Oscilatorno kretanje: period i frekvencija

🎯 Cilj lekcije

Prepoznati periodično i oscilatorno kretanje te ravnotežni položaj tijela.
Objasniti elongaciju i amplitudu i razlikovati ih od pređenog puta.
Izračunati period T i frekvenciju f iz broja oscilacija i vremena.
Objasniti šta mijenja, a šta ne mijenja period klatna.

1. Periodično i oscilatorno kretanje

Kazaljka na satu obiđe pun krug svakih 60 sekundi, srce kuca u ritmu, a dijete na ljuljašci se vraća na isto mjesto iznova i iznova. Sva ta kretanja imaju zajedničku osobinu: ponavljaju se u jednakim vremenskim razmacima. Takvo kretanje zovemo periodično kretanje.

Posebna vrsta periodičnog kretanja je oscilatorno kretanje: tijelo se kreće amo-tamo oko jednog ravnotežnog položaja. Njihalo na satu, žica gitare, membrana zvučnika i klip u motoru osciluju. Tijelo ne odlazi daleko — vraća se nazad, pa opet naprijed, dok ima dovoljno energije. U stvarnosti trenje i otpor zraka postepeno smanjuju oscilacije.

Položaj u kojem tijelo miruje kada na njega ne djeluje ništa dodatno naziva se ravnotežni položaj. Pomak od ravnotežnog položaja do trenutnog položaja tijela zove se elongacija (otklon) i označava se slovom s. Najveći iznos otklona je amplituda i označava se slovom A.

💡 Jedna oscilacija Jedna puna oscilacija je pokret iz ravnotežnog položaja do jedne krajnje tačke, pa do druge krajnje tačke i natrag u ravnotežni položaj. Isto tako: od jednog prolaska kroz ravnotežu u jednom smjeru do sljedećeg prolaska kroz ravnotežu u istom smjeru.

Amplituda nije isto što i pređeni put. Ako klatno osciluje amplitudom 5 cm, u jednoj oscilaciji pređe put od 20 cm (5 + 5 + 5 + 5), a otklon mu se mijenja između −5 cm i +5 cm.

2. Period, frekvencija i amplituda

Da bismo oscilovanje opisali brojevima, koristimo tri veličine. Period T je vrijeme jedne pune oscilacije. Mjeri se u sekundama. Frekvencija f je broj oscilacija u jednoj sekundi. Mjeri se u hercima (Hz): 1 Hz znači jedna oscilacija u sekundi.

T = tN f = Nt f = 1T T = 1f

Ovdje je N broj oscilacija, a t ukupno vrijeme u kojem su se te oscilacije dogodile. Period i frekvencija su obrnuto srazmjerne: veća frekvencija znači kraći period.

Veličinanaziv	Simbol	Jedinica	Značenje
Amplituda	A	m	najveći otklon od ravnoteže
Period	T	s	vrijeme jedne pune oscilacije
Frekvencija	f	Hz	broj oscilacija u sekundi

Kratka provjera: ako klatno načini 20 oscilacija za 16 s, period je T = 16 s / 20 = 0,8 s, a frekvencija f = 20 / 16 s = 1,25 Hz. Provjeri obrnuto: 1 / 0,8 s = 1,25 Hz. Slaganje potvrđuje da su računi dobri.

💡 Jedinica herc 1 Hz = 1 / 1 s = 1 s⁻¹. Zato je 1 Hz isto što i „jednom u sekundi“, a 50 Hz znači 50 oscilacija svake sekunde.

3. Klatno: šta mijenja period

Najjednostavniji oscilator u učionici je klatno: teg obješen o nit. Kada ga izvedeš iz ravnotežnog položaja i pustiš, ono osciluje. Period klatna zavisi od dužine niti i od ubrzanja slobodnog pada na tom mjestu, a ne od mase tega. Za male uglove (do oko 20°) vrijedi:

T ≈ 2π·√(l / g)

Iz ovog izraza vidi se i pravilo koje vrijedi bez računanja: ako dužinu povećaš četiri puta, period se poveća dva puta (jer je period srazmjeran kvadratnom korijenu dužine). Masa tijela se u izrazu ne pojavljuje — zato teško i lako klatno iste dužine imaju isti period.

Šta promijeniš	Šta se dešava s periodom	Zašto
dužinu niti povećaš	period se poveća	duži put do ravnoteže traje duže
masu tega povećaš	period ostaje isti	i sila i inercija rastu srazmjerno
amplitudu malo povećaš	period se gotovo ne mijenja	za male uglove vrijedi približna formula
klatno preneseš na Mjesec	period se poveća	ubrzanje slobodnog pada je manje

Ovo je nekada davno uočio Galileo Galilei posmatrajući njihalo u crkvi: njihanje je trajalo jednako dugo bez obzira na to koliko je njihalo bilo široko. Zbog toga su prvi tačni satovi radili upravo na klatno.

