Trenje i sila trenja

🎯 Cilj lekcije

Objasniti odakle potiče trenje i u kojem smjeru djeluje.
Razlikovati statičko od kinetičkog trenja i objasniti granicu kretanja.
Primijeniti izraz Ftr = μ·N u računskim zadacima.
Navesti primjere korisnog i štetnog trenja te načine povećanja i smanjenja.

1. Šta je trenje

Gurni knjigu po stolu i ona se zaustavi. Površine knjige i stola nisu savršeno glatke: na mikroskopskom nivou imaju brazde i izbočine koje se zakače jedna za drugu. Osim toga, čestice dviju površina se na dodirnim tačkama privlače. Zbog toga nastaje sila trenja.

Sila trenja djeluje duž dodirne površine i suprotstavlja se relativnom klizanju dodirnih površina ili njihovoj tendenciji da proklizaju. Zato trenje na knjigu koja klizi djeluje suprotno njenom kretanju. Pri hodanju stopalom guraš tlo unazad, a statičko trenje tla gura tebe naprijed: trenje ne mora biti suprotno kretanju cijelog tijela.

Za vodoravnu podlogu iznos sile trenja računamo pomoću sile kojom tijelo pritiska podlogu. Ako nema drugih vertikalnih sila i tijelo ne ubrzava vertikalno, normalna sila podloge N po iznosu je jednaka sili teže. Izraz Ftr = μ·N odnosi se na klizanje; za statičko trenje daje samo njegovu najveću vrijednost:

Ftr = μ·N N = m·g

Veličina μ je koeficijent trenja. On nema jedinicu — to je broj koji zavisi od dviju površina: guma po asfaltu ima veći μ od metala po ledu.

💡 Zapamti Trenje zavisi od vrste površina i od sile kojom tijelo pritiska podlogu. U školskim zadacima smatramo da ne zavisi od veličine dodirne površine.

2. Statičko i kinetičko trenje

Gurni tešku kutiju slabije: ne miče se. Povećavaj silu — kutija i dalje miruje. Trenje koje tada djeluje zove se statičko trenje i ono raste zajedno s tvom silom. Sve dok je tvoja sila manja od granice, statičko trenje je tačno jednako tvojoj sili i rezultanta je nula.

Granica je najveća vrijednost statičkog trenja:

F(max) = μ(statičko)·N

Kada tvoja sila pređe tu granicu, kutija se pokrene. Tada djeluje kinetičko trenje: ono je približno stalno i obično nešto manje od najveće statičke vrijednosti. Zato je teže pokrenuti tijelo nego ga održavati u kretanju.

Vrsta trenja	Kada djeluje	Iznos	Primjer
Statičko	tijelo miruje, a sila pokušava da ga pokrene	od 0 do μ(statičko)·N	ormar koji guraš, a on ne popušta
Kinetičko	tijelo klizi po podlozi	približno stalno, μ(kinetičko)·N	sanjke koje klize niz strminu

Granicu pokretanja računamo sa statičkim koeficijentom μ(statičko). Kada tijelo klizi, računamo sa kinetičkim koeficijentom: F = μ(kinetičko)·N, gdje je μ(kinetičko) uvijek zadat u zadatku (npr. 0,3; 0,25; 0,2). Simulacija radi s pojednostavljenjem: kinetički koeficijent uzima kao 0,8 od statičkog, pa za μ(statičko) = 0,4 dobijamo μ(kinetičko) = 0,32, kao u primjerima gdje su zadata oba koeficijenta. Ne računaj kinetički koeficijent iz statičkog ako to zadatak ne kaže.

3. Korisno i štetno trenje

Bez trenja ne bismo mogli hodati: stopalo bi klizilo, a mi bismo stajali na mjestu. Trenje je korisno i kada kočimo, kada vezujemo čvor, kada guma prijanja za asfalt i kada držimo olovku u ruci.

