Međudjelovanje naboja i Coulombov zakon

🎯 Cilj lekcije

Objasniti zašto se naboji istog predznaka odbijaju, a suprotnog privlače.
Primijeniti Coulombov zakon F = k·q₁q₂/r² uz k = 9·10⁹ N·m²/C².
Odrediti pravac i smjer sile na svaki od dva naboja.
Objasniti inverznu kvadratnu zavisnost i uporediti je s gravitacijom.

1. Kako naboji djeluju jedan na drugi

Protrijaj dvije plastične kuglice o vunu i objesi ih na konce. Kuglice se odbijaju. Uzmi jednu naelektrisanu staklenu, a drugu plastičnu kuglicu — one se privlače. Djelovanje postoji i kada se tijela ne dodiruju, i slabi kada ih razmakneš.

Pravilo je jednostavno i vrijedi za sve naboje:

Naboji istog predznaka (oba + ili oba −) se odbijaju.
Naboji suprotnog predznaka (+ i −) se privlače.
Neutralno tijelo se privlači i prema pozitivnom i prema negativnom naboju, jer se u njemu naboj razdvoji (influencija).

Sila kojom jedan naboj djeluje na drugi zove se električna sila. Ona djeluje na daljinu, bez dodira, i to preko električnog polja o kojem govorimo u sljedećoj lekciji.

2. Coulombov zakon

Francuski fizičar Charles Coulomb mjerio je silu između naelektrisanih kuglica pomoću torzijske vage. Zaključio je da iznos sile zavisi od dva naboja i od rastojanja između njih:

F = k · q₁ · q₂r²

U izrazu su q₁ i q₂ iznosi naboja u kulonima, r rastojanje između njihovih središta u metrima, a k Coulombova konstanta:

k = 9·10⁹ N·m²/C²

Konstanta je vrlo velika, pa su električne sile između naboja reda mikrokulona već osjetne. Jedinica sile je njutn (N), kao i kod svake druge sile.

💡 Zapamti U formulu stavljamo iznose naboja. Predznaci nam služe samo da odredimo da li se naboji privlače ili odbijaju.

3. Pravac, smjer i zavisnost od rastojanja

Električna sila je vektor, pa je opisujemo s četiri podatka: iznos, pravac, smjer i hvatište.

Pravac: uvijek je to prava koja prolazi kroz oba naboja.
Smjer: od naboja prema van ako se odbijaju, prema drugom naboju ako se privlače.
Hvatište: u naboju na koji sila djeluje. Svaki naboj ima svoju silu, jednakog iznosa i suprotnog smjera.

Rastojanje ulazi u nazivniku i na kvadrat. To znači da sila opada vrlo brzo:

Rastojanje	Relativni iznos sile
r	F
2·r	F / 4
3·r	F / 9
r / 2	4·F

Ova zavisnost se zove inverzni kvadrat. Vrijedi samo za tačkaste naboje, odnosno za kuglice čije je rastojanje mnogo veće od njihovih poluprečnika.

4. Usporedba s gravitacijom

Zapis Coulombovog zakona podsjeća na Newtonov zakon gravitacije: i tamo se množe dvije veličine, a rastojanje je u nazivniku na kvadrat. Razlika je u tome što gravitacija uvijek privlači, a električna sila može i odbijati.

Svojstvo	Gravitaciona sila	Električna sila
Izvor	masa	naboj
Konstanta	G ≈ 6,67·10⁻¹¹ N·m²/kg²	k = 9·10⁹ N·m²/C²
Smjer	uvijek privlači	privlači ili odbija
Zavisnost	1/r²	1/r²

Za dva protona u jezgru gravitaciona sila je oko 10³⁶ puta slabija od električne. Zato u atomima i molekulama odlučuje električna sila, a gravitacija postaje važna tek kod velikih masa kao što su planete.

5. Isprobaj: dvije naelektrisane kuglice

Mijenjaj naboje q₁ i q₂ te rastojanje r. Gledaj smjer strelica i iznos sile. Zatim udvostruči rastojanje i provjeri da sila padne na četvrtinu.

Naboj q₁: 4 µC Naboj q₂: 4 µC Rastojanje r: 10 cm

Iznos sile: ≈ 14,4 N Pri rastojanju 2·r: ≈ 3,6 N

Naboji su istog predznaka, pa se kuglice odbijaju.

Dvostruko dalje — kolika sila?

Koristi iste naboje iz ogleda iznad. Izaberi osnovno rastojanje r₀, predvidi odnos sila, pa postavi i sačuvaj tri očitanja. Klik na r₀, 2r₀ ili 3r₀ pomjera iste kuglice i isti klizač r. Naboje tokom serije ne mijenjaj.

