Optičke leće i oko

🎯 Cilj lekcije

Razlikovati sabirnu (konvergentnu) i rasipnu (divergentnu) leću i objasniti gdje im je žiža.
Nacrtati tri karakteristična zraka i pomoću njih odrediti lik.
Primijeniti jednačinu 1/f = 1/a + 1/b i uvećanje m = b/a.
Objasniti kako oko stvara lik i kako naočale ispravljaju kratkovidnost i dalekovidnost.

1. Šta je leća i koji su njeni elementi

Optička leća je prozirno tijelo omeđeno dvjema površinama, od kojih je barem jedna zakrivljena, najčešće dio sfere. Kada svjetlost prođe kroz leću, lomi se na obje površine i zato mijenja pravac. Leća mijenja smjer zraka tako da oko ili zastor mogu dobiti lik predmeta.

Sabirna (konvergentna) leća je u sredini deblja nego na rubovima. Paralelne zrake skuplja u jednu tačku — žižu F. Primjeri: lupa, objektiv fotoaparata, očna leća.
Rasipna (divergentna) leća je u sredini tanja nego na rubovima. Paralelne zrake rasipa, pa izgleda kao da dolaze iz žiže ispred leće. Primjer: naočale za kratkovidne osobe.

Element	Oznaka	Šta je to
Glavna optička osa	—	prava kroz centar leće, okomita na leću
Optički centar	O	tačka u kojoj leća siječe glavnu osu; kroz nju zraka prolazi bez skretanja
Žiža	F, F′	tačka u kojoj se sijeku zrake paralelne s osom (ili njihovi produžeci)
Žižna daljina	f	udaljenost optičkog centra od žiže; mjeri se u metrima (m), a u ovim zadacima koristimo centimetre (cm)

Dogovor o predznaku žižne daljine vrijedi za cijelu lekciju: sabirna leća ima f > 0, a rasipna f < 0. Žižna daljina zavisi od zakrivljenosti površina i od indeksa loma stakla: deblja i zakrivljenija leća ima kraću žižnu daljinu i jače prelama.

💡 Zapamti Leća ima dvije žiže, po jednu sa svake strane. Kod sabirne leće zraka paralelna s osom prođe kroz žižu s druge strane; kod rasipne leće produžetak te zrake prolazi kroz žižu s iste strane s koje je svjetlost došla.

2. Karakteristični zraci i konstrukcija lika

Do lika se dolazi i bez računa. Dovoljna su tri karakteristična zraka, u modelu tanke leće. Kod stvarnog lika zraci se sijeku, a kod virtualnog lika sijeku se njihovi produžeci:

Zrak prije leće	Kako izlazi iz leće
paralelan s glavnom osom	prolazi kroz žižu F′ s druge strane (sabirna), odnosno izgleda kao da dolazi iz žiže F (rasipna)
kroz optički centar O	nastavlja pravo, bez skretanja
kroz žižu F ispred sabirne leće; kod rasipne usmjeren prema žiži F′ iza leće	izlazi paralelno s glavnom osom

Postupak konstrukcije je uvijek isti:

Nacrtaj glavnu osu, leću i označi O, F i F′.
Nacrtaj predmet kao strelicu okomitu na osu, na udaljenosti a od leće.
Iz vrha predmeta povuci dva karakteristična zraka do leće, pa ih prelomi po pravilima iz tablice.
Tačka u kojoj se prelomljeni zraci sijeku je vrh lika.
Ako se sijeku iza leće, lik je stvaran i obrnut. Ako se sijeku samo produžeci ispred leće, lik je virtualan i uspravan.

Stvaran lik se može uhvatiti na zastor (platno, film, mrežnica). Virtualan lik ne možeš uhvatiti na zastor na njegovom položaju: zraci iz predmeta tamo se stvarno ne sastaju. Oko ipak prima rasute zrake i vidi kao da dolaze iz tog položaja. Zato lupa pokazuje lik koji „lebdi“ u zraku, a projektor baca lik na platno.

