Mehanička energija i zakon održanja

🎯 Cilj lekcije

Izračunati kinetičku energiju Ek = m·v²/2 i gravitacionu potencijalnu energiju Ep = m·g·h.
Objasniti pretvaranje Ek u Ep i Ep u Ek na klatnu, toboganu i pri skoku.
Primijeniti zakon održanja mehaničke energije u zadacima.
Objasniti gdje odlazi dio mehaničke energije kada djeluje trenje.

1. Šta je mehanička energija?

Kuglica koja se kotrlja može odgurnuti drugu kuglicu. Kuglica podignuta na sto može pasti i pritom nešto pomjeriti. Za potencijalnu energiju posmatramo sistem kuglica–Zemlja; u zadacima skraćeno kažemo „energija kuglice“. U oba slučaja tijelo ima sposobnost da izvrši rad — dakle ima energiju. Energiju koju tijelo ima zbog svog kretanja ili zbog svog položaja zovemo mehanička energija.

Mehanička energija ima dva dijela:

Kinetička energija (Ek) — energija kretanja. Ima je svako tijelo koje se kreće.
Gravitaciona potencijalna energija (Ep) — energija položaja u polju sile teže. Ima je svako tijelo koje je podignuto iznad nekog nivoa.

E = Ek + Ep

Ukupna mehanička energija je zbir tih dvaju dijelova. Nivo s kojeg mjerimo visinu biramo sami — najčešće je to tlo ili najniža tačka putanje. Na tom nivou je Ep = 0, pa je sva mehanička energija kinetička.

Mehanička energija se mjeri u džulima, kao i svaka druga energija. Kada kažemo da tijelo „ima 50 J mehaničke energije“, to znači da to tijelo može izvršiti rad od najviše 50 J dok se ne zaustavi na odabranom nivou.

2. Kinetička i gravitaciona potencijalna energija

Kinetička energija zavisi od mase i od brzine, ali od brzine zavisi kvadratno:

Ek = m·v²2

Zbog kvadrata, dvostruko brže tijelo ima četiri puta veću kinetičku energiju, a trostruko brže — devet puta veću. Zato prepolovljena brzina znači četiri puta manju kinetičku energiju pri istoj masi. Posljedice sudara zavise i od načina zaustavljanja. Evo kako izgleda zavisnost za tijelo mase 1 kg:

Brzina v	Ek za m = 1 kg	Koliko puta više od 1 m/s
1 m/s	0,5 J	1 put
2 m/s	2 J	4 puta
3 m/s	4,5 J	9 puta
10 m/s	50 J	100 puta

Gravitaciona potencijalna energija zavisi od mase i od visine:

Ep = m·g·h

Ovdje je g = 9,81 N/kg ubrzanje slobodnog pada, a h visina iznad odabranog nivoa. Visina se mjeri u metrima, masa u kilogramima. Primjer: knjiga mase 1,5 kg na polici 2 m iznad poda ima Ep = 1,5 kg · 9,81 N/kg · 2 m ≈ 29,4 J.

💡 Zapamti Visina nije „visina tijela“, nego visina iznad nivoa s kojeg mjeriš. Ako nivo promijeniš, mijenja se i Ep — ali promjena Ep između dvije tačke uvijek ostaje ista.

3. Zakon održanja mehaničke energije

Kada tijelo pada ili klizi niz kosinu, njegova visina se smanjuje, a brzina raste. Ep se pretvara u Ek. Kada se tijelo podiže, dešava se obrnuto. Ako zanemarimo trenje i otpor zraka, zbir ostaje isti:

Ek₁ + Ep₁ = Ek₂ + Ep₂

To je zakon održanja mehaničke energije: u sistemu bez rada vanjskih sila i bez pretvaranja mehaničke energije u unutrašnju ukupna mehanička energija se ne mijenja, samo prelazi iz jednog oblika u drugi. Na klatnu se Ek i Ep izmjenjuju dva puta u svakom zamahu. Na toboganu se Ep s vrha pretvara u Ek pri dnu. Pri skoku uvis Ek se pretvara u Ep dok se ne zaustaviš u najvišoj tački.