Osnovno rastojanje r₀: 5 cm Pri 2r₀ predviđam Pri 3r₀ predviđam

Nema sačuvanih očitanja. Prvo predvidi oba odnosa, pa postavi r₀.

Tačka	r (cm)	F (N)	F / F₀
Još nema sačuvanih očitanja.

Podaci pokazuju

Ovo su modelna očitanja iz Coulombovog zakona, ne nezavisna eksperimentalna potvrda zakona. Mijenja se samo rastojanje; isti naboji i iste ose ostaju kroz cijelu seriju. Promjena naboja ili r₀ briše seriju. r₀ je od 1 do 6 cm, pa sva tri rastojanja stanu u postojeći raspon klizača r od 1 do 20 cm. Model opisuje tačkaste naboje u vakuumu, uz k = 9·10⁹ N·m²/C²; kuglice i strelice su šematske, a graf ima brojčane ose. Nulti tačkasti naboj ovdje ne polarizujemo.

Dva polja: ista ideja, različiti izvori

Gravitaciono polje povezujemo s masom, električno s nabojem. Oba opisuju djelovanje na različitim mjestima prostora; nacrtane linije su pomoćni prikaz, ne cijevi unutar kojih jedino postoji polje. Gravitaciono međudjelovanje običnih masa je privlačno, a električno može biti privlačno ili odbojno. Sile između tačkastih izvora opadaju s kvadratom udaljenosti. Homogeno električno polje u srednjem dijelu paralelnih ploča možeš porediti s približno homogenim gravitacionim poljem u učionici: u oba su smjer i jačina približno stalni u malom posmatranom području.

1.Izaberi tijeloZa masu u gravitacionom polju sila je u smjeru gravitacionog polja.

2.Promijeni znak nabojaZa pozitivan probni naboj električna sila je u smjeru E; za negativan suprotno.

3.Udalji izvoreDvostruka udaljenost od tačkastog izvora daje četvrtinu jačine, uz ostale iste uslove.

4.Provjeri graniceAnalogija ne znači da se mase mogu električno neutralisati ili da gravitacija ima dvije vrste masa.

6. Korak po korak: izračunaj silu

Zadatak: „Dvije male kuglice imaju naboje q₁ = 2 µC i q₂ = 3 µC. Rastojanje između njihovih središta je 3 cm. Odredi iznos električne sile.“

1.Zapiši podatke q₁ = 2 µC, q₂ = 3 µC, r = 3 cm, k = 9·10⁹ N·m²/C².

2.Pretvori u osnovne jedinice 1 µC = 10⁻⁶ C, a 1 cm = 0,01 m. Bez toga rezultat nije u njutnima.

q₁=2·10⁻⁶ C, q₂ = 3·10⁻⁶ C Mikrokulon je milioniti dio kulona.

r=3 cm = 0,03 m Rastojanje mora biti u metrima jer je tako definisana konstanta k.

F=k · q₁q₂ / r² Uvrštavamo iznose naboja, a predznake koristimo samo za smjer sile.

F=9·10⁹ · 6·10⁻¹² / 9·10⁻⁴ q₁q₂ = 6·10⁻¹² C², a r² = 9·10⁻⁴ m².

F=60 N Provjera: iznos je reda desetina njutna do sto njutna, što je za mikrokulone realno.

7. Riješeni primjeri

Dva tipa zadatka: računanje sile iz zadanih naboja i računanje poslije promjene rastojanja ili naboja. U svakom tipu su tri primjera, od lakšeg ka težem.

Tip 1: izračunaj iznos sile

Primjer 1: dvije male kuglice

q₁ = 4 µC, q₂ = 5 µC, r = 6 cm. Odredi iznos sile.

Podaci:4·10⁻⁶ C, 5·10⁻⁶ C, 0,06 m Odmah pretvaramo µC u C i cm u m, prije uvrštavanja.

Formula:F = k · q₁q₂ / r² Coulombov zakon traži iznose naboja i rastojanje u metrima.

Uvrštavanje:F = 9·10⁹ · 20·10⁻¹² / 3,6·10⁻³ q₁q₂ = 20·10⁻¹² C², a r² = (6·10⁻²)² = 3,6·10⁻³ m².

Račun:F = 0,18 / 3,6·10⁻³ = 50 N 9·10⁹ · 20·10⁻¹² = 0,18; dijeljenjem s 3,6·10⁻³ dobijemo 50.

