Ravnoteža sila

🎯 Cilj lekcije

Objasniti šta znači da je rezultanta sila na tijelo jednaka nuli.
Napisati uslove ravnoteže za dvije sile i za tri sile koje se sijeku u jednoj tački.
Objasniti ravnotežu lampe o dva užeta i knjige na stolu.
Povezati ravnotežu sila s najavom prvog Newtonovog zakona.

1. Kada je rezultanta nula

U prethodnoj lekciji vidio si da se dvije sile mogu poništiti. Knjiga miruje na stolu, lampa visi o užetu, sanduk stoji na podlozi. U svim tim primjerima na tijelo djeluje više sila, ali se one međusobno poništavaju. Kažemo da je tijelo u ravnoteži, a rezultanta svih sila je nula.

Fᵣ = 0 N ⇒ tijelo miruje ili se kreće ravnomjerno pravolinijski

Za dvije sile ravnoteža zahtijeva tri stvari:

isti iznos — F₁ = F₂,
suprotan smjer — djeluju na suprotne strane,
ista linija djelovanja na istom tijelu — hvatišta mogu biti različita. Dvije jednake i suprotne sile na paralelnim, razmaknutim linijama mogu obrtati tijelo.

💡 Najava prvog Newtonovog zakona Tijelo na koje ne djeluje nikakva sila ili na koje djeluje rezultanta nula ostaje u stanju mirovanja ili nastavlja da se kreće ravnomjerno pravolinijski. To je prvi Newtonov zakon, koji ćeš detaljno učiti u 8. razredu. Ovdje je dovoljno da prepoznaš ravnotežu.

Ravnoteža ne znači da na tijelo ne djeluje nikakva sila. Lampa visi o užetu: na nju djeluje sila teže prema dolje i napetost užeta prema gore. Sile postoje, ali su njihovi iznosi jednaki i smjerovi suprotni.

2. Ravnoteža tri sile

Za tri sile čije se linije djelovanja sijeku u jednoj tački ravnoteža nastaje kada je njihov vektorski zbir nula. Grafički se to lijepo vidi na trouglu sila: ako tri sile nacrtaš u razmjeri jednu za drugom (glava prve do repa druge), one zatvaraju zatvoren trougao upravo kada je rezultanta nula.

Praktično pravilo: saberi dvije sile po pravilu paralelograma i dobij rezultantu; ravnoteža nastaje kada treća sila ima isti iznos, a suprotan smjer od te rezultante.

F₁ + F₂ + F₃ = 0 ⇒ F₃ = −(F₁ + F₂) (vektorski zbir)

Za tri sile koje se sijeku u jednoj tački dovoljno je provjeriti: poništavaju li se vodoravni dijelovi i nose li uspravni dijelovi cijeli teret? Za dodatno čitanje, simbolički zapis glasi: ravnoteža je kada je rezultanta svih horizontalnih dijelova nula, ali i rezultanta svih vertikalnih dijelova nula.

ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0

3. Lampa, knjiga i uže

Knjiga na stolu. Na knjigu djeluju sila teže prema dolje i sila stola prema gore. Kada su jednake i knjiga je prethodno mirovala, ona nastavlja mirovati. (Djelovanje knjige na sto i knjige na Zemlju su sile na druga tijela i zato se ne sabiraju s ovima.)

Lampa o jednom vertikalnom užetu. Sila teže lampe iznosi Fg = m·g. Uže vuče tačku vješanja lampe prema gore napetošću T. U ravnoteži je T = Fg. Za lampu mase 2 kg: Fg = 2 kg · 9,81 N/kg = 19,62 N ≈ 19,6 N, pa je i T ≈ 19,6 N.

Lampa o dva užeta. Svako uže vuče svojim smjerom. Njihove horizontalne komponente se poništavaju (uže lijevo vuče ulijevo, uže desno udesno), a vertikalne komponente zajedno nose silu teže lampe. Zato su napetosti veće kada su užeta više „raširena“: što je veći ugao između užeta, to je napetost veća.

Položaj užeta	Napetost svakog užetalampa mase 2 kg, simetrično vješanje
dva vertikalna užeta	T = 9,81 N
ugao 90° među užetima	T ≈ 13,9 N
ugao 120° među užetima	T ≈ 19,6 N
dva gotovo horizontalna užeta	T mnogo veće od 19,6 N

⚠️ Zašto se uže kida Kada vješač objesiš na skoro horizontalno uže, napetost može biti nekoliko puta veća od sile teže tereta. Zato se konopci ne vežu vodoravno — najsigurnije je kada uže visi vertikalno.

4. Isprobaj: lampa o dva užeta

Lampa mase 2 kg visi o dva užeta. Mijenjaj napetosti užeta i ugao. Crtež prikazuje sile u jednom trenutku; položaj lampe ostaje isti da ugao užeta odgovara računu. Ljubičasta strelica pokazuje rezultantu. Dugme Podesi ravnotežu približno podesi napetosti na jednu decimalu. Odstupanje manje od 0,1 N označeno je kao približna ravnoteža.