3. Jednačina preslikavanja i uvećanje

Umjesto crtanja možeš sve izračunati. Veza između žižne daljine f, udaljenosti predmeta a i udaljenosti lika b je jednačina preslikavanja za tanku leću:

1/f = 1/a + 1/b
1/b = 1/f − 1/a ⇒ b = a·fa − f

Uvećanje kaže koliko je lik velik u odnosu na predmet:

m = ba h′ = |m|·h

Ovdje je m = b/a dogovor za račun omjera, a faktor povećanja visine je |m|. Orijentaciju lika određujemo posebno: stvaran lik je obrnut, virtualan uspravan. Ako se koristi predznačena visina, njen omjer je h′/h = −b/a.

Predznaci nose informaciju, ne „negativnu veličinu“:

a je uvijek pozitivno — predmet je ispred leće.
f je pozitivno za sabirnu, negativno za rasipnu leću.
b je pozitivno kada je lik iza leće (stvaran), a negativno kada je ispred leće (virtualan).

Položaj predmeta (sabirna leća)	Lik	Veličina
a > 2f	stvaran, obrnut, iza leće	umanjen
a = 2f	stvaran, obrnut	iste veličine
f < a < 2f	stvaran, obrnut	uvećan
a = f	nema konačnog lika	zraci izlaze paralelno
a < f	virtualan, uspravan, ispred leće	uvećan (lupa)

⚠️ Pazi Kada predmet stoji tačno u žiži (a = f), imenilac a − f je nula i lik nema konačnu udaljenost. Tada ne dijeli s nulom: zraci izlaze paralelno, pa lik nastaje u beskonačnosti. Rasipna leća uvijek daje virtualan, uspravan i umanjen lik, bez obzira na udaljenost predmeta.

4. Oko kao optički sistem i naočale

Oko radi kao fotoaparat. Svjetlost ulazi kroz rožnjaču, prolazi kroz očnu leću (sočivo) i pada na mrežnicu na zadnjoj strani oka. Rožnjača i leća zajedno prelamaju svjetlost, pa na mrežnici nastaje stvaran, obrnut i umanjen lik. Mozak taj obrnut lik tumači kao uspravan — to nije optika, nego obrada slike.

Oko mora izoštriti i blizu i daleko. To postiže akomodacijom: mišići mijenjaju zakrivljenost leće, pa se mijenja njena žižna daljina. Za školske zadatke uzimamo 25 cm kao daljinu jasnog vida za ugodno čitanje. Bliska tačka je najmanja udaljenost s koje oko vidi oštro; zavisi od dobi i kod mladih osoba često je bliža od 25 cm. Daleka tačka normalnog, opuštenog oka je u beskonačnosti.

Poremećaj	Šta se dešava	Koja leća pomaže
Kratkovidnost	lik dalekih predmeta nastaje ispred mrežnice; blizu vidi oštro	rasipna (divergentna), f < 0
Dalekovidnost	lik bliskih predmeta nastaje iza mrežnice; daleko vidi oštro	sabirna (konvergentna), f > 0

Naočale ne liječe oko: one pomjeraju lik na mrežnicu. Isti račun vrijedi za fotoaparat (lik na senzoru), projektor (lik na platnu) i mikroskop (dva lika, jedan iza drugog).

5. Isprobaj: lik kroz leću

Podesi žižnu daljinu i udaljenost predmeta. Tri obojena zraka su karakteristični zraci, a isprekidana linija pokazuje produžetak koji daje virtualni lik. Isprobaj i slučaj kada je predmet tačno u žiži.

Žižna daljina |f|: 12 cm Udaljenost predmeta a: 30 cm

paralelan s osom → kroz žižu kroz centar O → pravo kroz žižu → paralelan s osom

f = 12,0 cm · a = 30,0 cm · b = 20,0 cm · m = 0,67 · h′ = 3,3 cm

Lik je stvaran, obrnut i umanjen.