Ali trenje ima i cijenu. Zagrijava dijelove mašina, troši gume i obuću, smanjuje korisnost motora. Zato ga nekada pojačavamo, a nekada smanjujemo.

Povećavamo trenje	Smanjujemo trenje
zimske gume s dubljim šarama	ulje i mazivo u motoru
posipanje pijeska po ledu	kuglični i valjkasti ležajevi
nazubljeni đon planinarske cipele	glatke sanke i skije, vosak na skijama
kočione pločice	uglačane površine i podmazivanje

Pri kočenju se kočnice i gume zagrijavaju. Pregrijane kočnice mogu slabije kočiti; prijanjanje gume zavisi od njene temperature, sastava i stanja puta. Zato ne vrijedi opće pravilo da svako zagrijavanje gume smanjuje trenje. Veća početna brzina, uz isto usporavanje, povećava put kočenja.

4. Isprobaj: vuci blok

Povećavaj vučnu silu i gledaj crvenu strelicu trenja. Dok blok miruje, trenje raste zajedno s vučnom silom. Kada pređeš crvenu granicu, blok se pokrene i trenje padne na kinetičku vrijednost. Pomjeranje je usporeno i ponavlja se u prozoru crteža; nije mjerilo pređenog puta. Masa bloka je 10 kg, pa je N = 98,1 N.

Vučna sila F: 20 N Statički koeficijent μ: 0,40

Blok miruje. Statičko trenje iznosi 20,0 N i prilagođava se vučnoj sili. Granica je približno 39,2 N.

Sačuvaj trag sile: povećaj pa smanji vuču

Sanduk mase 10 kg je na vodoravnoj podlozi: N = 98,1 N. Propisana sila raste od 0 N do 60 N tokom prvih 6 s, pada na 0 N do 12 s, pa ostaje nula. Pomjeraj vrijeme i prati sačuvanu historiju vuče i trenja. Predvidi: je li trenje prije pokretanja uvijek jednako najvećoj vrijednosti?

Podloga Trenje prije pokretanja Vrijeme 0 s

Zelena puna: vuča F. Crvena kratko isprekidana: iznos trenja |Ftr|. Ljubičasta dugo isprekidana: prethodno sačuvano trenje.

Predvidi ponašanje trenja pa istraži cijeli ciklus.

Nema sačuvanog poređenja.

Korak po korak: u mirovanju Ftr = F do granice μₛN; pri klizanju Ftr = μₖN suprotno brzini. Brzina se računa malim vremenskim korakom 0,005 s; pri zaustavljanju postavlja se tačno nula, bez vještačke promjene smjera. Prikazani brojčani rezultati su približni. Graf pokazuje iznose sila, ne smjer trenja.

5. Korak po korak: pokreće li se blok

Zadatak: „Blok mase 10 kg vučeš po vodoravnom podu silom 30 N. Koeficijent statičkog trenja je 0,4, a kinetičkog 0,32. Pokreće li se blok i kolika je sila trenja?“

1.Ispiši podatke m = 10 kg, F = 30 N, μ(statičko) = 0,4, μ(kinetičko) = 0,32.

2.Izračunaj N N = m·g = 10·9,81 = 98,1 N, jer je podloga vodoravna.

3.Granica statičkog trenja F(max) = 0,4·98,1 = 39,24 N

4.Uporedi F i F(max) 30 N < 39,24 N, pa vučna sila ne savladava statičko trenje.

5.Zaključak Blok miruje, a statičko trenje iznosi tačno 30 N — jednako vučnoj sili. Rezultanta je nula.

6.Provjeri smisao Trenje ne može biti veće od sile koja ga izaziva dok tijelo miruje; 30 N je manje od granice, pa je sve usklađeno.

