Ubrzanje i ravnomjerno promjenljivo pravolinijsko kretanje

🎯 Cilj lekcije

Izračunati ubrzanje iz promjene brzine i vremena: a = Δv/Δt, u m/s².
Razlikovati ubrzavanje od usporavanja prema znaku ubrzanja u odnosu na brzinu.
Primijeniti v = v₀ + a·t i s = v₀·t + a·t²/2.
Pročitati v-t grafik: nagib je ubrzanje, površina ispod linije je pređeni put.

1. Šta je ubrzanje?

Kada autobus krene sa stanice, brzina mu raste. U zamišljenom primjeru za pet sekundi ravnomjerno poveća brzinu od 0 do 20 m/s. Svake sekunde brzina poraste za 4 m/s. To je vrlo veliko ubrzanje za autobus; brojeve biramo radi lakšeg računa. To „koliko se brzina promijeni u jednoj sekundi“ zovemo ubrzanje:

a = ΔvΔt Δv = v − v₀

Jedinica ubrzanja je metar u sekundi na kvadrat (m/s²). Ubrzanje 4 m/s² znači: svake sekunde brzina se poveća za 4 m/s. Tijelo koje se kreće stalnom brzinom ima ubrzanje nula — i to je važan podatak, a ne „nema ubrzanja jer se kreće“.

💡 Zašto m/s² Ubrzanje je promjena brzine podijeljena vremenom: (m/s) : s = m/s². Zato se jedinica piše sa eksponentom 2, a ne samo m/s.

Ubrzanje je vektor, kao i brzina. U pravolinijskom kretanju dovoljan je predznak: predznak ubrzanja određuje njegov smjer duž odabrane ose. Iznos brzine raste kada su brzina i ubrzanje istog smjera, a opada kada su suprotnih smjerova. Negativno ubrzanje zato ne znači uvijek usporavanje.

2. Ubrzavanje i usporavanje

Predznak ubrzanja sam po sebi ne kaže da li se tijelo ubrzava. Odlučuje odnos prema smjeru brzine:

Kretanje	Ubrzanje	Šta se dešava s brzinom	Primjer
Ravnomjerno ubrzavanje	a i v u istom smjeru	brzina raste	auto kreće sa semafora
Ravnomjerno usporavanje	a suprotno od v	brzina se smanjuje	kočenje pred raskrsnicom
Ravnomjerno kretanje	a = 0	brzina je stalna	vožnja tempomatom

Ako se tijelo kreće u pozitivnom smjeru, ubrzavanje ima a > 0, a usporavanje a < 0. Kada pri kočenju brzina padne na nulu, tijelo se zaustavlja — dalje ne ide unazad samo zato što je ubrzanje negativno. To je važno za račun: nakon zaustavljanja koristi v = 0 i s se više ne mijenja.

⚠️ Pazi Negativno ubrzanje ne znači automatski „kreće se unazad“. Znači da je promjena brzine u smjeru suprotnom od pozitivnog smjera ose. Auto koje koči ima negativno ubrzanje, a kreće se naprijed.

3. Formule ravnomjerno promjenljivog kretanja

Kod ravnomjerno promjenljivog kretanja ubrzanje je stalno, pa se brzina mijenja linearno s vremenom:

v = v₀ + a · t s = v₀ · t + a · t²2

Oznake: v₀ je početna brzina u trenutku t = 0, v je brzina nakon vremena t, a s je pređeni put za to vrijeme ako se tijelo kreće u pozitivnom smjeru i ne mijenja smjer. Ako promijeni smjer, izraz daje pomak; put računamo zasebno za svaki dio. Ako tijelo kreće iz mirovanja, v₀ = 0, pa formule postaju v = a·t i s = a·t²/2.

Postoji i treći, vrlo koristan oblik za put, koji ne traži kvadrate:

s = v₀ + v2 · t

Razlog je jednostavan: kod stalnog ubrzanja srednja brzina je tačno na sredini između početne i konačne brzine, pa je put jednak toj srednjoj brzini puta vrijeme. Za provjeru: v₀ = 10 m/s, a = 2 m/s², t = 6 s daje v = 22 m/s. Prva formula za put: 10·6 + 2·36/2 = 60 + 36 = 96 m. Druga: (10 + 22)/2 · 6 = 16 · 6 = 96 m. Isto, kako i treba biti.

