Slaganje i razlaganje sila

🎯 Cilj lekcije

Odrediti rezultantu dvije sile koje djeluju u istom pravcu.
Nacrtati rezultantu dvije sile pod uglom pravilom paralelograma.
Objasniti zašto je rezultanta manja od zbira, a veća od razlike iznosa.
Razložiti jednu silu na dvije komponente i objasniti čemu to služi.

1. Sile u istom pravcu

Kada dva čovjeka guraju isti automobil u istom smjeru, njihove sile se pomažu. Kada dvije ekipe vuku isto uže u suprotnim smjerovima, iznose njihovih sila na uže oduzimamo. U oba slučaja nekoliko sila možemo zamijeniti jednom — rezultantom (Fᵣ). Rezultanta djeluje isto kao sve te sile zajedno.

isti smjer: Fᵣ = F₁ + F₂ | suprotan smjer: Fᵣ = |F₁ − F₂| (smjer jače sile)

Primjeri za provjeru:

Sile 30 N i 20 N u istom smjeru daju Fᵣ = 50 N u tom smjeru.
Sile 45 N i 15 N u suprotnim smjerovima daju Fᵣ = 30 N u smjeru sile od 45 N.
Sile 20 N i 20 N u suprotnim smjerovima daju Fᵣ = 0 N — tijelo ostaje u ravnoteži. O tome govori sljedeća lekcija.

Pazi na jednu stvar: sabiraju se samo sile koje djeluju na isto tijelo. Sila kojom ti vučeš uže i sila kojom uže vuče tebe djeluju na različita tijela — njih ne slažemo u rezultantu.

2. Sile pod uglom: pravilo paralelograma

Šta ako sile djeluju pod uglom jedna prema drugoj? Tada ih ne možemo samo sabrati, jer dio jedne sile djeluje „u stranu“. Rezultantu nalazimo grafički, pravilom paralelograma:

Obje sile nacrtaj iz istog hvatišta, u razmjeri i pod zadatim uglom.
Kroz vrh prve sile povuci pravu paralelnu s drugom silom.
Kroz vrh druge sile povuci pravu paralelnu s prvom silom.
Izmjeri dijagonalu od hvatišta do sjecišta tih dviju pravih — to je rezultanta.

Dijagonala je uvijek bliža onoj sili koja je veća. Rezultanta se nalazi između dvije sile, pa vrijedi važno pravilo:

F₁ − F₂ ≤ Fᵣ ≤ F₁ + F₂ (za F₁ ≥ F₂)

Ugao 0° (sile u istom smjeru): Fᵣ = F₁ + F₂ — najveća moguća.
Ugao 180° (sile u suprotnim smjerovima): Fᵣ = F₁ − F₂ — najmanja moguća.
Ugao 90°: dijagonala je duža od svake sile, ali kraća od zbira.

💡 Za znatiželjne Ako znaš kosinus, iznos rezultante možeš izračunati i bez crteža: Fᵣ² = F₁² + F₂² + 2·F₁·F₂·cos α. U 7. razredu dovoljno je grafičko rješenje — tu formulu koristi samo za provjeru crteža.

Korak po korak: grafičko slaganje tri ili više sila

Kada djeluju tri ili više sila, možeš ponavljati pravilo paralelograma: prvu rezultantu složiš sa sljedećom silom. Preglednije je nacrtati poligon sila: sile se nižu jedna za drugom, a rezultanta spaja početak prve i kraj posljednje. Primjer: na kutiju djeluju F₁ = 4 N udesno, F₂ = 3 N gore i F₃ = 2 N lijevo. Razmjera: 1 cm na crtežu predstavlja 1 N.

1.Nacrtaj sile jednu za drugom F₁: 4 cm udesno. Iz njenog vrha F₂: 3 cm gore. Iz njenog vrha F₃: 2 cm lijevo.

2.Zbroji po osama (kontrola) Fₓ = 4 N − 2 N = 2 N udesno; F_y = 3 N gore.

3.Spoji početak prve s krajem posljednje To je rezultanta Fᵣ. Od početka do kraja: 2 cm udesno i 3 cm gore.

4.Izmjeri i izračunaj Fᵣ = √(2² + 3²) N = √13 N ≈ 3,6 N. Izmjereno ravnalom: dužina ≈ 3,6 cm predstavlja silu ≈ 3,6 N.

5.Provjeri smisao Zbir svih sila je 9 N, a rezultanta mora biti manja od toga. Rezultanta ≈ 3,6 N je između 0 N i 9 N, pa je moguća.