Provjera⇒oba +, sila odbija Iznos je realan za mikrokulone na nekoliko centimetara, a smjer je od drugog naboja.

Primjer 2: suprotni predznaci

q₁ = 4 µC, q₂ = −4 µC, r = 12 cm. Odredi iznos sile i objasni smjer.

Podaci:4·10⁻⁶ C, 4·10⁻⁶ C, 0,12 m U formulu idu iznosi, pa minus drugog naboja ovdje ne pišemo.

Formula:F = k · |q₁q₂| / r² Apsolutna vrijednost osigurava da iznos sile bude pozitivan.

Uvrštavanje:F = 9·10⁹ · 16·10⁻¹² / 1,44·10⁻² r² = (0,12)² = 0,0144 m² = 1,44·10⁻² m².

Račun:F = 0,144 / 0,0144 = 10 N Iznos je manji nego u prvom primjeru jer je rastojanje veće.

Smjer⇒privlačenje Predznaci su suprotni, pa sile djeluju jedna prema drugoj, duž spojnice.

Primjer 3: naboji u nanokulonima

q₁ = 6·10⁻⁷ C, q₂ = 2·10⁻⁷ C, r = 6 cm. Odredi silu.

Podaci:6·10⁻⁷ C, 2·10⁻⁷ C, 0,06 m Naboji su zadani u kulonima, pa pretvaramo samo rastojanje.

Formula:F = k · q₁q₂ / r² Isti izraz vrijedi za bilo koje iznose naboja.

Uvrštavanje:F = 9·10⁹ · 12·10⁻¹⁴ / 3,6·10⁻³ 6·10⁻⁷ · 2·10⁻⁷ = 12·10⁻¹⁴ C².

Račun:F = 1,08·10⁻³ / 3,6·10⁻³ = 0,3 N 9·10⁹ · 12·10⁻¹⁴ = 1,08·10⁻³; dijeljenjem dobijemo 0,3.

Provjera⇒manji naboj, manja sila Naboji su reda desetih dijelova mikrokulona (0,6 µC i 0,2 µC), pa je i sila manja od jednog njutna.

Tip 2: promjena rastojanja ili naboja

Primjer 1: udvostručeno rastojanje

Pri rastojanju 4 cm sila između dva naboja iznosi 90 N. Kolika je sila pri rastojanju 8 cm?

Podaci:F₁ = 90 N, r₁ = 4 cm, r₂ = 8 cm Naboji se ne mijenjaju, pa se mijenja samo rastojanje.

Odnos:r₂ / r₁ = 2 Rastojanje se udvostručilo, pa očekujemo četiri puta manju silu.

Zavisnost:F ∝ 1/r² Sila opada s kvadratom rastojanja, a ne linearno.

Račun:F₂ = 90 / 2² = 22,5 N Dijelimo s kvadratom odnosa rastojanja, dakle s 4.

Provjera⇒manja sila, isti smjer Predznaci naboja se nisu mijenjali, pa se smjer sile ne mijenja.

Primjer 2: na kojem rastojanju?

Dva naboja od 2 µC djeluju silom 0,9 N. Na kojem su rastojanju?

Podaci:q = 2·10⁻⁶ C, F = 0,9 N Naboji su jednaki, pa u formuli imamo q².

Formula:F = k·q² / r² Coulombov zakon za dva jednaka naboja.

Izraz za r:r = √(k·q² / F) Prvo pomnožimo s r², zatim podijelimo s F i korjenujemo.

Uvrštavanje:r = √(9·10⁹ · 4·10⁻¹² / 0,9) q² = 4·10⁻¹² C²; umnožak s k daje 0,036.

Račun:r = √0,04 = 0,2 m Rastojanje je 20 cm, što odgovara redu veličine iz primjera.

Provjera⇒F = 0,036 / 0,04 = 0,9 N Vraćanjem u formulu dobijamo polaznu silu, pa je račun ispravan.

Primjer 3: koliki je naboj?

Dvije jednake kuglice na rastojanju 3 cm djeluju jedna na drugu silom 90 N. Koliki je naboj svake kuglice?

Podaci:F = 90 N, r = 0,03 m, q₁ = q₂ = q U zadatku pretpostavljamo jednake iznose naboja, pa pišemo q². Sama jednaka veličina kuglica ne znači da imaju jednak naboj.

Formula:q = √(F·r² / k) Iz F = k·q²/r² prvo izrazimo q², pa korjenujemo.

Uvrštavanje:q = √(90 · 9·10⁻⁴ / 9·10⁹) r² = (0,03)² = 9·10⁻⁴ m².