4. v-t grafik: nagib i površina

Na v-t grafiku ravnomjerno promjenljivog kretanja linija je prava, jer se brzina mijenja stalno. Dvije stvari očitavamo s njega:

Nagib je ubrzanje. Nagib = Δv/Δt = a. Što je linija strmija, ubrzanje je veće.
Dok je brzina nenegativna, površina ispod linije je pređeni put. Kod ubrzavanja iz mirovanja to je trougao, pa je s = (v·t)/2. Kada kreće s nekom brzinom, površina je trapez, pa je s = (v₀ + v)/2 · t.

Kada je brzina pozitivna i smanjuje se, linija se spušta prema nuli. U trenutku prelaska preko ose brzina je nula. Ako isto ubrzanje nastavi djelovati, tijelo zatim kreće u suprotnom smjeru. Potpisana površina između grafa i vremenske ose daje pomak; za pređeni put sabiraju se iznosi površina s obje strane ose.

Kočni put u saobraćaju

Put koji automobil pređe od kočenja do zaustavljanja raste brže od brzine. Pri stalnom usporavanju vrijedi s = v² / (2·|a|), a vrijeme zaustavljanja je t = v / |a|. Kad se brzina udvostruči, kočni put se poveća četiri puta.

Put reakcije nije put kočenja

Zaustavni put od uočavanja prepreke obuhvata put reakcije i put tokom kočenja. Za model s početnom brzinom v₀, vremenom reakcije t(r) i stalnim iznosom usporavanja |a| vrijedi s(ukupno) = v₀·t(r) + v₀²/(2·|a|). To nije univerzalna brojka za svaki automobil i uslove.

Provjera tvrdnje korak po korak: izmišljeni članak kaže „pri 72 km/h zaustavljaš se za 50 m“. Prvo pretvori v₀ = 20 m/s. Zatim navedi uslov |a| = 4 m/s²: put kočenja je 20²/(2·4) = 50 m. Za zadato vrijeme reakcije 1 s pređe se još 20 m, pa je ukupno 70 m. Tvrdnja o 50 m može opisivati samo dio kočenja; ako tvrdi da je to ukupan put uz ove uslove, izostavlja reakciju.

Za stvarni tekst prikupi i drugi izvor: zapiši ustanovu/autora, datum i vezu, vrstu puta, početnu brzinu, usporavanje, stanje podloge i šta se računa kao početak zaustavljanja. Ako jedan izvor mjeri od pritiska na kočnicu, a drugi od uočavanja prepreke, brojke nisu neposredno uporedive. Primjeri su školski modeli, ne garancija za stvarnu vožnju.

5. Isprobaj: auto, ubrzanje i v-t grafik

Ovo je režim vožnje i kočenja: pri negativnom ubrzanju kočnica zaustavlja auto, a nakon zaustavljanja više nema ubrzanja. Zato brzina u ovom režimu ne prelazi ispod nule. Za stalno negativno ubrzanje kroz promjenu smjera koristi istraživački režim ispod. Osjenčana površina ovog nenegativnog grafa daje pređeni put.

Početna brzina v₀: 10 m/s Ubrzanje a: 2,0 m/s² Vrijeme t: 5,0 s

t = 5,0 s · v = 20,0 m/s · s = 75,0 m · a = 2,0 m/s²

Auto ubrzava: brzina raste za 2,0 m/s svake sekunde.

Istraživački režim: negativno ubrzanje kroz zaustavljanje

Modelna tačka počinje iz x₀ = 0 m brzinom v₀ = 4 m/s. Ovdje stalno djeluje a = −2 m/s² tokom cijelog pokušaja, uključujući trenutak v = 0. Predvidi kada se iznos brzine smanjuje i kada raste, pa provjeri trag i graf.

Od 0 s do 2 s iznos brzine Od 2 s do 4 s iznos brzine Trenutak 0 s

Predvidi oba intervala; zatim ih označi na grafu.

Korak po korak: v = 4 − 2·t; x = 4·t − t² (vrijednosti u SI jedinicama). Do 2 s pređeni put jednak je položaju x. Poslije povratka put raste, iako x opada. Na 4 s tačka je ponovo u x = 0 m, a pređeni put je 8 m. Razmjer položaja i razmjer strelice brzine zasebni su i stalni; tačka je šematska.

