Sferna ogledala i jednačina preslikavanja

🎯 Cilj lekcije

Prepoznati udubljeno i ispupčeno sferno ogledalo i njihove elemente: tjeme, centar zakrivljenosti, žižu.
Nacrtati tri karakteristična zraka i pomoću njih konstruisati lik.
Primijeniti jednačinu preslikavanja 1/f = 1/a + 1/b i uvećanje m = b/a.
Procijeniti je li lik stvaran ili virtualan, uspravan ili obrnut, uvećan ili umanjen.

1. Elementi sfernog ogledala

Ravno ogledalo vraća zrake tako da lik izgleda kao da je iza stakla. Ako je površina dijela sfere, zrake se ne odbijaju sve paralelno, nego se skupljaju ili rasipaju. Takvo ogledalo zovemo sferno ogledalo.

Udubljeno (konkavno) ogledalo — odbija se unutrašnja, udubljena strana. Zrake paralelne s osom skuplja u jednu tačku. Primjer: unutrašnjost kašike, reflektor, ogledalo za brijanje.
Ispupčeno (konveksno) ogledalo — odbija se vanjska, ispupčena strana. Zrake paralelne s osom rasipa, pa izgleda kao da dolaze iz tačke iza ogledala. Primjer: vanjska strana kašike, retrovizor.

Svako sferno ogledalo ima iste elemente. Zapiši ih imenima, jer ćeš ih koristiti u svakom zadatku:

Element	Šta je to
Tjeme (pol) — O	tačka u kojoj ogledalo siječe glavnu optičku osu
Centar — C	centar zakrivljenosti: centar sfere iz koje je ogledalo izrezano
Poluprečnik — R	poluprečnik zakrivljenosti: udaljenost tjemena od centra C
Žiža — F	tačka na osi u kojoj se sijeku zraci paralelni s osom nakon odbijanja
Žižna daljina — f	udaljenost tjemena od žiže

f = R2

U približenju zraka blizu glavne ose žiža je na pola puta od tjemena do centra zakrivljenosti. Kod udubljenog ogledala žiža je ispred ogledala, a kod ispupčenog je iza ogledala. Zato je u računu žižna daljina udubljenog ogledala pozitivna, a ispupčenog negativna.

💡 Zapamti Kod ispupčenog ogledala zraci se nikad ne sijeku ispred ogledala. Njihovi produžeci se sijeku iza ogledala, pa je lik uvijek virtualan.

2. Karakteristični zraci i konstrukcija lika

Lik ne moraš tražiti računom. Dovoljna su tri karakteristična zraka — zraka koja se odbija po jednostavnom pravilu. Pravila važe za oba ogledala, samo što kod ispupčenog ogledala žižu i centar tražimo iza ogledala.

Zrak prije odbijanja	Kako se odbija
paralelan s glavnom osom	prolazi kroz žižu F (udubljeno), odnosno izgleda kao da dolazi iz F (ispupčeno)
kroz žižu F	nastavlja paralelno s glavnom osom
kroz centar C	vraća se po istom pravcu, jer pada okomito na površinu
u tjeme O	odbija se simetrično u odnosu na glavnu osu

Za konstrukciju su dovoljna bilo koja dva zraka, jer se svi odbijeni zraci sijeku u istoj tački — vrhu lika. Treći zrak služi kao provjera.

Postupak je uvijek isti:

Nacrtaj glavnu osu, ogledalo i označi O, F i C.
Nacrtaj predmet kao strelicu okomitu na osu.
Iz vrha predmeta povuci dva karakteristična zraka do ogledala, pa ih odbij.
Tačka u kojoj se odbijeni zraci sijeku je vrh lika.
Ako se sijeku ispred ogledala, lik je stvaran i obrnut. Ako se sijeku samo produžeci iza ogledala, lik je virtualan i uspravan.

Stvaran lik se može uhvatiti na zastor, jer se svjetlost u toj tački stvarno skuplja. Virtualan lik ne može: u toj tački nema svjetlosti, samo njen privid.

3. Jednačina preslikavanja i uvećanje

Umjesto crtanja možeš sve izračunati. Veza između žižne daljine f, udaljenosti predmeta a i udaljenosti lika b je jednačina preslikavanja:

1/f = 1/a + 1/b
1/b = 1/f − 1/a

Dogovor o predznacima je jednostavan i vrijedi za cijelu lekciju:

a je uvijek pozitivno — predmet je ispred ogledala.
f je pozitivno kod udubljenog, a negativno kod ispupčenog ogledala.
b je pozitivno kada je lik ispred ogledala (stvaran), a negativno kada je iza ogledala (virtualan).