Ogled: određivanje koeficijenta trenja (korak po korak)

Cilj: izmjeriti statičko i kinetičko trenje i izračunati koeficijente. Pribor: drveni blok, dinamometar, vodoravna ravna podloga, vaga. Kontrolisane varijable: ista podloga, ista strana bloka (dodirna površina), ista masa. Sigurnost: dinamometar vuci polako i ravno, ne preopterećuj ga i ne stavljaj prste između bloka i dinamometra.

m=0,50 kg; N = m · g = 0,50 · 9,81 ≈ 4,9 N Blok na vodoravnoj podlozi pritišće podlogu silom jednakom svojoj težini.

F_max=2,0 N Dinamometar pokazuje najveću silu tik prije pomicanja bloka. To je granica statičkog trenja. Mjerenje ponovi tri puta.

μ(statičko)=F_max / N = 2,0 / 4,905 ≈ 0,41 Koeficijent trenja nema jedinicu, jer dijelimo dvije sile.

F_k=1,6 N Blok klizi konstantnom brzinom, pa je vučna sila jednaka kinetičkom trenju.

μ(kinetičko)=F_k / N = 1,6 / 4,905 ≈ 0,33 Kinetički koeficijent je manji od statičkog, kao u primjerima u lekciji.

Provjera⇒0,33 < 0,41 Pokretanje je teže od održavanja kretanja, što potvrđuje rezultat.

6. Riješeni primjeri

Dva tipa zadatka: statičko trenje i granica kretanja, te kinetičko trenje i ubrzanje. U svakom tipu su tri primjera, od lakšeg ka težem.

Tip 1: statičko trenje i granica

Primjer 1: blok od 10 kg i sila 25 N

Blok mase 10 kg stoji na vodoravnom podu, a koeficijent statičkog trenja je 0,4. Vučeš ga silom 25 N. Kolika je sila trenja i da li se blok pokreće?

N=m·g = 10·9,81 = 98,1 N Na vodoravnom podu sila na podlogu jednaka je sili teže.

F(max)=0,4·98,1 = 39,24 N To je najveća sila statičkog trenja.

F=25 N Vučna sila je manja od granice.

Ftr=25 N Dok blok miruje, statičko trenje je jednako vučnoj sili.

Provjera≈25 < 39,2 Blok miruje, pa je rezultanta nula i nema ubrzanja.

Primjer 2: blok od 10 kg i sila 50 N

Isti blok mase 10 kg vučeš silom 50 N. Koeficijent statičkog trenja je 0,4, a kinetičkog 0,32. Pokreće li se blok i koliko je njegovo ubrzanje?

N=98,1 N Isti blok, ista podloga, pa je i sila na podlogu ista.

F(max)=39,24 N Granica statičkog trenja ostaje ista.

F=50 N > 39,24 N Vučna sila prelazi granicu, pa se blok pokreće.

Ftr=0,32·98,1 = 31,39 N U kretanju djeluje kinetičko trenje, koje je manje od statičke granice.

Fᵣ=50 − 31,392 = 18,608 N Rezultanta je razlika vučne sile i trenja.

a=18,608 / 10 ≈ 1,9 m/s² Provjera: bez trenja bi ubrzanje bilo 5 m/s², pa je manje — očekivano.

Primjer 3: teška greda na gradilištu

Građevinska greda ima masu 200 kg i leži na vodoravnoj betonskoj podlozi. Koeficijent statičkog trenja je 0,6. Kolikom najmanjom silom se greda može pokrenuti?

m=200 kg Masa grede.

N=200·9,81 = 1 962 N Sila pritiska na podlogu jednaka je sili teže.

F(max)=μ·N = 0,6·1 962 Uvrštavamo koeficijent statičkog trenja i silu na podlogu.

F(max)=1 177,2 N Najmanja sila za pokretanje je oko 1,2 kN.

Provjera≈1,2 kN Za gredu od 200 kg to je oko 1,2 kN, što odgovara sili dvaju jakih ljudi — smisleno.