Šta kada djeluje trenje? Tada ukupna mehanička energija opada, ali ukupna energija ostaje ista. Dio mehaničke energije pretvara se u unutrašnju (toplotnu) energiju tijela i podloge — oba se zagriju. Zato se tobogan i kočnice zagriju, a klizač na kraju staze ima manju brzinu od one koju bi dao račun bez trenja. O tome detaljno govori sljedeća lekcija.

4. Isprobaj: klatno i stupci energije

Mijenjaj visinu s koje klatno počinje i masu kugle. Otpor zraka i trenje zanemarujemo; nit je duga 2 m. Visine stupaca porede udjele energije unutar jednog zamaha, pa ukupan stupac ima stalnu visinu i kada promijeniš masu. Stupci desno pokazuju koliki je dio energije kinetički, a koliki potencijalni. Posmatraj treći stupac: zbir Ek i Ep ostaje isti cijeli zamah.

Početna visina: 0,50 m Masa kugle: 2 kg

Klatno miruje u najnižoj tački.

5. Korak po korak: pad s visine

Zadatak: „Tijelo mase 2 kg padne s visine 5 m. Trenje zanemarujemo. Kolika je njegova potencijalna energija na startu, kolika kinetička energija pri udaru u tlo i kojom brzinom udari?“ Rješavamo korak po korak:

1.Odaberi nivo Za nivo uzmi tlo: tada je na startu h = 5 m, a pri udaru h = 0.

2.Ep = 2·9,81·5 = 98,1 J Na startu tijelo miruje, pa je Ek = 0 J i sva mehanička energija je potencijalna.

3.Ek = Ep = 98,1 J Zakon održanja: pri udaru je visina nula, pa se sva energija pretvorila u kinetičku.

4.v = √(2·Ek/m) Iz Ek = m·v²/2 izrazi v: prvo pomnoži s 2, podijeli masom, pa korijeni.

5.v = √(196,2/2) = √98,1 ≈ 9,9 m/s Isto se dobije i s v = √(2·g·h). Brzina od 9,9 m/s je oko 36 km/h — realno za pad s pet metara.

Ogled: provjera zakona održanja mehaničke energije (korak po korak)

Cilj: provjeriti da se mehanička energija kuglice pri padu ne mijenja (uz zanemarljive gubitke). Pribor: kuglica mase 50 g, stalak s mjernom skalom, vaga, fotoćelija ili video-analiza za brzinu na dnu. Kontrolisane varijable: ista kuglica, isti stalak, ista startna visina. Sigurnost: kuglica ne smije pasti na nogu, stalak postavi stabilno na sto, a ne preko ivice.

m=0,050 kg Masa kuglice izmjerena vagom. Gram pretvori u kilogram.

h=0,20 m Kuglica se pušta iz mirovanja, pa na vrhu ima samo potencijalnu energiju.

E_p=m · g · h = 0,050 · 9,81 · 0,20 ≈ 0,098 J Potencijalna energija na visini h.

v=1,9 m/s (srednja vrijednost tri mjerenja) Brzina na dnu. Rezultat 19 m/s pri ovoj visini upozorio bi da treba provjeriti jedinice, skalu videa i početno puštanje; uzrok se ne smije unaprijed proglasiti poznatim.

E_k=m · v² / 2 = 0,050 · 1,9² / 2 ≈ 0,090 J Kinetička energija na dnu.

Gubitak⇒0,098 − 0,090 = 0,008 J, tj. oko 8 % Razlika može nastati zbog gubitaka ili grešaka mjerenja. Bez procjene nesigurnosti ne znamo koliki dio pripada kojem uzroku.

6. Riješeni primjeri

Dva tipa zadatka: kinetička energija i zakon održanja. U svakom tipu su tri primjera, od lakšeg ka težem.

Tip 1: kinetička energija

Primjer 1: automobil u vožnji

Automobil mase 1000 kg kreće se brzinom 20 m/s. Kolika je njegova kinetička energija?

m=1000 kg Masa je već u osnovnoj jedinici.

v=20 m/s Brzina u zadatku je u m/s; da je bila u km/h, prvo bi je dijelio s 3,6.

Ek=m·v²/2 = 1000·400/2 Kvadriraj brzinu prije množenja: 20² = 400.