Uvećanje kaže koliko je lik velik u odnosu na predmet:

m = ba |m| = h′h

Visina lika je h′ = |m| · h. Predznak od b nosi i informaciju o orijentaciji: stvaran lik je obrnut, virtualan je uspravan. Zato veličinu lika računamo s |m|, a predznak koristimo za tumačenje gdje je lik.

Položaj predmeta (udubljeno ogledalo)	Lik	Veličina
a > 2f	stvaran, obrnut	umanjen
a = 2f	stvaran, obrnut	iste veličine
f < a < 2f	stvaran, obrnut	uvećan
a = f	nema konačnog lika	zraci su paralelni
a < f	virtualan, uspravan	uvećan

⚠️ Pazi Kada je predmet tačno u žiži, 1/f − 1/a = 0, pa b nema konačnu vrijednost. Tada ne dijeli s nulom: zraci su paralelni i lik nastaje u beskonačnosti.

4. Gdje se sferna ogledala koriste

Izbor ogledala zavisi od toga kakav lik želimo:

Uređaj	Ogledalo	Zašto baš to
Reflektor automobila (far)	udubljeno	sijalica je u žiži, pa zraci izlaze paralelno i put je osvijetljen daleko
Retrovizor	ispupčeno	daje široko vidno polje; lik je umanjen, pa stane više puta iza vozila
Ogledalo za brijanje ili šminkanje	udubljeno	lice je bliže od žiže, pa je lik uspravan i uvećan
Ogledalo kod zubara	udubljeno	malo uvećanje detalja bez okretanja lika
Solarni kuhalo	udubljeno	skuplja paralelne zrake Sunca u žižu i grije posudu

Na retrovizoru piše i upozorenje da su objekti bliži nego što izgledaju. To nije greška, nego posljedica umanjenog virtualnog lika: mozak veličinu lika tumači kao udaljenost.

5. Isprobaj: konstrukcija lika

Podesi žižnu daljinu i udaljenost predmeta, pa gledaj kako se mijenja lik. Tri obojena zraka su karakteristični zraci, a isprekidana linija je produžetak koji pokazuje gdje je virtualni lik.

Žižna daljina f: 12 cm Udaljenost predmeta a: 30 cm

zrak paralelan s osom → kroz F zrak kroz F → paralelan s osom zrak kroz tjeme → simetrično

f = 12,0 cm · a = 30,0 cm · b = 20,0 cm · m = 0,67 · h′ = 3,3 cm

Lik je stvaran, obrnut i umanjen.

Udaljenosti su nacrtane u razmjeru. Samo ogledalo je prikazano kao luk kružnice, a zraci su povučeni u približenju tijesnog snopa uz osu, kao u udžbeniku. Predmet je visok 5 cm.

6. Korak po korak: od podataka do lika

Zadatak: „Predmet visok 4 cm stoji 30 cm ispred udubljenog ogledala žižne daljine 10 cm. Odredi udaljenost i visinu lika te opiši lik.“ Radi ovako, korak po korak.

1.Ispiši podatke Zapiši f, a i visinu predmeta h. Sve u iste jedinice, najčešće centimetre.

2.Odredi predznak f Udubljeno ogledalo: f > 0. Ispupčeno: f < 0. Predmet je uvijek ispred, pa je a > 0.

3.Izračunaj b Iz 1/f = 1/a + 1/b slijedi 1/b = 1/f − 1/a. Prvo svedi na zajednički imenilac.

4.Protumači predznak b > 0: lik je stvaran i obrnut. b < 0: lik je virtualan i uspravan.

5.Uvećanje i visina m = b/a, veličina lika h′ = |m|·h. Uvećan je ako je |m| > 1.

6.Provjeri crtežom Uporedi s tabelom položaja ili s konstrukcijom zraka. Ako se ne slaže, provjeri predznake.

7. Riješeni primjeri

Dva tipa zadatka: račun za udubljeno ogledalo i račun s ispupčenim ogledalom ili tumačenje predznaka. U svakom tipu su tri primjera, od lakšeg ka težem.