Tip 2: kinetičko trenje i ubrzanje

Primjer 1: vuča s kinetičkim trenjem

Blok mase 10 kg vučeš silom 50 N, a koeficijent kinetičkog trenja je 0,3. Koliko je ubrzanje bloka?

N=10·9,81 = 98,1 N Sila pritiska na vodoravnu podlogu.

Ftr=0,3·98,1 = 29,43 N Kinetičko trenje djeluje suprotno od kretanja.

Fᵣ=50 − 29,43 = 20,57 N Rezultanta u smjeru kretanja.

a=20,57 / 10 ≈ 2,1 m/s² Ubrzanje je oko 2,1 m/s².

Provjera≈manje od 5 m/s² Bez trenja bi ubrzanje bilo 5 m/s², pa je s trenjem manje — rezultat ima smisla.

Primjer 2: sanduk od 50 kg

Sanduk mase 50 kg vučeš po podu silom 200 N. Koeficijent kinetičkog trenja je 0,25. Koliko je ubrzanje sanduka?

N=50·9,81 = 490,5 N Sila pritiska raste s masom, pa raste i trenje.

Ftr=0,25·490,5 = 122,625 N Kinetičko trenje pri klizanju.

Fᵣ=200 − 122,625 = 77,375 N Rezultanta u smjeru vuče.

a=77,375 / 50 ≈ 1,55 m/s² Zaokruženo na dvije decimale: 1,55 m/s².

Provjera≈1,5 m/s² Sanduk od 50 kg ubrzava umjereno — razumno za vuču jednog čovjeka uz pomoć.

Primjer 3: koliko klizi kutija

Kutija mase 8 kg gurnuta je brzinom 4 m/s po vodoravnom podu i prepuštena trenju. Koeficijent kinetičkog trenja je 0,2. Za koje vrijeme se zaustavi i koliki put pređe?

N=8·9,81 = 78,48 N Sila pritiska na podlogu.

Ftr=0,2·78,48 = 15,696 N Trenje je jedina horizontalna sila, pa djeluje suprotno od kretanja.

a=15,696 / 8 = 1,962 m/s² Ubrzanje je usmjereno suprotno od kretanja, pa brzina opada.

t=v / a = 4 / 1,962 ≈ 2,04 s Kutija se zaustavi za oko 2 sekunde.

s=v·t / 2 = 4·2,04 / 2 ≈ 4,1 m Kod ravnomjernog usporavanja put je srednja brzina (v/2) pomnožena vremenom.

Provjera≈4 m Kutija klizne nekoliko metara — u skladu s iskustvom pri malom trenju.

⚠️ Česte greške

„Trenje je uvijek jednako μ·N.“ To važi za kinetičko trenje. Dok tijelo miruje, statičko trenje je jednako vučnoj sili i može biti bilo šta od nule do granice μ·N.
„Trenje djeluje u smjeru kretanja.“ Trenje se protivi kretanju ili namjeri kretanja. Izuzetak je kada trenje pokreće tijelo, npr. pogon kotača — tada djeluje u smjeru kretanja vozila.
„Veća dodirna površina znači veće trenje.“ U školskom modelu trenje zavisi od μ i N, ne od veličine površine. Zato sanke klize isto i kada leže na široj strani.
„Koeficijent trenja ima jedinicu.“ μ je broj bez jedinice, jer dijelimo dvije sile.

✅ Kviz — provjeri sebe (4 pitanja)

1. Blok miruje, a ti povećavaš vučnu silu. Šta se dešava sa statičkim trenjem?

2. Blok mase 10 kg stoji na vodoravnom podu. Koeficijent statičkog trenja je 0,4. Kolika je granica statičkog trenja? Uzmi g = 9,81 N/kg.