6. Korak po korak: od podataka do puta

Zadatak: „Automobil vozi 12 m/s i ubrzava 3 m/s² tokom 5 s. Odredi konačnu brzinu i pređeni put.“ Radi ovako, korak po korak.

1.Prepiši podatke v₀ = 12 m/s, a = 3 m/s², t = 5 s. Provjeri da su jedinice usklađene — sve je u metrima i sekundama.

v=12 + 3 · 5 = 27 m/s Ubrzanje od 3 m/s² znači da se brzina svake sekunde poveća za 3 m/s, dakle za 5 s ukupno 15 m/s.

s=12 · 5 + 3 · 5² / 2 = 60 + 37,5 = 97,5 m Prvi dio je put zbog početne brzine, drugi je dodatni put zbog ubrzavanja.

s=(12 + 27)/2 · 5 = 19,5 · 5 = 97,5 m Isti rezultat preko srednje brzine potvrđuje da je račun tačan.

Provjera⇒27 m/s ≈ 97 km/h 97,5 m za 5 s prosječno je 19,5 m/s, a najveća brzina 27 m/s. Sve je u granicama stvarne vožnje.

Kočni put korak po korak

v=50 km/h = 50 : 3,6 ≈ 13,9 m/s Prvo pretvori jedinicu: 1 m/s = 3,6 km/h, pa km/h dijelimo s 3,6.

t=v / |a| = 13,9 / 5 ≈ 2,8 s Vrijeme do zaustavljanja pri usporavanju 5 m/s² na suhom asfaltu.

s=v² / (2·|a|) = (50/3,6)² / (2 · 5) ≈ 19,3 m Kočni put. Zadrži tačnu brzinu 50/3,6 u računu; zaokruži samo konačan rezultat.

Provjera⇒srednja brzina (13,9 + 0) / 2 ≈ 6,9 m/s; 6,9 · 2,8 ≈ 19 m Isti red veličine: put je oko 19 m, pa je rezultat smislen.

7. Riješeni primjeri

Dva tipa zadatka: računanje ubrzanja i primjena formula kretanja. U svakom tipu su tri primjera, od lakšeg ka težem.

Tip 1: ubrzanje iz promjene brzine

Primjer 1: autobus kreće sa stanice

Autobus za 5 s poveća brzinu od 0 do 20 m/s. Koliko je njegovo ubrzanje?

Δv=20 − 0 = 20 m/s Promjena brzine je konačna minus početna brzina.

Δt=5 s Vrijeme u kojem se ta promjena dogodila.

a=20 / 5 = 4 m/s² Ubrzanje 4 m/s² znači da brzina svake sekunde poraste za 4 m/s.

Provjera⇒4 · 5 = 20 m/s Ubrzanje puta vrijeme mora dati promjenu brzine. Ubrzanje 4 m/s² je vrlo veliko za gradski autobus, pa je primjer zamišljen radi računa, a ne kao tipična vožnja.

Primjer 2: automobil koči

Automobil smanji brzinu od 25 m/s na 10 m/s za 5 s. Koliko je ubrzanje?

Δv=10 − 25 = −15 m/s Brzina se smanjila, pa je promjena negativna. Predznak ovdje nosi smisao: kočenje.

a=−15 / 5 = −3 m/s² Ubrzanje je −3 m/s²: brzina se svake sekunde smanji za 3 m/s.

smjer⇒a suprotno od v Automobil se kreće naprijed, a ubrzanje djeluje suprotno — zato se brzina smanjuje.

Provjera⇒25 − 3 · 5 = 10 m/s Provjera: ako u formulu v = v₀ + a·t uvrstimo v₀ = 25 m/s, a = −3 m/s² i t = 5 s, dobijemo zadanu konačnu brzinu 10 m/s.

Primjer 3: voz ubrzava kroz stanicu

Voz poveća brzinu od 54 km/h na 90 km/h za 10 s. Odredi ubrzanje i pređeni put.

v₀, v=54 : 3,6 = 15 m/s; 90 : 3,6 = 25 m/s Prvo pretvaranje jedinica: 1 km/h = 1/3,6 m/s.

a=(25 − 15) / 10 = 1 m/s² Brzina poraste 10 m/s u 10 s, dakle 1 m/s svake sekunde.

s=15 · 10 + 1 · 10² / 2 = 150 + 50 = 200 m Put se sastoji od 150 m zbog početne brzine i 50 m zbog ubrzavanja.