Tip 1: udubljeno ogledalo — udaljenost i uvećanje lika

Primjer 1: lik između žiže i centra

Udubljeno ogledalo ima žižnu daljinu 10 cm. Predmet visok 4 cm stoji 30 cm ispred ogledala. Odredi udaljenost lika, uvećanje i visinu lika.

f, a, h=10 cm, 30 cm, 4 cm Udubljeno ogledalo: f = +10 cm. Predmet je ispred, pa je a = +30 cm.

1/b=1/f − 1/a = 1/10 − 1/30 Zajednički imenilac je 30: 3/30 − 1/30 = 2/30.

b=30 / 2 = 15 cm b je pozitivno, pa je lik stvaran i nalazi se 15 cm ispred ogledala.

m, h′=15/30 = 0,5; h′ = 2 cm Uvećanje je manje od 1, pa je lik upola manji od predmeta.

Provjera⇒a = 30 > 2f = 20 Za a > 2f lik je stvaran, obrnut i umanjen — to se slaže s b = 15 cm i m = 0,5.

Primjer 2: lik je uvećan i stvaran

Udubljeno ogledalo ima žižnu daljinu 8 cm. Predmet stoji 12 cm ispred ogledala. Gdje nastaje lik i koliko je uvećan?

f, a=8 cm, 12 cm Predmet je između f = 8 cm i 2f = 16 cm, pa očekujemo uvećan lik.

1/b=1/8 − 1/12 = 3/24 − 2/24 = 1/24 Zajednički imenilac za 8 i 12 je 24.

b=24 cm Lik je 24 cm ispred ogledala, dakle s one strane s koje dolazi svjetlost — stvaran je.

m=24/12 = 2 Lik je dvaput veći od predmeta i obrnut, jer je b pozitivno.

Provjera⇒8 < 12 < 16 Za f < a < 2f lik je stvaran, obrnut i uvećan, kao u tabeli. Rezultat je moguć.

Primjer 3: predmet bliži od žiže

Udubljeno ogledalo ima žižnu daljinu 12 cm. Predmet stoji samo 5 cm ispred ogledala. Odredi udaljenost i uvećanje lika.

f, a=12 cm, 5 cm Predmet je bliži od žiže, pa očekujemo virtualan, uspravan i uvećan lik.

1/b=1/12 − 1/5 = 5/60 − 12/60 = −7/60 Zajednički imenilac je 60; razlika je negativna jer je 1/5 veće od 1/12.

b≈−8,6 cm Negativan b znači da je lik iza ogledala: virtualan je i ne može se uhvatiti na zastor.

m≈−8,6 / 5 ≈ −1,7 Veličina lika je |m| ≈ 1,7, pa je lik oko 1,7 puta veći od predmeta i uspravan.

Provjera⇒a = 5 < f = 12 Upravo tako radi ogledalo za brijanje: lice je bliže od žiže, a lik je uvećan i uspravan.

Tip 2: ispupčeno ogledalo i tumačenje predznaka

Primjer 1: ispupčeno ogledalo

Ispupčeno ogledalo ima poluprečnik zakrivljenosti 30 cm. Predmet stoji 30 cm ispred njega. Odredi žižnu daljinu, udaljenost lika i uvećanje.

f=−R/2 = −15 cm Žiža je na pola puta do centra, a kod ispupčenog ogledala je iza ogledala, pa je f negativno.

1/b=1/(−15) − 1/30 = −2/30 − 1/30 Svedeno na imenilac 30: −2/30 − 1/30 = −3/30.

b=−10 cm Lik je 10 cm iza ogledala, dakle virtualan.

|m|=10/30 ≈ 0,33 Lik je tri puta manji od predmeta i uspravan.

Provjera⇒b < 0, |m| < 1 Ispupčeno ogledalo uvijek daje virtualan, uspravan i umanjen lik — dobijeni rezultat se slaže.

Primjer 2: protumači negativan b

U zadatku s udubljenim ogledalom (f = 8 cm, a = 6 cm) dobijeno je b = −24 cm. Protumači predznak i veličinu, pa objasni gdje se takvo ogledalo koristi.

1/b=1/8 − 1/6 = 3/24 − 4/24 = −1/24 Provjera računa: predmet je bliži od žiže, pa razlika mora biti negativna.

b=−24 cm — lik je iza ogledala Negativan predznak govori gdje je lik, a ne da je lik nekakve negativne veličine.

m=−24/6 = −4 Veličina lika je |m| = 4: lik je četiri puta veći od predmeta.