Ek=200 000 J = 200 kJ Ako se brzina udvostruči na 40 m/s, energija bi bila 800 kJ — četiri puta veća.

Primjer 2: lopta u letu

Fudbalska lopta mase 0,45 kg leti brzinom 30 m/s. Kolika je njena kinetička energija?

v²=30² = 900 m²/s² Prvo kvadriraj brzinu, jer je to najčešće mjesto gdje se pogriješi.

m·v²=0,45·900 = 405 Množi decimalni broj pažljivo; međurezultat ne zaokružuj.

Ek=405/2 = 202,5 J ≈ 203 J Dijeli s 2 tek na kraju. Rezultat je oko 0,2 kJ — rezultat je oko 0,2 kJ. Provjera jedinice: kg·m²/s² = J.

Primjer 3: dvostruka brzina

Tijelo mase 2 kg kreće se brzinom 3 m/s, a zatim ubrza na 6 m/s. Koliko se puta poveća njegova kinetička energija?

Ek₁=2·9/2 = 9 J Prva brzina: 3² = 9, pa 2·9/2 = 9 J.

Ek₂=2·36/2 = 36 J Druga brzina: 6² = 36, pa 2·36/2 = 36 J.

Odnos=36/9 = 4 Brzina je dva puta veća, a energija četiri puta. Zavisnost je kvadratna, ne linearna.

Tip 2: zakon održanja

Primjer 1: pad s pet metara

Tijelo mase 2 kg padne s visine 5 m bez trenja. Kolika je njegova brzina pri udaru u tlo?

Ep=2·9,81·5 = 98,1 J Na startu je sva mehanička energija potencijalna.

Ek=Ep = 98,1 J Pri udaru je h = 0, pa je Ep = 0 i sva energija je kinetička.

v=√(2·Ek/m) = √(196,2/2) Iz Ek = m·v²/2 izrazi v. Masa se skraćuje, ali je ovdje zadana pa je koristimo.

v≈9,9 m/s ≈ 36 km/h Brzina ne zavisi od mase: i teže i lakše tijelo udari istom brzinom ako padaju bez otpora.

Primjer 2: tobogan

Dijete mase 30 kg krene s vrha tobogana visokog 8 m. Kolika bi bila njegova brzina na dnu bez trenja, a kolika kinetička energija?

Ep=30·9,81·8 = 2354,4 J Energija na vrhu tobogana, računata u odnosu na dno.

Ek=2354,4 J Bez trenja sva potencijalna energija prelazi u kinetičku.

v=√(2·2354,4/30) = √156,96 2·2354,4 = 4708,8; podijeljeno s 30 daje 156,96.

v≈12,5 m/s ≈ 45 km/h Stvarna brzina je manja zbog trenja i otpora zraka — dio energije odlazi u toplotu.

Primjer 3: skok uvis

Dječak baci loptu uvis brzinom 8 m/s. Do koje visine će lopta stići bez otpora zraka? Kolika je njena kinetička energija na pola te visine, ako je masa lopte 0,5 kg?

Ek₁=0,5·64/2 = 16 J Na startu je sva energija kinetička: 8² = 64.

h=v²/(2·g) = 64/19,62 U najvišoj tački je Ek = 0, pa je Ep = m·g·h jednako početnoj Ek.

h≈3,3 m Na pola visine, h = 1,63 m, potencijalna energija je 8 J.

Ek=16 − 8 = 8 J Zbir mora ostati 16 J. Zato je na pola visine Ek = Ep = 8 J.

⚠️ Česte greške

Zaboravljeno dijeljenje s 2. Ek nije m·v², nego m·v²/2. Bez toga je rezultat dvostruko prevelik.
Brzina u km/h uvrštena direktno. U Ek i u izraze s korijenom brzina mora biti u m/s: 72 km/h = 20 m/s.
„Energija se izgubi zbog trenja.“ Mehanička energija se smanji, ali ukupna energija ostaje — pretvori se u unutrašnju energiju tijela i podloge.
Miješanje nivoa visine. Ako Ep računaš u odnosu na stolicu, a brzinu u odnosu na pod, zbir neće biti stalan. Nivo biraj jednom i drži ga se do kraja zadatka.