4. Isprobaj: klatno, period i graf otklona

Hoće li teži teg oscilovati sporije? Sačuvaj prvo klatno, promijeni samo masu i predvidi ishod. Zatim uporedi dvije dužine na istoj vremenskoj osi. Zelena puna kriva je trenutno klatno, ljubičasta isprekidana sačuvano.

Dužina niti l: 0,75 m Masa tega m: 1,0 kg Amplituda (ugao): 10° U odnosu na sačuvano, period će biti:

Najprije sačuvaj prvo klatno.

Graf prikazuje otklon s duž luka u centimetrima. Obje krive koriste iste ose; razmak dva susjedna vrha daje period. Prozor obuhvata 8 s i pomjera se kad ga tačka pređe. Krive su izračunate iz modela, nisu zabilježena eksperimentalna mjerenja.

Izmjeri nekoliko oscilacija

Korak po korak: pokreni mjerenje iz krajnjeg položaja, broji povratke u isti krajnji položaj i zaustavi mjerenje nakon nekoliko punih oscilacija. Upiši svoj broj N. Štoperica očitava proteklo modelno vrijeme, a period računa iz tvog zaustavljanja i broja, ne iz automatskog brojača. Pauza zaustavlja i štopericu.

Broj punih oscilacija N:

Mjerenje još nije počelo.

Model: g = 9,81 m/s², bez trenja, nerastegljiva nit i mala amplituda. Koristimo približni zakon T ≈ 2π·√(l/g); pri većim uglovima stvarni period odstupa. Dužina nacrtane niti je proporcionalna l; teg je simbol iste veličine za sve mase. Ugao nije uvećan. Graf luka i kretanje odgovaraju istom približnom modelu. Virtuelno mjerenje vježba postupak, a ne dokazuje zakon nezavisnim ogledom u prirodi.

5. Korak po korak: od mjerenja do perioda i frekvencije

Zadatak: „Klatno načini 30 oscilacija za 54 s. Odredi period i frekvenciju.“ Radi ovako, korak po korak.

1.Ispiši podatke N = 30 oscilacija, t = 54 s. Vrijeme mora biti u sekundama.

2.Odaberi formule T = t / N i f = N / t. Druga formula služi kao provjera prve.

T=t / N = 54 s / 30 = 1,8 s Jedna puna oscilacija traje 1,8 s. Jedinica je sekunda, ne herc.

f=1 / T = 1 / 1,8 s ≈ 0,56 Hz Manje od jedne oscilacije u sekundi, pa je frekvencija manja od 1 Hz.

provjera=N / t = 30 / 54 s ≈ 0,56 Hz Obje formule daju isti broj, pa je račun usklađen.

odgovor=T = 1,8 s, f ≈ 0,56 Hz Provjeri smisao: period od nekoliko sekundi je realan za klatno od oko metra.

6. Riješeni primjeri

Dva tipa zadatka: račun perioda i frekvencije te tumačenje šta mijenja period. U svakom tipu su tri primjera, od lakšeg ka težem.

Tip 1: period i frekvencija iz mjerenja

Primjer 1: period iz broja oscilacija

Klatno načini 20 oscilacija za 16 s. Odredi period i frekvenciju.

N, t=20, 16 s Podaci: broj oscilacija i ukupno vrijeme.

T=t / N = 16 / 20 = 0,8 s Period je vrijeme jedne oscilacije.

f=1 / 0,8 s = 1,25 Hz Više od jedne oscilacije u sekundi, pa je f veće od 1 Hz.

provjera=T·f = 0,8·1,25 = 1 Proizvod perioda i frekvencije uvijek je 1, pa je rezultat smislen.

Primjer 2: broj oscilacija iz frekvencije

Klatno ima period 0,25 s. Kolika je frekvencija i koliko oscilacija načini za 10 s?

T=0,25 s, t = 10 s Traži se f i broj oscilacija N.

f=1 / T = 1 / 0,25 s = 4 Hz Četiri oscilacije u svakoj sekundi.

N=f·t = 4 Hz·10 s = 40 Broj oscilacija je frekvencija puta vrijeme; jedinica Hz·s = 1.

provjera=N·T = 40·0,25 s = 10 s Ukupno vrijeme se vraća na početnih 10 s, pa je račun dobar.

Primjer 3: vrijeme za zadati broj oscilacija

Izvor osciluje frekvencijom 1,5 Hz. Koliko vremena treba za 12 punih oscilacija i koliki je period?

f, N=1,5 Hz, 12 Traži se period i ukupno vrijeme.