Udaljenosti su nacrtane u razmjeru, a predmet je visok 5 cm. Leća je nacrtana deblje nego u stvarnosti, jer je riječ o tankoj leći.

Istraži: uhvati oštar lik na zastoru

Na optičkoj klupi je sabirna leća žižne daljine f = 10 cm i predmet visok 5 cm. Najprije predvidi možeš li dobiti lik na zastoru, zatim ga pomjeraj dok ne postane oštar. Tek nakon pokušaja otkrij zrake i provjeri račun.

1. Postavi predmet i predvidi

Predmet ispred leće: 30 cm Zastor iza leće: 30 cm Predviđam

2. Pomjeraj zastor i provjeri oštrinu

↑ Ljubičasto: predmet · │ sivo: zastor · crveno: konstruisani lik. Pune linije su zraci; isprekidane linije su njihovi produžeci.

Predmet i zastor možeš povlačiti ili pomjerati klizačima. Brojevi uz osu označavaju položaj u centimetrima u odnosu na leću (0 cm). Dužine i visina predmeta prikazani su u istom razmjeru; debljina leće i prikaz zamućenja su šematski. Model tanke leće zanemaruje optičke greške.

Predvidi, pomjeri zastor i provjeri oštrinu.

3. Zabilježi i uporedi

Tvoja optička bilježnica (najviše 8 mjerenja)
a	Zastor	Opažanje
Još nema mjerenja. Provjeri zastor, zatim zapiši opažanje.

Istraživački zadaci i pomoć

Isprobaj a = 30 cm, 20 cm i 15 cm. Za svaki položaj pronađi oštar lik i zapiši udaljenost zastora. Zatim isprobaj a = 5 cm i a = 10 cm. Zašto tada pomjeranje zastora ne pomaže? Pomoć: kada je a > f, računaj b = f·a/(a − f). Kod a < f virtualan lik ne možeš uhvatiti na zastoru. Kod a = f izlazni zraci su paralelni: nema konačnog položaja oštrog lika.

6. Korak po korak: od podataka do lika

Zadatak: „Predmet visok 3 cm stoji 24 cm ispred sabirne leće žižne daljine 8 cm. Odredi udaljenost lika, uvećanje i visinu lika, pa opiši lik.“ Radi ovako, korak po korak.

1.Ispiši podatke f = 8 cm, a = 24 cm, h = 3 cm. Sve dužine u istim jedinicama.

2.Odredi predznak f Sabirna leća: f > 0. Rasipna: f < 0. Predmet je ispred leće, pa je a > 0.

3.Izračunaj b 1/b = 1/8 − 1/24 = 3/24 − 1/24 = 2/24 cm⁻¹, pa je b = 12 cm.

4.Protumači predznak b b = +12 cm: lik je stvaran i obrnut, 12 cm iza leće.

5.Uvećanje i visina m = 12/24 = 0,5; h′ = 0,5·3 cm = 1,5 cm. Lik je upola manji.

6.Provjeri smisao a = 24 cm > 2f = 16 cm, pa očekujemo umanjen, obrnut lik između f = 8 cm i 2f = 16 cm. Dobijeni b = 12 cm to potvrđuje.

7. Riješeni primjeri

Dva tipa zadatka: račun sa sabirnom lećom i račun s rasipnom lećom ili s posebnim položajem predmeta. U svakom tipu su tri primjera, od lakšeg ka težem.

Tip 1: sabirna leća

Primjer 1: predmet dalje od 2f

Sabirna leća ima f = 10 cm. Predmet visok 4 cm stoji 30 cm ispred leće. Odredi udaljenost, uvećanje i visinu lika.

f, a, h=10 cm, 30 cm, 4 cm Sabirna leća: f = +10 cm. Predmet je ispred leće, pa je a = +30 cm.