Napetost lijevog užeta: 12,0 N Napetost desnog užeta: 10,0 N Ugao užeta od vertikale: 30°

napetost T₁ napetost T₂ sila teže Fg rezultanta Fᵣ

Nije uravnoteženo: rezultanta iznosi približno 1,2 N. Podesi napetosti tako da se horizontalni dijelovi ponište i da vertikalni dijelovi nose silu teže od 19,62 N.

Ravnoteža ne znači obavezno mirovanje

Dva tijela na horizontalnoj podlozi bez trenja počinju na x = 0 m. Na svako tijelo djeluju sile 3 N ulijevo i 3 N udesno, duž istog pravca kroz njegovo središte. Tijelo A počinje iz mirovanja, a B se već kreće udesno. Sila teže i sila podloge međusobno se poništavaju. Ispitujemo samo translaciju, bez rotacije.

Početna brzina B: Predviđeni x za A nakon 3 s (m): Predviđeni x za B nakon 3 s (m):

Predvidi oba položaja, pa otkrivaj tragove u jednakim vremenskim razmacima.

Položaji su u istom razmjeru: 1 m ↔ 40 jedinica crteža. Blijedi kružići označavaju položaje svake sekunde. Jednaki položaji tijela A se preklapaju. Strelice sila: 1 N ↔ 12 jedinica crteža; veličina tijela je šematska.

Vrijeme	Položaj A	Položaj B

5. Korak po korak: ravnoteža lampe o dva užeta

Zadatak: „Lampa mase 2 kg visi o dva užeta koja su simetrično postavljena pod uglom 30° prema vertikali. Kolika je napetost svakog užeta?“

m=2 kg Masa lampe je podatak iz zadatka.

Fg=m · g = 2 · 9,81 = 19,62 N Sila teže djeluje vertikalno prema dolje, na lampu.

smjerovi=T₁ i T₂ pod 30° prema vertikali Simetrija znači da su napetosti jednakih iznosa: T₁ = T₂ = T.

horizontalno=lijevi dio + desni dio = 0 N Horizontalni dijelovi su jednaki i suprotni, pa se poništavaju sami od sebe.

vertikalno=nacrtaj rezultantu napetosti prema gore U razmjeri 1 cm ↔ 5 N nacrtaj prema gore 19,62 : 5 ≈ 3,92 cm. Kroz vrh povuci paralele s pravcima užeta i dopuni paralelogram.

T=izmjerena stranica ≈ 2,27 cm → T ≈ 11,3 N Stranicu izmjeri lenjirom i pomnoži s 5 N/cm. Dopušteno je malo odstupanje crteža. Svaka napetost je veća od 9,81 N, koliko bi nosilo vertikalno uže.

provjera⇒dijagonala ≈ 3,92 cm → ≈ 19,6 N Dijagonala napetosti ima približno isti iznos kao sila teže, a suprotan smjer. Za osnovno rješenje ne trebaju sinus ni kosinus.

6. Riješeni primjeri

Dva tipa zadatka: ravnoteža sila duž jednog pravca i ravnoteža lampe o užad. U svakom tipu su tri primjera, od lakšeg ka težem.

Tip 1: ravnoteža duž jednog pravca

Primjer 1: nepoznata sila

Na tijelo djeluje sila 15 N udesno. Kolika sila treba da djeluje da bi tijelo bilo u ravnoteži?

F₁=15 N udesno Prva sila djeluje na tijelo i vuče ga udesno.

uslov=Fᵣ = 0 N Ravnoteža znači da se sile moraju poništiti.

F₂=15 N, ulijevo Iznos je isti, smjer suprotan, a pravac i tijelo isti.

provjera⇒15 − 15 = 0 N Rezultanta je nula, pa tijelo miruje ili se kreće ravnomjerno.

Primjer 2: tri sile u jednom pravcu

Na tijelo djeluju 50 N udesno i 20 N ulijevo. Kolika treća sila dovodi tijelo u ravnotežu?

rezultanta=50 − 20 = 30 N udesno Prvo saberimo postojeće sile: suprotni smjerovi se oduzimaju.

uslov=F₃ = −30 N Treća sila mora poništiti rezultantu, pa djeluje u suprotnom smjeru.

F₃=30 N ulijevo Iznos je 30 N, dakle jednak iznosu rezultante prvih dviju sila.

provjera⇒50 − 20 − 30 = 0 N Sve tri sile zajedno daju nulu, pa je tijelo u ravnoteži.

Primjer 3: lampa o jednom užetu

Lampa mase 2 kg visi o jednom vertikalnom užetu. Kolika je napetost užeta?

m=2 kg Masa lampe, pretvaranje nije potrebno jer je već u kilogramima.

Fg=m · g = 2 · 9,81 = 19,62 N Sila teže vuče lampu prema dolje.

T=Fg = 19,62 N Uže mora vući prema gore isto toliko, jer lampa miruje.

provjera⇒T ≈ 19,6 N, red veličine dobar Napetost je oko 20 N, kao težina dvije litre vode — smisleno za lampu.

Tip 2: lampa o dva užeta

Primjer 1: dva vertikalna užeta

Lampa mase 2 kg visi o dva simetrično postavljena vertikalna užeta. Kolika je napetost svakog užeta?