✅ Kviz — provjeri sebe (4 pitanja)

1. Tijelo mase 2 kg kreće se brzinom 3 m/s. Kolika je njegova kinetička energija?

2. Kuglica pada bez trenja. Šta se dešava s njenom energijom dok pada?

3. Kolika je gravitaciona potencijalna energija tijela mase 5 kg na visini 4 m? (g ≈ 9,81 N/kg)

4. Gdje odlazi dio mehaničke energije kada tijelo klizi s trenjem?

7. Primijeni i objasni

Samostalan zadatak: Sanjkaš mase 60 kg krene s vrha staze visoke 12 m i na dnu ima brzinu 10 m/s. Izračunaj početnu potencijalnu energiju, kinetičku energiju na dnu i dio energije koji je otišao na trenje. Objasni zašto sanjkaš na dnu ne može imati brzinu koju daje račun bez trenja.

Provjeri rješenje i obrazloženje

Početna potencijalna energija: Ep = m·g·h = 60 kg · 9,81 N/kg · 12 m ≈ 7063 J ≈ 7,1 kJ. Kinetička energija na dnu: Ek = m·v²/2 = 60 kg · 100 m²/s² / 2 = 3000 J = 3,0 kJ. Razlika 7063 J − 3000 J ≈ 4063 J ≈ 4,1 kJ otišla je na savladavanje trenja i otpora zraka, pa se pretvorila u unutrašnju energiju snijega, sanjki i zraka. Bez trenja brzina bi bila v = √(2·g·h) = √(2·9,81·12) ≈ 15,3 m/s, dakle veća od izmjerene. Ukupna energija pritom nije nestala: 3,0 kJ je ostalo u kretanju, a 4,1 kJ se pretvorilo u toplotu.

Pokušaj najprije samostalno. Ako zapneš, vrati se na simulaciju i posmatraj treći stupac — on pokazuje da se zbir ne mijenja.

Samostalan zadatak: Kuglica mase 0,10 kg pusti se s visine 1,5 m. (a) Izračunaj brzinu na dnu ako nema gubitaka. (b) Mjerenjem je izmjerena brzina 4,8 m/s. Koliki dio početne energije je izgubljen?

Provjeri rješenje i obrazloženje

(a) m · g · h = m · v² / 2, pa je v = √(2gh) = √(2 · 9,81 · 1,5) = √29,4 ≈ 5,4 m/s. (b) E_p = 0,10 · 9,81 · 1,5 ≈ 1,47 J; E_k = 0,10 · 4,8² / 2 ≈ 1,15 J; gubitak je 1,47 − 1,15 ≈ 0,32 J, tj. oko 22 %.

Samostalno istraži i obrazloži

Uz nastavnika izvedi opisani ogled za kuglicu mase 0,050 kg s visine 0,20 m. Snimi najmanje tri pokušaja, odredi brzinu neposredno prije dna i uporedi energije. Za vježbu obrade koristi brzine 1,92 m/s; 1,96 m/s; 1,94 m/s. Koji podaci trebaju da procijeniš potvrđuje li mjerenje zakon?

Provjeri obrazloženje

v(sr) = 1,94 m/s. Početna potencijalna energija je 0,050·9,81·0,20 = 0,0981 J. Konačna kinetička energija je 0,050·1,94²/2 = 0,09409 J. Razlika je 0,00401 J, približno 4,1 % početne vrijednosti. Potrebna je procjena nesigurnosti mase, visine i brzine te ocjena otpora i trenja. Idealno očuvanje mehaničke energije ne smije se proglasiti precizno potvrđenim samo zato što su brojevi bliski. Sačuvaj skicu, tabelu i snimak te obrazloži granice modela.

Veza s programom

Ključni sadržaji koje ovdje učiš: mehanička energija, kinetička i gravitaciona potencijalna energija, promjena energije i zakon održanja.

Oblasti B.8.2 i B.8.3. Oznake ishoda u izvoru: B.8.2, B.8.3. Predmetni kurikulum KS, 8. razred, štampana str. 18. Raspored oblasti na portalu je urednički. Objašnjenja, primjeri i aktivnosti su autorski.