T=1 / f = 1 / 1,5 Hz ≈ 0,67 s Period zaokružujemo na dvije decimale, ali računamo s tačnijom vrijednošću.

t=N / f = 12 / 1,5 Hz = 8,0 s Brži put: podijeli broj oscilacija frekvencijom, bez zaokruživanja perioda.

provjera=12·0,67 s ≈ 8,0 s I preko zaokruženog perioda dobijamo približno isto vrijeme.

Tip 2: šta mijenja period klatna

Primjer 1: ista dužina, različita masa

Dva klatna imaju niti iste dužine. Prvi teg ima masu 200 g, drugi 1 kg. Koji ima duži period?

l₁ = l₂⇒T₁ = T₂ Period zavisi od dužine i od ubrzanja slobodnog pada, ne od mase.

m₂=5·m₁ Pet puta veća masa znači pet puta veću silu teže, ali i pet puta veću inerciju.

zaključak=periodi su jednaki Teži teg se ne ljulja sporije; osciluje istim tempom.

Primjer 2: četiri puta duža nit

Klatno dužine 0,5 m ima period oko 1,4 s. Koliki je period klatna dužine 2 m na istom mjestu?

l₂ / l₁=2 m / 0,5 m = 4 Dužina je četiri puta veća.

T ∝ √l⇒√4 = 2 Period raste s kvadratnim korijenom dužine, pa se poveća dva puta.

T₂=2·1,4 s ≈ 2,8 s Provjera formulom: 2π·√(2 / 9,81) ≈ 2,8 s. Red veličine je realan.

Primjer 3: klatno na Mjesecu

Klatno dužine 1 m ima na Zemlji period oko 2,0 s. Na Mjesecu ubrzanje slobodnog pada iznosi 1,6 m/s². Hoće li period tamo biti duži ili kraći i zašto?

T=2π·√(l / g) Ubrzanje slobodnog pada je u imeniocu, pa manje g znači veći period.

g(Zemlja) / g(Mjesec)≈9,81 / 1,6 ≈ 6,1 Na Mjesecu je gravitacija oko šest puta slabija.

T(Mjesec)≈2,0 s·√6,1 ≈ 5,0 s Period se poveća oko 2,5 puta. Klatno na Mjesecu se njiše sporije.

⚠️ Česte greške

„Period se mjeri u hercima.“ Period je vrijeme, pa se mjeri u sekundama. Herc je jedinica frekvencije.
„Veća frekvencija znači duži period.“ Obrnuto: f = 1/T, pa veća frekvencija znači kraći period.
„Teže klatno ima duži period.“ Za male uglove masa ne mijenja period; mijenja ga dužina niti.
„Amplituda je pređeni put.“ Amplituda je najveći otklon od ravnoteže, a pređeni put u jednoj oscilaciji je četiri amplitude.

✅ Kviz — provjeri sebe (4 pitanja)

1. Šta je amplituda oscilovanja?

2. Klatno načini 40 oscilacija za 80 s. Koliki je period?

3. Dužinu klatna povećaš četiri puta. Šta se dešava s periodom?

4. Frekvencija oscilovanja iznosi 0,5 Hz. Koliki je period?

7. Primijeni i objasni

Samostalan zadatak: Napravi klatno od niti i malog tega. Prvo ga podesi na dužinu 1 m i izmjeri vrijeme 10 oscilacija, pa izračunaj period i frekvenciju. Zatim skrati nit na 0,25 m i ponovi mjerenje. Objasni šta se promijenilo i zašto.

Provjeri rješenje i obrazloženje

Za nit od 1 m period je T ≈ 2,0 s, pa 10 oscilacija traje oko 20 s, a f ≈ 0,5 Hz. Za nit od 0,25 m period je T ≈ 1,0 s, 10 oscilacija traje oko 10 s, a f ≈ 1,0 Hz. Dužina je četiri puta manja, pa se period smanjio dva puta — skladno s T ≈ 2π·√(l / g). Masa tega ne utiče na period, a ni mala promjena amplitude ga gotovo ne mijenja.

Pokušaj najprije samostalno. Ako zapneš, vrati se na simulaciju, podesi dužinu na 1 m i sačuvaj klatno, pa je promijeni na 0,25 m. Predvidi ishod, uporedi krive na istoj osi u sekundama i izmjeri pet oscilacija za svaki slučaj. Potom promijeni samo masu: šta ostaje isto?

Veza s programom

Ključni sadržaji koje ovdje učiš: oscilatorno kretanje, ravnotežni položaj, amplituda, period i frekvencija, klatno.

Oblast B (mehanika: oscilacije, talasi i zvuk). Oznake ishoda u izvoru: B.9.1. Predmetni kurikulum KS, 9. razred, štampana str. 27. Raspored oblasti na portalu je urednički. Objašnjenja, primjeri i aktivnosti su autorski.