Ovo je konstrukcija poligona: sve tri sile djeluju na isto tijelo, a njihove strelice prenesene su jedna iza druge bez promjene dužine, pravca i smjera. Rezultanta spaja početak prve i kraj posljednje strelice. Za mjerenje na papiru koristi zadanu razmjeru 1 cm ↔ 1 N.

3. Razlaganje sile na komponente

Razlaganje je obrnuti postupak: jednu silu prikazujemo pomoću dvije komponente koje zajedno djeluju isto kao ona. Najčešće biramo dvije uzajamno okomite komponente, npr. horizontalnu i vertikalnu.

Zamisli da vučeš kofer čije se ručke držiš pod uglom. Tvoja sila ima dva „dijela“: horizontalni koji kofer pokreće naprijed i vertikalni koji kofer djelimično podiže i time smanjuje pritisak na pod. Isti iznos sile, a dva različita djelovanja — zato razlaganje ima smisla.

Dodatno: računska provjera za one koji poznaju trigonometriju

F_x = F · cos α | F_y = F · sin α | F_x² + F_y² = F²

Za ovu lekciju dovoljno je grafičko razlaganje uz lenjir i uglomjer.

Grafički postupak: iz hvatišta povuci dvije ose (npr. horizontalu i vertikalu), iz vrha sile spusti paralelne linije do osa i dobiješ stranice pravougaonika. Njihove dužine, preračunate razmjerom, jesu komponente.

Primjer: sila 50 N pod uglom 30° prema horizontali ima horizontalnu komponentu ≈ 43,3 N i vertikalnu 25 N. Vektorski zbir tih dviju komponenti ponovo daje silu od 50 N; njihove iznose ne sabiramo običnim sabiranjem — razlaganjem ništa nije izgubljeno.

4. Isprobaj: paralelogram i rezultanta

Mijenjaj iznose dviju sila i ugao između njih. Isprekidane stranice čine paralelogram, a ljubičasta strelica je rezultanta. Dugme prikazuje komponente rezultante. Provjeri granice: ugao 0°, ugao 180° i jednake sile pod uglom 180°.

Prva sila F₁: 60 N Druga sila F₂: 60 N Ugao α: 60°

F₁ F₂ rezultanta Fᵣ stranice paralelograma i komponente

F₁ = 60 N i F₂ = 60 N pod uglom 60° daju rezultantu Fᵣ ≈ 103,9 N pod uglom 30,0° prema horizontali. Rezultanta je manja od zbira (120 N), a veća od razlike (0 N).

Ista rezultanta iz različitih sila

Obje sile djeluju na isto modelno tijelo, u istom hvatištu. Podesi ih da njihova rezultanta dostigne isprekidanu ciljnu strelicu. Sačuvaj dva stvarno različita rješenja; samo zamjena naziva F₁ i F₂ nije novo rješenje.

Zadatak:

Pozitivno x je udesno, pozitivno y prema gore. Jedno polje mreže predstavlja 1 N. Na mreži pronađi i dva okomita para s istim ciljem: jedan par može pratiti ose, drugi može biti nagnut. Ne trebaš računati uglove.

F₁ vodoravno: F₁ uspravno: F₂ vodoravno: F₂ uspravno:

F₁F₂rezultantaisprekidano: cilj i stranice paralelograma

Sačuvaj prvo rješenje, pa napravi drugi par sila.

5. Korak po korak: nacrtaj rezultantu

Zadatak: „Na tijelo djeluju dvije sile, 30 N i 40 N, pod uglom od 90°. Odredi rezultantu grafički u razmjeri 1 cm ↔ 10 N.“

razmjera=1 cm ↔ 10 N Prvo odaberi razmjeru, jer o njoj zavisi dužina svih strelica.

F₁→30 N → 3 cm Podijeli iznos razmjerom: 30 N podijeljeno sa 10 N/cm daje 3 cm.

F₂→40 N → 4 cm Oba hvatišta su u istoj tački, a ugao između strelica je 90°.

paralelogram→nacrtaj stranice Kroz vrh svake sile povuci pravu paralelnu s drugom silom.

dijagonala=5 cm Izmjeri dijagonalu od hvatišta do sjecišta; ovdje je 5 cm.

Fᵣ=5 cm · 10 N/cm = 50 N Dužinu pretvori natrag u njutne množenjem razmjerom.

provjera⇒10 N < 50 N < 70 N Rezultanta mora biti između razlike i zbira iznosa. 50 N je unutar tog raspona.

6. Riješeni primjeri

Dva tipa zadatka: sile u istom pravcu i sile pod uglom (uz razlaganje na komponente). U svakom tipu su tri primjera, od lakšeg ka težem.

Tip 1: sile u istom pravcu

Primjer 1: isti smjer

Dva dječaka guraju sanduk u istom smjeru silama 30 N i 20 N. Kolika je rezultanta?

