicije brzine v = s/t slijedi veza između pređenog puta, brzine i vremena. Tri su oblika iste veze, a koji ćeš upotrijebiti zavisi samo od toga šta je zadato, a šta se traži.

s = v · t
v = st i t = sv

s = v·t — tražiš pređeni put. Množiš brzinu vremenom.
v = s/t — tražiš brzinu. Dijeliš put vremenom.
t = s/v — tražiš vrijeme. Dijeliš put brzinom.

Jedinice moraju biti usklađene. Ako je brzina u m/s, put mora biti u metrima, a vrijeme u sekundama. Ako je brzina u km/h, put je u kilometrima, a vrijeme u satima.

💡 Pretvaranje 1 m/s = 3,6 km/h, a 1 km/h = 1/3,6 m/s ≈ 0,278 m/s. Dijeli s 3,6 kada prelaziš iz km/h u m/s i množi s 3,6 u suprotnom smjeru.

Primjer: 72 km/h = 72 : 3,6 = 20 m/s. Provjera smisla: za jednu sekundu pri 72 km/h pređe se 20 m, a to je razumno za automobil na otvorenom putu.

3. s-t grafik: prava linija

Nacrtaj na horizontalnu osu vrijeme, a na vertikalnu pređeni put. Za ravnomjerno kretanje dobiješ pravu liniju kroz ishodište. Svaka sekunda dodaje isti komadić puta, pa linija raste stalno i ravnomjerno.

Nagib linije je brzina. Nagib računamo kao promjenu puta podijeljenu promjenom vremena: Δs/Δt. Što je linija strmija, brzina je veća. Ako je linija vodoravna (nagib 0), tijelo miruje. Dvije paralelne linije znače dvije jednake brzine.

⚠️ Pazi Prava linija na s-t grafiku nije putanja tijela. Ona samo pokazuje kako se pređeni put mijenja s vremenom. Putanja je ovdje prava samo zato što je kretanje pravolinijsko, a to je drugi podatak.

4. Isprobaj: susret i sustizanje

Tijelo 1 kreće s početne tačke (0 m), a tijelo 2 je ispred za zadati razmak. Izaberi režim: u režimu susret tijelo 2 ide u susret tijelu 1, a u režimu sustizanje oba idu u istom smjeru. Podesi brzine i razmak, pa pritisni „Pokreni“.

Brzina v₁: 12,0 m/s Brzina v₂: 8,0 m/s Početni razmak: 100 m

t = 0,0 s · x₁ = 0,0 m · x₂ = 100,0 m · razmak = 100,0 m

Podesi brzine i pritisni „Pokreni“.

Ovaj x-t grafik pokazuje položaj x, a ne pređeni put s od početka: tijelo 2 kreće s položaja jednakog početnom razmaku. Pri susretu njegov položaj opada, a pređeni put raste. Presjek linija je trenutak susreta. Kada su brzine jednake u režimu sustizanja, linije su paralelne i nikad se ne sijeku.

5. Korak po korak: zadatak susreta i sustizanja

Zadatak: „Dva pješaka krenu istovremeno jedan drugome u susret s različitih krajeva staze duge 900 m. Prvi ide 2 m/s, drugi 1 m/s. Kada se sretnu?“ Radi ovako, korak po korak.

1.Skica i smjerovi Nacrtaj stazu, oba tijela i strelice brzina. Zapiši šta je zadato, a šta tražiš.

2.Iste jedinice Svedi sve na metre i sekunde. Ako je brzina u km/h, podijeli s 3,6.

3.Tip zadatka Susret: tijela se približavaju, brzine se sabiraju. Sustizanje: isti smjer, brzine se oduzimaju.

4.Zajednička brzina Susret: v = v₁ + v₂. Sustizanje: v = v₂ − v₁ (brži minus sporiji).

5.Vrijeme i položaj t = s/v, pa s₁ = v₁·t i s₂ = v₂·t. Kod sustizanja prvo izračunaj prednost sporijeg tijela.

6.Provjera Zbir puteva mora dati početni razmak (susret) ili jednake puteve (sustizanje). Provjeri i jedinice.