Provjera⇒(15 + 25)/2 · 10 = 200 m Srednja brzina 20 m/s kroz 10 s daje isti put. 200 m je dužina prosječne peronske stanice, pa je rezultat moguć.

Tip 2: primjena formula kretanja

Primjer 1: brzina i put nakon 6 s

Tijelo kreće brzinom 10 m/s i ubrzava 2 m/s². Odredi brzinu i pređeni put nakon 6 s.

v=10 + 2 · 6 = 22 m/s Početnoj brzini dodajemo ono što ubrzanje doda za 6 s: 2 · 6 = 12 m/s.

s=10 · 6 + 2 · 36 / 2 = 60 + 36 = 96 m Od 96 m, 60 m (5/8 puta) otpada na početnu brzinu, a 36 m (3/8 puta) na ubrzavanje.

s=(10 + 22)/2 · 6 = 16 · 6 = 96 m Provjera preko srednje brzine daje isto, pa je račun usklađen.

Provjera⇒22 m/s ≈ 79 km/h Brzina 22 m/s i put 96 m za 6 s odgovaraju ubrzavanju automobila na prilazu autoputu.

Primjer 2: usporavanje bez zaustavljanja

Automobil vozi 20 m/s i koči ubrzanjem −4 m/s². Kolika je brzina nakon 3 s i koliki je put prešao za to vrijeme?

v=20 + (−4) · 3 = 8 m/s Negativno ubrzanje smanjuje brzinu: 4 m/s manje svake sekunde, dakle 12 m/s manje za 3 s.

s=20 · 3 + (−4) · 9 / 2 = 60 − 18 = 42 m Drugi član je negativan, jer ubrzanje smanjuje put u odnosu na ravnomjerno kretanje.

s=(20 + 8)/2 · 3 = 14 · 3 = 42 m Srednja brzina 14 m/s daje isti put, pa je račun potvrđen.

Provjera⇒auto se zaustavlja tek u t = 5 s 20 m/s uz smanjenje 4 m/s² staje za 5 s. Nakon 3 s još ima 8 m/s, pa je rezultat smislen.

Primjer 3: kočenje do zaustavljanja

Automobil vozi 15 m/s i koči ubrzanjem −3 m/s² do zaustavljanja. Koliko dugo koči i koliki je put tokom kočenja (bez puta reakcije)?

t=v₀ / |a| = 15 / 3 = 5 s Vrijeme do zaustavljanja dobije se kad se početna brzina podijeli iznosom usporavanja.

v=15 + (−3) · 5 = 0 m/s Provjera: nakon 5 s brzina je tačno nula, pa auto staje i dalje ne ide unazad.

s=15 · 5 + (−3) · 25 / 2 = 75 − 37,5 = 37,5 m Put tokom kočenja dobije se formulom za put, uz negativan drugi član. Put reakcije ovdje nije uključen.

Provjera⇒(15 + 0)/2 · 5 = 37,5 m Srednja brzina 7,5 m/s kroz 5 s daje isti put. 37,5 m je oko osam dužina automobila — rezultat našeg modela kočenja; put reakcije nije uključen.

⚠️ Česte greške

Dijeljenje brzine vremenom umjesto promjene brzine. Ubrzanje je Δv/Δt. Ako auto vozi stalnih 20 m/s, ubrzanje je 0, a ne 20 : t.
„Negativno ubrzanje znači kretanje unazad.“ Znači da se brzina smanjuje ako je tijelo krenulo u pozitivnom smjeru. Auto koje koči ide naprijed.
Zaboravljen kvadrat u formuli za put. Put zavisi od t², a ne od t. Samo pri stalnom ubrzanju iz mirovanja put za dvaput duže vrijeme postaje četiri puta veći. Uz početnu brzinu moraš računati i član v₀·t.
Računanje nakon zaustavljanja. Kada pri kočenju brzina padne na nulu, tijelo staje. Dalje ne uvrštavaj negativnu brzinu, nego uzmi v = 0.