Fg=2 · 9,81 = 19,62 N Ukupna sila teže koju užad moraju nositi.

simetrija=T₁ = T₂ = T Užeta su vertikalna i simetrična, pa svako nosi isti dio tereta.

uslov=2 · T = Fg Zbir vertikalnih napetosti mora biti jednak sili teže.

T=19,622 = 9,81 N Svako uže nosi tačno polovinu sile teže.

Primjer 2: ugao 120° među užetima

Ista lampa visi o dva užeta koja međusobno zaklapaju ugao 120°, simetrično. Kolika je napetost svakog užeta?

Fg=19,62 N Sila teže se ne mijenja; mijenja se samo položaj užeta.

trougao sila=sve tri sile pod uglom 120° Kada su tri sile u ravnoteži i uglovi među njima su po 120°, sve tri imaju isti iznos.

T=Fg = 19,62 N Trougao sila je jednakostraničan, pa je napetost jednaka sili teže.

provjera⇒T > 9,81 N Napetost je dvostruko veća nego kod dva vertikalna užeta — raširena užad jače se zatežu.

Primjer 3: ugao 90° među užetima

Lampa mase 2 kg visi o dva užeta pod uglom 90°, simetrično. Kolika je napetost svakog užeta?

Fg=19,62 N Isti teret kao i u prethodnim primjerima.

trougao sila=pravougli, katete T i T Napetosti su uzajamno okomite, a njihova rezultanta mora poništiti silu teže.

T² + T²=Fg² Hipotenuza trougla sila je sila teže; ako još ne znaš Pitagorin teorem, očitaj rješenje iz crteža u razmjeri.

T=19,621,414 ≈ 13,9 N Napetost je između 9,81 N (vertikalna užad) i 19,62 N (ugao 120°).

provjera⇒13,9² + 13,9² ≈ 19,62² 193 + 193 ≈ 386, a 19,62² ≈ 385 — rezultat je tačan.

⚠️ Česte greške

„Ravnoteža znači da nema sila.“ Sile postoje, ali se poništavaju. Lampa o užetu trpi i silu teže i napetost.
Sabiranje napetosti kao da djeluju u istom smjeru. Dvije napetosti od po 10 N ne nose 20 N tereta ako su užad koso — nosi samo njihov vertikalni dio.
Zaboravljen uslov o pravcu. Dvije sile od 20 N na suprotnim stranama, ali na različitim paralelnim pravcima, ne drže tijelo mirno — ono se obrće. O tome govori lekcija o momentu sile.
Miješanje sile teže i napetosti. Sila teže djeluje na lampu, a napetost na tačku vješanja lampe, pa ih crtamo na istom tijelu; ali sila kojom lampa vuče uže djeluje na uže i ne ulazi u ravnotežu lampe.

✅ Kviz — provjeri sebe (4 pitanja)

1. Na tijelo djeluju dvije sile istog iznosa, u suprotnim smjerovima, duž istog pravca. Šta vrijedi?

2. Lampa visi o jednom vertikalnom užetu. Kolika je napetost užeta?

3. Lampa visi o dva simetrična užeta. Kada se ugao između užeta poveća (užad se više rašire), napetost svakog užeta:

4. Lampa mase 2 kg visi o dva simetrično postavljena vertikalna užeta. Kolika je napetost svakog užeta?

7. Primijeni i objasni

Samostalan zadatak: Lampa mase 3 kg visi o dva simetrična užeta pod uglom 60° prema vertikali. Prvo izračunaj silu teže, a zatim objasni zašto je napetost svakog užeta veća od 14,7 N. Nije potreban tačan iznos — dovoljno je obrazloženje preko vertikalnih dijelova.

Provjeri rješenje i obrazloženje

Sila teže: Fg = m·g = 3 kg · 9,81 N/kg = 29,43 N ≈ 29,4 N. Kada bi užad bila vertikalna, svako bi nosilo polovinu, dakle 14,7 N. Kod kosih užeta samo dio napetosti djeluje vertikalno (za ovaj ugao vertikalni dio jednak je polovini napetosti), pa važi 2 · 0,5 · T = 29,4 N, odnosno T ≈ 29,4 N. Zato je napetost znatno veća od 14,7 N: horizontalne komponente se poništavaju, a samo vertikalne komponente podupiru lampu. Napetost se pri tome ne troši.

Provjeri u simulaciji: postavi ugao na 55°, pritisni Podesi ravnotežu i uporedi napetost sa 9,81 N koju bi imalo vertikalno uže.

Veza s programom

Ključni sadržaji koje ovdje učiš: rezultanta jednaka nuli, ravnoteža dvije i tri sile, uslovi ravnoteže, primjeri lampe i knjige na stolu, najava prvog Newtonovog zakona.

Oblast B — Mehanika: međudjelovanje tijela i sila. Ishodi B.7.1 i B.7.2. Predmetni kurikulum KS, 7. razred, štampana str. 11. Raspored oblasti na portalu je urednički. Objašnjenja, primjeri i aktivnosti su autorski.