Ogled: mjerenje brzine kolica (korak po korak)

Cilj ogleda: izmjeriti brzinu kolica koja se kreću ravnomjerno i provjeriti da je pređeni put srazmjeran vremenu.

Pribor: kolica ili kuglica koja se kotrlja, ravna glatka šina duga najmanje 1,5 m, metarska traka, štoperica (ili dvije svjetlosne barijere), dvije oznake: startna i ciljna linija.

Kontrolisane varijable: nagib šine (ravna šina), masa kolica i startna tačka ostaju iste. Mijenjaš samo put ili vrijeme.

Sigurnost: kolica ne bacaj i ne zaustavljaj ih rukom u punoj brzini; prste drži podalje od točkova; šina ne smije visjeti preko ivice stola; ne stoj na putu kolicima.

Rukovanje instrumentima: metarsku traku postavi uz šinu i čitaj na nivou oka, bez paralakse. Štopericu pokreni kad prednja ivica kolica prođe startnu liniju, a zaustavi kad prođe ciljnu. Svako mjerenje ponovi tri puta. Mjerenje koje se jako razlikuje od ostalih (npr. 40 s umjesto 4,0 s) prvo provjeri. Ako utvrdiš pogrešno pokretanje ili zapis, obrazloži odbacivanje i ponovi mjerenje.

s=1,20 m Put je razmak između startne i ciljne linije, izmjeren metarskom trakom.

t₁ ; t₂ ; t₃=4,0 s ; 4,1 s ; 3,9 s Tri mjerenja iste staze. Razlike od 0,1 s su uobičajena greška pri pokretanju štoperice.

t=(4,0 + 4,1 + 3,9) / 3 = 4,0 s Srednja vrijednost smanjuje slučajnu grešku pojedinačnog mjerenja.

v=s / t = 1,20 m / 4,0 s = 0,30 m/s Ravnomjerno kretanje: isti put u svakoj sekundi, pa je brzina jednaka srednjoj brzini.

Provjera⇒0,30 m/s · 4,0 s = 1,20 m Množenje brzinom vraća izmjereni put. Ako ne vraća, neki račun nije tačan.

6. Riješeni primjeri

Dva tipa zadatka: susret i sustizanje. U svakom tipu su tri primjera, od lakšeg ka težem, zapisana u bilježnicu.

Tip 1: susret — tijela idu jedno drugome u susret

Primjer 1: dva dječaka na stazi

Dva dječaka krenu istovremeno jedan drugome u susret s različitih krajeva staze duge 600 m. Prvi ide brzinom 2 m/s, drugi 1 m/s. Za koje vrijeme se sretnu i koliko je svaki prešao?

s=600 m, v₁ = 2 m/s, v₂ = 1 m/s Sve je već u metrima i metrima u sekundi, pa pretvaranje nije potrebno.

v=v₁ + v₂ = 2 + 1 = 3 m/s Brzine sabiramo jer se tijela približavaju: razmak se smanjuje za 3 m svake sekunde.

t=s / v = 600 / 3 = 200 s Vrijeme do susreta je početni razmak podijeljen zajedničkom brzinom približavanja.

s₁, s₂=2·200 = 400 m; 1·200 = 200 m Svako tijelo se kreće svojom brzinom isto vrijeme t = 200 s.

Provjera⇒400 + 200 = 600 m Zbir puteva jednak je dužini staze, a 200 s je oko 3,3 min hoda — rezultat je moguć.

Primjer 2: automobil i kamion

Automobil kreće iz mjesta A brzinom 20 m/s. Istovremeno mu iz mjesta B, udaljenog 900 m, kreće u susret kamion brzinom 25 m/s. Kada i gdje se sretnu?

s=900 m, v₁ = 20 m/s, v₂ = 25 m/s Oba tijela kreću istovremeno, pa im je vrijeme kretanja do susreta isto.

v=20 + 25 = 45 m/s Za susret je mjerodavna zajednička brzina približavanja, ne pojedinačne brzine.

t=900 / 45 = 20 s Dijelimo početni razmak zajedničkom brzinom. Rezultat je vrijeme od polaska.

s₁, s₂=20·20 = 400 m; 25·20 = 500 m Mjesto susreta je 400 m od A, odnosno 500 m od B.