✅ Kviz — provjeri sebe (4 pitanja)

1. Automobil poveća brzinu od 10 m/s do 30 m/s za 5 s. Koliko je ubrzanje?

2. Koja je jedinica za ubrzanje?

3. Automobil vozi naprijed i koči. Kakav je predznak ubrzanja ako je pozitivan smjer vožnje?

4. Tijelo kreće brzinom 5 m/s i ubrzava 3 m/s². Kolika je brzina nakon 4 s?

8. Primijeni i objasni

Samostalan zadatak: Automobil vozi 72 km/h i počne kočiti ubrzanjem −4 m/s². Odredi vrijeme kočenja do zaustavljanja, put tokom kočenja bez reakcije i objasni zašto se nakon zaustavljanja put više ne povećava.

Provjeri rješenje i obrazloženje

Prvo pretvori brzinu: 72 km/h = 72 : 3,6 = 20 m/s. Vrijeme do zaustavljanja dobije se kad se početna brzina podijeli iznosom usporavanja: t = 20 : 4 = 5 s. Provjera: v = 20 + (−4)·5 = 0 m/s, dakle auto se zaustavlja tačno nakon 5 s. Put tokom kočenja: s = v₀·t + a·t²/2 = 20·5 + (−4)·25/2 = 100 − 50 = 50 m. Isti rezultat daje i srednja brzina: s = (20 + 0)/2 · 5 = 50 m. Nakon zaustavljanja brzina ostaje nula, a put se više ne povećava, jer automobil stoji. U ovom zadatku kočenje prestaje pri zaustavljanju. Kada bi isto negativno ubrzanje nastavilo djelovati, automobil bi zatim krenuo u negativnom smjeru; formule ne smijemo produžiti poslije zaustavljanja bez provjere uslova. Provjera smisla: 50 m je oko deset dužina automobila, što odgovara zadatom modelu sa stalnim ubrzanjem −4 m/s². Za ukupan zaustavni put moraš dodati i put tokom reakcije.

Pokušaj najprije samostalno. Ako zapneš, otvori simulaciju, postavi v₀ = 20 m/s i a = −4 m/s², pa pomjeri vrijeme na 5 s i pogledaj gdje se linija spušta na osu.

Samostalan zadatak: Članak tvrdi da se automobil pri 50 km/h na suhom asfaltu zaustavi za oko 10 m. (a) Provjeri tvrdnju za suh asfalt (a = −5 m/s²) i za mokar asfalt (a = −3 m/s²). (b) Ako vozač reaguje 1 s prije kočenja, koliko se put dodatno poveća? (c) Koju informaciju iz članka moraš znati da bi provjera bila pouzdana?

Provjeri rješenje i obrazloženje

(a) Suh asfalt: s ≈ 19,3 m, pa je tvrdnja netačna (preniska). Mokar asfalt: s = 193,2 / 6 ≈ 32 m. (b) Za vrijeme reakcije 1 s automobil pređe približno 13,9 m prije nego što počne kočenje, pa ukupni put može biti oko 33 m na suhom asfaltu. (c) Moraš znati stanje podloge, stvarno usporavanje i je li uračunato vrijeme reakcije vozača. Bez toga je tvrdnja nepouzdana.

Provjeri informacije iz saobraćaja

Dva izmišljena izvora za 54 km/h i |a| = 5 m/s² navode 22,5 m i 37,5 m. Izračunaj put kočenja, zatim ukupan put za reakciju 1 s. Mogu li oba izvora imati tačan broj? Pronađi stvarnu obrazovnu ili institucionalnu informaciju o putu kočenja i uz nju navedi uslove i drugi izvor za poređenje.

Provjeri račun i kritičko obrazloženje

54 km/h = 15 m/s. Put kočenja je 15²/(2·5) = 22,5 m. Put reakcije je 15·1 = 15 m, pa je ukupan 37,5 m. Oba broja mogu biti tačna ako prvi opisuje kočenje, a drugi ukupno zaustavljanje. Za poređenje stvarnih izvora moraju se podudarati početna tačka, jedinice i uslovi; nedostajuće podatke označi, nemoj ih izmišljati.

Veza s programom

Ključni sadržaji koje ovdje učiš: ubrzanje, ravnomjerno promjenljivo pravolinijsko kretanje, v-t grafik, put kočenja i put reakcije.

Oblast B — Mehanika, kinematika. Oznake ishoda u izvoru: B.8.1, B.8.2. Predmetni kurikulum KS, 8. razred, štampana str. 14. Raspored oblasti na portalu je urednički. Objašnjenja, primjeri i aktivnosti su autorski.