Račun:q = √(9·10⁻¹²) = 3·10⁻⁶ C Naboj je 3 µC, što je vrijednost koju susrećemo u školskim zadacima.

Provjera⇒F = 9·10⁹ · 9·10⁻¹² / 9·10⁻⁴ Vraćanjem dobijamo 90 N, pa je naboj tačno određen.

⚠️ Česte greške

Zaboravljeno pretvaranje µC i cm. Ako naboje ostaviš u mikrokulonima, a rastojanje u centimetrima, rezultat nije u njutnima.
Linearna umjesto kvadratne zavisnosti. Pri dvostrukom rastojanju sila padne na četvrtinu, a ne na polovinu.
Predznak naboja uvršten u račun iznosa. Iznos sile je pozitivan; predznaci služe samo za privlačenje ili odbijanje.
„Veći naboj uvijek znači veću silu na drugi naboj.“ Sile su jednake po iznosu i suprotnog smjera, kao kod svakog međudjelovanja.

✅ Kviz — provjeri sebe (4 pitanja)

1. Kako djeluju dva naboja istog predznaka?

2. Rastojanje između dva naboja povećaš tri puta. Šta se dešava sa silom?

3. Kolika je Coulombova konstanta?

4. Kako se električna sila između dva protona upoređuje s gravitacionom?

8. Primijeni i objasni

Samostalan zadatak: Dvije kuglice imaju naboje q₁ = 6 µC i q₂ = −2 µC, a rastojanje je 9 cm. Odredi iznos sile i opiši smjer sile na svaku kuglicu. Zatim izračunaj kolika bi bila sila kada bi rastojanje bilo 18 cm.

Provjeri rješenje i obrazloženje

Pretvorimo: q₁ = 6·10⁻⁶ C, q₂ = 2·10⁻⁶ C (iznos), r = 0,09 m. Tada je F = 9·10⁹ · 12·10⁻¹² / 8,1·10⁻³ = 0,108 / 0,0081 ≈ 13,3 N. Predznaci su suprotni, pa se kuglice privlače: sila na q₁ djeluje prema q₂, a sila na q₂ prema q₁, obje duž spojnice i jednakog iznosa. Pri rastojanju 18 cm rastojanje se udvostručilo, pa sila padne na četvrtinu: F ≈ 3,3 N. Provjera smisla: iznos je reda desetina njutna, što odgovara mikrokulonima na desetak centimetara.

Istraživački zadatak: Uz q₁ = 4 µC, q₂ = −4 µC i r₀ = 5 cm sačuvaj sva tri očitanja. Da li se pri promjeni predznaka q₂ mijenja iznos sile ili smjer? Zatim postavi q₂ = 0 i objasni zašto tri nulte sile nisu dokaz oblika opadanja.

Provjeri podatke i zaključak

Pri 5, 10 i 15 cm iznosi su redom ≈ 57,6 N, ≈ 14,4 N i ≈ 6,4 N. Odnosi su 1, 1/4 i 1/9. Promjena samo predznaka mijenja privlačenje u odbijanje, ali ne iznose. Za q₂ = 0 model daje sve sile nula: količnik F/F₀ bio bi 0/0, pa ga ne računamo i iz te serije ne određujemo odnos nenultih sila.

Pokušaj najprije samostalno. Ako zapneš, u simulaciji postavi q₁ = 6 µC i q₂ = −2 µC te r = 9 cm i uporedi ispis sile s računom.

Uporedi pad neutralne kuglice blizu Zemlje i električnu silu na elektron između ploča. Koje polje djeluje na svako tijelo i može li se električna sila okrenuti promjenom znaka naboja?

Provjeri zaključak

Masa kuglice uzrokuje gravitaciono djelovanje; električna neutralnost ne uklanja gravitaciju. Elektron ima i masu i negativan naboj. Električna sila je suprotna od E, a promjena predznaka probnog naboja obrće tu silu. Ne zaključujemo da neutralno tijelo nikad ne može reagovati na nehomogeno električno polje: moguća je polarizacija.

Veza s programom

Ključni sadržaji koje ovdje učiš: međudjelovanje naelektrisanih tijela, Coulombov zakon, inverzna kvadratna zavisnost i usporedba s gravitacionom silom.

9. razred, oblast D (Elektricitet i magnetizam) — elektrostatika. Predmetni kurikulum KS, Fizika, 9. razred — oblast D, štampana stranica 23 (u PDF-u stranica 24). Objašnjenja, primjeri i aktivnosti su autorski.