Provjera⇒400 + 500 = 900 m, t = 20 s Zbir daje puni razmak, a 20 s pri brzinama oko 20 m/s je realno za 900 m.

Primjer 3: dva voza na susretnim kolosijecima

Dva voza su na susretnim kolosijecima udaljena 4,5 km. Brzine su im 54 km/h i 36 km/h. Koliko vremena prođe do susreta i koliko je prešao brži voz?

v₁, v₂=54 : 3,6 = 15 m/s; 36 : 3,6 = 10 m/s Prvo pretvori brzine: 1 km/h = 1/3,6 m/s, pa dijelimo s 3,6.

s=4,5 km = 4500 m I put mora biti u metrima, jer je brzina sada u metrima u sekundi.

v=15 + 10 = 25 m/s Vozovi se približavaju, pa brzine sabiramo.

t, s₁=4500 / 25 = 180 s; 15·180 = 2700 m 180 s = 3 min. Brži voz pređe 2700 m = 2,7 km, a sporiji 10·180 = 1800 m.

Provjera⇒2,7 + 1,8 = 4,5 km Zbir je puna udaljenost, a brži voz prelazi veći dio puta — sve je u skladu s očekivanjem.

Tip 2: sustizanje — tijela idu u istom smjeru

Primjer 1: biciklista i moped

Biciklista vozi brzinom 5 m/s. Iz istog mjesta, 60 s kasnije, za njim kreće moped brzinom 9 m/s. Kada će sustići biciklistu?

d₀=5·60 = 300 m Dok moped krene, biciklista je već prešao 300 m. To je početna prednost.

Δv=9 − 5 = 4 m/s U istom smjeru brzine oduzimamo: razmak se smanjuje za 4 m svake sekunde.

t=300 / 4 = 75 s Vrijeme se računa od trenutka kada je moped krenuo, ne od polaska bicikliste.

s=9·75 = 675 m; 5·(60 + 75) = 675 m Oba moraju doći do iste tačke, ali biciklista vozi 135 s, a moped 75 s.

Provjera⇒675 m = 675 m Prednost od 300 m nestaje uz razliku od 4 m/s za 75 s — račun je smislen.

Primjer 2: automobil sustiže kamion

Kamion vozi 72 km/h, a automobil 90 km/h istim smjerom. Automobil je 200 m iza kamiona. Za koje vrijeme će ga sustići?

v₁, v₂=72 : 3,6 = 20 m/s; 90 : 3,6 = 25 m/s Pretvaranje je obavezno prije računa, jer razmak je zadan u metrima.

Δv=25 − 20 = 5 m/s To je brzina kojom se razmak smanjuje, a ne brzina bilo kojeg vozila.

t=200 / 5 = 40 s Početni razmak dijelimo razlikom brzina.

s₁, s₂=25·40 = 1000 m; 20·40 = 800 m Automobil pređe 1000 m = 1 km, kamion 800 m, a razlika je upravo 200 m.

Provjera⇒1000 − 800 = 200 m Razlika puteva jednaka je početnoj prednosti, pa je rezultat tačan.

Primjer 3: putnički i teretni voz

Putnički voz polazi u 8 h brzinom 60 km/h. Teretni voz polazi istim kolosijekom 20 min kasnije brzinom 90 km/h. Kada i gdje teretni sustigne putnički?

d₀=60 km/h · (20/60) h = 20 km 20 min = 1/3 h, pa je putnički za to vrijeme prešao 20 km. Tu mjerimo u kilometrima i satima.

Δv=90 − 60 = 30 km/h Razlika brzina u km/h daje vrijeme u satima, bez pretvaranja u m/s.

t=20 / 30 h = 2/3 h = 40 min Vrijeme se računa od polaska teretnog voza, dakle od 8 h 20 min.

t, s=8 h 20 min + 40 min = 9 h; 90·(2/3) = 60 km Teretni sustiže putnički u 9 h, 60 km od polazne stanice.

Provjera⇒60 km/h · 1 h = 60 km Putnički je vozio tačno 1 h do 9 h i prešao 60 km — oba računa daju isto mjesto.