1/b=1/10 − 1/30 = 3/30 − 1/30 Zajednički imenilac za 10 i 30 je 30.

b=30 / 2 = 15 cm b je pozitivno, pa je lik stvaran i nalazi se iza leće, 15 cm od nje.

m, h′=15/30 = 0,5; h′ = 2 cm Uvećanje je manje od 1, pa je lik upola manji od predmeta.

Provjera⇒a = 30 > 2f = 20 Za a > 2f lik je stvaran, obrnut i umanjen. To se slaže s b = 15 cm i m = 0,5.

Primjer 2: predmet između f i 2f

Sabirna leća ima f = 8 cm. Predmet visok 3 cm stoji 12 cm ispred leće. Gdje nastaje lik i koliko je uvećan?

f, a=8 cm, 12 cm Predmet je između f = 8 cm i 2f = 16 cm, pa očekujemo uvećan stvaran lik.

1/b=1/8 − 1/12 = 3/24 − 2/24 = 1/24 Zajednički imenilac za 8 i 12 je 24.

b=24 cm Lik je 24 cm iza leće, dakle stvaran i obrnut.

m, h′=24/12 = 2; h′ = 6 cm Lik je dvaput veći od predmeta. Takav lik daje i projektor.

Provjera⇒8 < 12 < 16 Za f < a < 2f lik je stvaran, obrnut i uvećan, kao u tablici. Rezultat je moguć.

Primjer 3: predmet bliži od žiže (lupa)

Sabirna leća ima f = 12 cm. Predmet visok 2 cm stoji samo 5 cm ispred leće. Odredi udaljenost i uvećanje lika.

f, a=12 cm, 5 cm Predmet je bliži od žiže, pa očekujemo virtualan, uspravan i uvećan lik.

1/b=1/12 − 1/5 = 5/60 − 12/60 = −7/60 Razlika je negativna jer je 1/5 veće od 1/12.

b≈−8,6 cm Negativan b znači da je lik ispred leće: virtualan je i ne može se uhvatiti na zastor.

m, h′≈−1,7; h′ ≈ 3,4 cm Veličina lika je |m| ≈ 1,7, pa je lik oko 1,7 puta veći od predmeta i uspravan.

Provjera⇒a = 5 < f = 12 Tako radi lupa: predmet je unutar žižne daljine, a lik je uvećan i uspravan.

Tip 2: rasipna leća i posebni položaji

Primjer 1: rasipna leća naočala

Rasipna leća ima žižnu daljinu −15 cm. Predmet stoji 30 cm ispred leće. Odredi udaljenost i uvećanje lika.

f, a=−15 cm, 30 cm Rasipna leća: f je negativno. Predmet je ispred, pa je a pozitivno.

1/b=−1/15 − 1/30 = −2/30 − 1/30 Svedeno na imenilac 30: −3/30.

b=−10 cm Lik je 10 cm ispred leće, na istoj strani kao predmet, dakle virtualan.

|m|=10/30 ≈ 0,33 Lik je tri puta manji od predmeta i uspravan.

Provjera⇒b < 0, |m| < 1 Rasipna leća uvijek daje virtualan, uspravan i umanjen lik — rezultat se slaže.

Primjer 2: predmet tačno u žiži

Sabirna leća ima f = 15 cm. Predmet stoji tačno 15 cm ispred leće. Gdje nastaje lik?

f, a=15 cm, 15 cm Predmet je tačno u žiži, pa je ovo poseban slučaj.

1/b=1/15 − 1/15 = 0 Razlika recipročnih vrijednosti je nula.

b⇒nema konačne vrijednosti Ne dijeli s nulom: jednačina nema rješenje za b u konačnom.

Zraci⇒paralelni Svi zraci iz vrha predmeta izlaze iz leće paralelno, pa se sijeku tek u beskonačnosti.

Provjera⇒a − f = 0 Imenilac u b = a·f/(a − f) je nula, pa je rezultat nedefinisan. Tako radi reflektor: izvor u žiži daje paralelan snop.