Lik=virtualan, uspravan, uvećan Zato se ne može uhvatiti na zastor, ali se vidi u ogledalu.

Provjera⇒a = 6 < f = 8 Slaže se s tabelom za a < f i s primjenom kod ogledala za brijanje i šminkanje.

Primjer 3: retrovizor na automobilu

Ispupčeno retrovizor-ogledalo ima žižnu daljinu −25 cm. Automobil iza nas je 200 cm od ogledala. Koliko je udaljen njegov lik i koliko je umanjen?

f, a=−25 cm, 200 cm Ispupčeno ogledalo: f je negativno. Predmet je ispred, pa je a pozitivno.

1/b=−1/25 − 1/200 = −8/200 − 1/200 Zajednički imenilac je 200: −8/200 − 1/200 = −9/200.

b≈−22,2 cm Lik je oko 22 cm iza ogledala, dakle virtualan i uspravan.

|m|≈22,2 / 200 ≈ 0,11 Lik je oko devet puta manji od automobila, pa u malo ogledalo stane širok dio puta iza nas.

Provjera⇒|b| < |f| < a Lik je uvijek između ogledala i žiže, umanjen — zato je slika daleka i sitna, i zato piše da su objekti bliži nego što izgledaju.

⚠️ Česte greške

Zamjena žiže i centra. Žiža je na pola puta do centra: f = R/2. Ako u zadatku piše poluprečnik, prvo podijeli s 2.
Zaboravljen predznak žiže kod ispupčenog ogledala. f je negativno, pa je i 1/f negativno. Za f = −15 cm pišemo 1/f = −1/15 cm⁻¹. Bez toga lik ispadne stvaran, a to je nemoguće.
„Negativan b znači da lik nije stvaran.“ Negativan b znači da je lik iza ogledala, dakle virtualan. Veličina lika se računa s |m| i uvijek je pozitivna.
Dijeljenje s nulom pri a = f. Tada 1/f − 1/a = 0, pa lik nema konačnu udaljenost. Zraci su paralelni i lik je u beskonačnosti.
„Ispupčeno ogledalo daje uvećan lik.“ Nikad: lik je uvijek virtualan, uspravan i umanjen. Uvećan uspravan lik daje udubljeno ogledalo kada je predmet bliži od žiže.

✅ Kviz — provjeri sebe (4 pitanja)

1. Poluprečnik zakrivljenosti udubljenog ogledala je 30 cm. Kolika je žižna daljina?

2. Zrak paralelan s glavnom optičkom osom pada na udubljeno ogledalo. Kroz koju tačku prolazi nakon odbijanja?

3. Udubljeno ogledalo ima f = 10 cm, a predmet je 40 cm ispred njega. Koliko je lik udaljen od ogledala?

4. Kakav lik daje ispupčeno ogledalo?

8. Primijeni i objasni

Samostalan zadatak: Predmet visok 3 cm stoji 18 cm ispred udubljenog ogledala žižne daljine 6 cm. Odredi udaljenost lika, uvećanje i visinu lika, opiši lik i objasni gdje bi trebalo postaviti zastor da se lik na njemu uhvati.

Provjeri rješenje i obrazloženje

1/b = 1/f − 1/a = 1/6 − 1/18 = 3/18 − 1/18 = 2/18, pa je b = 9 cm. Uvećanje je m = b/a = 9/18 = 0,5, a visina lika h′ = 0,5·3 = 1,5 cm. Lik je stvaran (b > 0), obrnut i umanjen, jer je a = 18 cm veće od 2f = 12 cm. Zastor treba postaviti 9 cm ispred ogledala, okomito na glavnu osu: tu se odbijeni zraci stvarno sijeku, pa se lik na zastoru vidi oštro i obrnut.

Pokušaj najprije samostalno. Ako zapneš, vrati se na simulaciju, postavi f = 6 cm i a = 18 cm, pa uporedi položaj lika s izračunatim brojem.

Veza s programom

Ključni sadržaji koje ovdje učiš: sferno ogledalo, karakteristični elementi i zraci, jednačina preslikavanja i uvećanje lika.

Oblast E — Optika i moderna fizika, svjetlost. Oznake ishoda u izvoru: E.9.1, E.9.2. Predmetni kurikulum KS, 9. razred, štampana str. 29. Raspored oblasti na portalu je urednički. Objašnjenja, primjeri i aktivnosti su autorski.