3. Kako najlakše povećaš trenje između gume i zaleđene ceste?

4. Zašto je teže pokrenuti tešku kutiju nego je poslije održavati u kretanju?

7. Primijeni i objasni

Samostalan zadatak: Sanduk mase 25 kg stoji na vodoravnom podu. Koeficijent statičkog trenja je 0,5, a kinetičkog 0,4. (a) Kolika je granica statičkog trenja? (b) Da li se sanduk pokreće silom 100 N? (c) Ako se pokrene, koliko je ubrzanje? (d) Šta bi uradio da sanduk treba lakše pokrenuti, a da ne mijenjaš njegovu masu?

Provjeri rješenje i obrazloženje

(a) N = 25·9,81 = 245,25 N, pa je F(max) = 0,5·245,25 = 122,625 N ≈ 122,6 N. (b) 100 N < 122,6 N, pa sanduk ostaje u mirovanju, a statičko trenje iznosi 100 N. (c) Ne pokreće se, pa ubrzanja nema — ono je 0 m/s². (d) Treba smanjiti μ: podmetnuti valjke ili koristiti prikladno mazivo. Obična daska sama po sebi ne mora smanjiti trenje. Time se smanjuje granična sila trenja, a masa ostaje ista.

Simulacija ima blok mase 10 kg. Pritisni „Vrati blok“, postavi μ(statičko) = 0,5 i F = 40 N: blok miruje jer je granica 49,05 N. Zatim povećaj F na 55 N. Kinetičko trenje je 0,4·98,1 = 39,24 N, pa je ubrzanje (55 − 39,24)/10 = 1,576 m/s². Uporedi taj račun s prikazom. Za povratak na mirovanje najprije smanji silu, pa vrati blok.

Samostalan zadatak: Sanduk mase 20 kg vuče se dinamometrom. Pri pokretanju dinamometar pokazuje 80 N, a pri ravnomjernom klizanju 60 N. (a) Izračunaj statički i kinetički koeficijent trenja. (b) Sanduk preokreneš tako da leži na široj strani, uz istu masu. Šta se mijenja u sili trenja? Obrazloži.

Provjeri rješenje i obrazloženje

(a) N = 20 · 9,81 ≈ 196 N. μ(statičko) = 80 / 196 ≈ 0,41. μ(kinetičko) = 60 / 196 ≈ 0,31. (b) Sila trenja se ne mijenja: ona zavisi od μ i sile pritiska N, a ne od veličine dodirne površine. Ako mjerenje pokaže drugačije, provjeri da li se podloga promijenila.

Samostalno istraži

Uz nastavnika izmjeri silu potrebnu za pokretanje bloka i silu pri ravnomjernom klizanju. Koristi lagani blok, vagu i dinamometar; ne preopterećuj oprugu. Ponovi tri puta, zadrži istu masu i površine, pa preokreni blok na drugu stranu. Nacrtaj dijagram sila i tabelu. Odredi statičku granicu, kinetičko trenje i njihove koeficijente. Šta tvoji podaci govore o dodirnoj površini?

Provjeri obrazloženje

Dinamometar pri pokretanju daje graničnu vučnu silu, a pri ravnomjernom klizanju iznos kinetičkog trenja. N = m·g samo ako nema drugih vertikalnih sila; koeficijente dobiješ dijeljenjem sa N. Statičko trenje prije pokretanja nije stalno jednako graničnoj vrijednosti: prilagođava se vučnoj sili. U školskom modelu trenje ne zavisi od dodirne površine; stvarna razlika traži provjeru materijala, hrapavosti, opterećenja i rasipanja mjerenja. Nastavnik prati rukovanje i sigurnost.

Veza s programom

Ključni sadržaji koje ovdje učiš: trenje, sila trenja, statičko i kinetičko trenje, koeficijent trenja i primjena u svakodnevnom životu.

Oblast B — Mehanika, cjelina 8.2 Dinamika. Oznake ishoda u izvoru: B.8.1, B.8.2, B.8.3. Predmetni kurikulum KS, 8. razred, oblast B, štampana str. 15 (PDF stranica 16). Raspored oblasti na portalu je urednički. Objašnjenja, primjeri i aktivnosti su autorski.