Primjer 3: obrnut zadatak s lupom

Lupa žižne daljine 5 cm daje virtualan lik na 15 cm od leće, na istoj strani gdje je predmet. Na kojoj udaljenosti stoji predmet?

f, b=5 cm, −15 cm Lik je virtualan, pa b ima negativan predznak.

1/a=1/f − 1/b = 1/5 − 1/(−15) Iz 1/f = 1/a + 1/b izrazi 1/a. Oduzimanje negativnog broja daje sabiranje.

1/a=3/15 + 1/15 = 4/15 Zajednički imenilac je 15.

a=15/4 = 3,75 cm Predmet stoji 3,75 cm ispred leće, dakle bliže od žiže od 5 cm.

Provjera⇒m = −15/3,75 = −4 Uvećanje je −4, pa je lik četiri puta veći i uspravan. Predmet unutar žiže — sve se slaže s lupom.

⚠️ Česte greške

Zaboravljen predznak kod rasipne leće. f je negativno, pa je i član 1/f negativan; za f = −10 cm pišemo 1/f = −1/10 cm⁻¹. Bez toga lik ispadne stvaran, a rasipna leća to nikad ne daje.
Sabiranje umjesto oduzimanja. Iz 1/f = 1/a + 1/b slijedi 1/b = 1/f − 1/a. Ko sabere recipročne vrijednosti, dobije pogrešan b.
„Negativan b znači da lik ne postoji.“ Postoji, ali je virtualan i nalazi se ispred leće. Veličina lika se računa s |m|.
Dijeljenje s nulom pri a = f. Tada zraci izlaze paralelno i lik nema konačnu udaljenost; jednačina nema rješenje za b.
Miješanje leće i ogledala. Ogledalo radi na odbijanju, leća na prelamanju. Formula izgleda isto, ali se lik kod leće gleda s druge strane leće.

✅ Kviz — provjeri sebe (4 pitanja)

1. Koja leća se koristi u naočalama za kratkovidnu osobu?

2. Sabirna leća ima f = 10 cm, a predmet je 30 cm ispred nje. Koliko je lik udaljen od leće?

3. Predmet stoji bliže sabirnoj leći od njene žižne daljine (a < f). Kakav je lik?

4. Predmet je tačno u žiži sabirne leće. Šta se dešava sa likom?

8. Primijeni i objasni

Samostalan zadatak: Sabirna leća ima žižnu daljinu 6 cm. Predmet visok 2 cm stoji 9 cm ispred leće. Odredi udaljenost lika, uvećanje i visinu lika, opiši lik i objasni gdje treba postaviti zastor da se lik vidi oštro.

Provjeri rješenje i obrazloženje

1/b = 1/f − 1/a = 1/6 − 1/9 = 3/18 − 2/18 = 1/18, pa je b = 18 cm. Uvećanje je m = b/a = 18/9 = 2, a visina lika h′ = 2·2 = 4 cm. Lik je stvaran (b > 0), obrnut i dvaput uvećan, jer je a = 9 cm između f = 6 cm i 2f = 12 cm. Zastor treba postaviti 18 cm iza leće, okomito na glavnu osu: tu se prelomljeni zraci stvarno sijeku, pa je lik na zastoru oštar i obrnut. Virtualan lik se na zastoru ne bi mogao uhvatiti.

Pokušaj najprije samostalno. Ako zapneš, vrati se na simulaciju, postavi f = 6 cm i a = 9 cm, pa uporedi položaj lika s izračunatim brojem.

Veza s programom

Ključni sadržaji koje ovdje učiš: optičke leće, karakteristični elementi i zraci, jednačina preslikavanja, uvećanje lika i primjena kod oka i naočala.

Oblast E — Optika i moderna fizika, svjetlost. Oznake ishoda u izvoru: E.9.1, E.9.2. Predmetni kurikulum KS, 9. razred, štampana str. 29. Raspored oblasti na portalu je urednički. Objašnjenja, primjeri i aktivnosti su autorski.