F₁=30 N Prva sila djeluje na sanduk, u smjeru kretanja.

F₂=20 N Druga sila djeluje na isto tijelo i u istom smjeru.

Fᵣ=F₁ + F₂ = 30 + 20 Za isti smjer sile sabiramo, jer djeluju jedna s drugom.

Fᵣ=50 N, u smjeru guranja Rezultanta je veća od svake pojedinačne sile — to je ovdje očekivano.

Primjer 2: suprotni smjerovi

U potezanju užeta jedna ekipa vuče silom 45 N, a druga silom 15 N. Kolika je rezultanta i u kojem smjeru djeluje?

smjerovi=suprotni Sile djeluju duž istog pravca, ali na suprotne strane.

Fᵣ=45 − 15 Za suprotne smjerove sile oduzimamo: veća minus manja.

Fᵣ=30 N Smjer rezultante je smjer jače sile, dakle ekipe koja vuče silom 45 N.

provjera⇒15 N < 30 N < 45 N Provjera: 45 N − 15 N = 30 N. Rezultanta suprotnih sila jednaka je razlici iznosa; ne mora uvijek biti veća od manje sile.

Primjer 3: tri sile u jednom pravcu

Na tijelo djeluju tri horizontalne sile: 20 N udesno, 35 N ulijevo i 15 N udesno. Kolika je rezultanta?

udesno=20 + 15 = 35 N Prvo saberi sile koje djeluju u istom smjeru.

ulijevo=35 N U suprotnom smjeru djeluje jedna sila od 35 N.

Fᵣ=35 − 35 = 0 N Sile se potpuno poništavaju, pa tijelo ostaje u ravnoteži.

provjera⇒Fᵣ = 0 N ima smisla Kada je rezultanta nula, tijelo miruje ili se kreće ravnomjerno. Sljedeća lekcija objašnjava zašto.

Tip 2: sile pod uglom i komponente

Primjer 1: ugao od 90°

Dvije sile, 30 N i 40 N, djeluju na isto tijelo pod uglom od 90°. Odredi rezultantu grafički u razmjeri 1 cm ↔ 10 N.

F₁→3 cm 30 N podijeljeno razmjerom 10 N/cm daje 3 cm.

F₂→4 cm 40 N daje 4 cm; strelice zatvaraju pravi ugao.

dijagonala=5 cm Paralelogram je ovdje pravougaonik, a dijagonala izlazi 5 cm.

Fᵣ=5 cm · 10 N/cm = 50 N Rezultanta iznosi 50 N i leži između dviju sila, bliže sili od 40 N.

provjera⇒10 N < 50 N < 70 N Rezultat je unutar dopuštenog raspona. Ako znaš Pitagorin teorem, 3-4-5 trokut daje isti rezultat.

Primjer 2: jednake sile pod uglom 60°

Dvije sile od po 60 N djeluju pod uglom od 60°. Kolika je rezultanta i zašto nije 120 N?

zbir=60 + 60 = 120 N Zbir bi bio tačan samo kada bi sile djelovale u istom smjeru.

ugao=60°, ne 0° Zato dio jedne sile djeluje „u stranu“ i ne pomaže drugoj sili.

dijagonala≈104 N Grafički se dobije oko 104 N; rezultanta je kraća od zbira.

smjer=tačno između sila, 30° od svake Kod jednakih sila dijagonala raspolavlja ugao između njih.

provjera⇒0 N < 104 N < 120 N Rezultat je između razlike i zbira, pa je račun smislen.

Primjer 3: razlaganje sile na komponente

Sila od 50 N vuče kofer pod uglom od 30° prema horizontali. Odredi komponente grafički u razmjeri 1 cm ↔ 10 N.

F=50 N To je jedna sila koju razlažemo na dva okomita dijela.

α=30° prema horizontali Ugao mjerimo od horizontale, jer tražimo horizontalnu komponentu.

F_x=4,33 cm · 10 N/cm Nacrtaj strelicu od 5 cm pod uglom 30°. Spusti okomicu s vrha na horizontalu i izmjeri horizontalnu stranicu: približno 4,33 cm.

F_x≈43,3 N Ona kofer pokreće naprijed; najveći dio sile otpada na nju.

F_y=2,5 cm · 10 N/cm = 25 N Izmjeri vertikalnu stranicu: približno 2,5 cm. Vertikalna komponenta smanjuje silu kojom kofer pritišće pod.

provjera⇒43,3² + 25² ≈ 50² 43,3² + 25² = 2499,89 ≈ 2500. Mala razlika potiče od zaokruživanja. Dijagonala ponovo predstavlja silu od 50 N.