⚠️ Česte greške

„Kod susreta oduzimam brzine.“ Kada se tijela približavaju, razmak se smanjuje zbirnom brzinom v₁ + v₂. Oduzimanje je za sustizanje u istom smjeru.
Miješanje km/h i m/s. Ako je brzina u km/h, a put u metrima, rezultat nema smisla. Pretvori prije računa i zapiši faktor 3,6.
„Prava linija na s-t grafiku je putanja.“ Nije. Grafik pokazuje zavisnost puta od vremena, a putanja je stvarna linija kojom se tijelo kreće.
Zaboravljena prednost kod sustizanja. Ako drugo tijelo kreće kasnije ili iza, prvo izračunaj koliko je prednost, pa je dijeli razlikom brzina.

✅ Kviz — provjeri sebe (4 pitanja)

1. Šta je karakteristično za ravnomjerno pravolinijsko kretanje?

2. Na s-t grafiku ravnomjernog kretanja linija je prava kroz ishodište. Šta pokazuje njen nagib?

3. Tijelo se kreće stalnom brzinom 15 m/s. Koliki put pređe za 4 s?

4. Dva tijela idu jedno drugome u susret brzinama 4 m/s i 6 m/s. Početni razmak je 100 m. Kada se sretnu?

7. Primijeni i objasni

Samostalan zadatak: Sa dva kraja ravne staze duge 1,5 km istovremeno krenu dva biciklista jedan drugome u susret, brzinama 6 m/s i 4 m/s. Odredi vrijeme do susreta i mjesto susreta mjereno od početnog položaja prvog bicikliste. Zatim provjeri zbir puteva i objasni zašto se brzine sabiraju.

Provjeri rješenje i obrazloženje

Prvo pretvori put: 1,5 km = 1500 m. Zajednička brzina približavanja je v = 6 + 4 = 10 m/s, pa je t = 1500 : 10 = 150 s = 2,5 min. Prvi biciklista pređe s₁ = 6·150 = 900 m, a drugi s₂ = 4·150 = 600 m. Zbir je 900 + 600 = 1500 m, dakle puna dužina staze, pa je račun tačan. Brzine se sabiraju zato što se razmak između njih smanjuje po 10 m svake sekunde: svaki od njih smanji razmak svojom brzinom.

Pokušaj najprije samostalno. Ako zapneš, vrati se na simulaciju, izaberi režim susret, brzine 6 m/s i 4 m/s te razmak 300 m. To je pet puta manji razmak: susret će biti nakon 30 s, na 180 m od prvog bicikliste. Vrijeme i oba puta su pet puta manji, a brzine ostaju iste.

Samostalan zadatak: Kolica su na šini prešla put 2,40 m. Tri mjerenja vremena dala su 8,1 s, 7,9 s i 8,0 s, a četvrto je pokazalo 80 s zbog pogrešno pokrenute štoperice. (a) Koje mjerenje odbacuješ i zašto? (b) Izračunaj srednju vrijednost vremena i brzinu kolica. (c) Ako ogled ponoviš na nagnutoj šini, koja kontrolisana varijabla se promijenila i zašto kretanje više nije ravnomjerno?

Provjeri rješenje i obrazloženje

(a) Mjerenje 80 s odbacujemo: ono je deset puta veće od ostalih, a kolica prelaze isti put, pa je to gruba greška. (b) t = (8,1 + 7,9 + 8,0) / 3 = 24,0 / 3 = 8,0 s. v = 2,40 m / 8,0 s = 0,30 m/s. (c) Promijenio se nagib šine. Na nagnutoj šini kolica ubrzavaju pod djelovanjem komponente sile teže niz nagib, pa kretanje više nije ravnomjerno; zato ogled radimo na ravnoj šini.

Veza s programom

Ključni sadržaji koje ovdje učiš: ravnomjerno pravolinijsko kretanje, pređeni put, brzina i grafički prikaz kretanja.

Oblast B — Mehanika, kinematika. Oznake ishoda u izvoru: B.8.1, B.8.2. Predmetni kurikulum KS, 8. razred, štampana str. 14. Raspored oblasti na portalu je urednički. Objašnjenja, primjeri i aktivnosti su autorski.