⚠️ Česte greške

Sabiranje iznosa bez obzira na ugao. Sile od 60 N i 60 N pod uglom 60° ne daju 120 N, nego ≈104 N. Sabiranje vrijedi samo za isti smjer.
Crtanje sila iz različitih hvatišta. Paralelogram se gradi samo ako obje strelice počinju u istoj tački. Inače dijagonala nema smisla.
Zaboravljena razmjera. Dijagonalu izmjerenu u centimetrima treba pretvoriti u njutne. 5 cm nije 5 N ako je razmjera 1 cm ↔ 10 N.
Rezultanta „izvan“ sila. Rezultanta dvije sile nikad nije veća od zbira ni manja od razlike iznosa. Ako dobiješ 130 N iz sila od 60 N i 60 N, negdje je greška.

✅ Kviz — provjeri sebe (4 pitanja)

1. Dvije sile, 40 N i 10 N, djeluju na isto tijelo u istom smjeru. Kolika je rezultanta?

2. Iste sile djeluju u suprotnim smjerovima. Šta je rezultanta?

3. Dvije sile djeluju pod uglom od 90°. Kakva je rezultanta?

4. Horizontalna stranica crteža komponente duga je 4,33 cm u razmjeri 1 cm ↔ 10 N. Koliku silu predstavlja?

7. Primijeni i objasni

Dodatni zadatak (tri sile): Na tačku djeluju tri sile: 5 N gore, 3 N udesno i 4 N dolje. Nacrtaj poligon sila u razmjeri 1 cm ↔ 1 N. Lenjirom izmjeri iznos rezultante, a uglomjerom ugao prema pravcu udesno.

Provjeri rješenje i obrazloženje

Nacrtaj 5 cm gore, iz njenog vrha 3 cm udesno, zatim iz tog vrha 4 cm dolje. Spoji početak prve i kraj posljednje strelice. Lenjir pokazuje dužinu približno 3,2 cm, pa je Fᵣ ≈ 3,2 N. Uglomjerom izmjeri ugao između rezultante i horizontale udesno: približno 18° prema gore. Kontrola: konačna tačka je 3 cm desno i 1 cm iznad početka. Trigonometrija nije potrebna.

Samostalan zadatak: Na tijelo djeluju dvije sile od po 50 N. Prvo odredi rezultantu kada djeluju u istom smjeru, zatim u suprotnim smjerovima, a onda pod uglom od 90°. Objasni zašto se rezultanta mijenja kada se iznosi ne mijenjaju.

Provjeri rješenje i obrazloženje

Isti smjer: Fᵣ = 50 N + 50 N = 100 N. Suprotni smjerovi: Fᵣ = 50 N − 50 N = 0 N, tijelo je u ravnoteži. Ugao 90°: dijagonala kvadrata daje ≈70,7 N (za one koji znaju: √(50² + 50²) ≈ 71 N). Rezultanta se mijenja jer se mijenja ugao između sila: dio jedne sile uvijek djeluje „u stranu“, pa se sile sve manje pomažu kako ugao raste od 0° do 180°. Iznos sile nije dovoljan podatak — potreban je i smjer.

Samostalno razloži silu grafički

Ručka vuče kolica silom 40 N pod uglom 30° prema horizontali. Nacrtaj silu u razmjeri 1 cm ↔ 10 N, dopuni pravougaonik i odredi horizontalnu i vertikalnu komponentu mjerenjem. Objasni razliku između ova dva djelovanja.

Provjeri crtež i odgovor

Strelica sile duga je 4 cm. Horizontalna stranica je približno 3,46 cm, a vertikalna 2,0 cm. Zato je Fₓ ≈ 34,6 N udesno i Fᵧ ≈ 20 N gore. Horizontalna komponenta doprinosi povlačenju kolica, a vertikalna smanjuje silu kojom kolica pritišću pod. Dijagonala pravougaonika ponovo je 4 cm: komponente vektorski vraćaju 40 N; iznose ne sabiramo običnim sabiranjem.

Provjeri svoje rezultate u simulaciji: postavi obje sile na 50 N, pa ugao mijenjaj od 0° do 180° i posmatraj kako se dijagonala skraćuje.

Veza s programom

Ključni sadržaji koje ovdje učiš: slaganje sila u istom pravcu, rezultanta, pravilo paralelograma, razlaganje sile na komponente.

Oblast B — Mehanika: međudjelovanje tijela i sila. Ishodi B.7.1 i B.7.2. Predmetni kurikulum KS, 7. razred, štampana str. 11. Raspored oblasti na portalu je urednički. Objašnjenja, primjeri i aktivnosti su autorski.