Gravitaciona sila i sila Zemljine teže
- Objasniti gravitacionu silu kao privlačnu silu između svih tijela s masom.
- Primijeniti Newtonov zakon gravitacije F = G·m₁m₂/r².
- Objasniti kako sila zavisi od masa i od rastojanja, uključujući kvadratnu zavisnost.
- Izračunati silu Zemljine teže pomoću Fg = m·g uz g = 9,81 N/kg.
1. Privlačenje među tijelima
Jabuka padne sa grane, Mjesec kruži oko Zemlje, a plima i oseka prate Mjesec. Iza svega toga je ista sila: gravitaciona sila. Njena bitna osobina je da je uvijek privlačna — nikada ne odbija. Djeluje između svih tijela koja imaju masu: između tebe i stolice, između dvije knjige, između zvijezda.
Za dvije materijalne tačke iznos sile zavisi od njihovih masa i međusobnog rastojanja. Računski zakon ispod je proširenje; prvo razumij pravilo: veće mase jače se privlače, a veće rastojanje slabi privlačenje.
Konstanta G je gravitaciona konstanta. Ona je ista za sva tijela u svemiru i vrlo je mala:
Ovaj jednostavni izraz koristimo za materijalne tačke i za kuglasta tijela sa sferno simetričnim rasporedom mase koja se ne preklapaju; dobar je približan model i kada je rastojanje mnogo veće od dimenzija tijela. Daljina r tada je rastojanje između središta, ne između površina. Za tijelo izvan Zemlje r mjerimo od njenog centra. Izraz ne primjenjujemo s r = 0 niti na preklopljena tijela.
2. Kako sila zavisi od masa i od daljine
Iz formule se vide dva pravila. Prvo: sila je srazmjerna proizvodu masa. Udvostručiš li jednu masu, sila se udvostruči. Udvostručiš li obje, sila postane četiri puta veća.
Drugo: sila je obrnuto srazmjerna kvadratu daljine. To je najvažnija i najčešće pogrešno shvaćena osobina. Udvostručiš li daljinu, sila padne na četvrtinu, a ne na polovinu. Utrostručiš li je, sila padne na devetinu.
| Daljina r | r² | F za m₁ = m₂ = 10 kg | U odnosu na r = 1 m |
|---|---|---|---|
| 1 m | 1 m² | 6,67·10⁻⁹ N | 1 |
| 2 m | 4 m² | 1,67·10⁻⁹ N | 1/4 |
| 3 m | 9 m² | 7,41·10⁻¹⁰ N | 1/9 |
| 4 m | 16 m² | 4,17·10⁻¹⁰ N | 1/16 |
Vrijednosti u tablici su izračunate s G = 6,67·10⁻¹¹ N·m²/kg². Vidi se i zašto gravitaciju između svakodnevnih predmeta ne primjećujemo: sile reda 10⁻⁹ N su više miliona puta manje od težine jednog lista papira (oko 0,05 N).
3. Sila Zemljine teže i veličina g
Zemlja privlači svako tijelo na svojoj površini. Ta sila se zove sila Zemljine teže i označava se Fg. Uvrsti li se masa Zemlje i njen poluprečnik u zakon gravitacije, dobija se jednostavan izraz:
Veličina g se zove ubrzanje slobodnog pada i iznosi približno 9,81 m/s². Jedinice N/kg i m/s² su jednake, pa se oba zapisa koriste. Za svakodnevni račun često se uzima g ≈ 10 m/s², ali tada to mora biti izričito naznačeno. Na portalu koristimo g = 9,81 N/kg.
| Tijelo | g | Sila teže za masu 1 kg |
|---|---|---|
| Zemlja (površina) | 9,81 N/kg | 9,81 N |
| Mjesec | 1,62 N/kg | 1,62 N |
| Mars | 3,71 N/kg | 3,71 N |
Ista masa od 1 kg ima na Mjesecu šest puta manju silu teže. Masa se pritom ne mijenja — mijenja se samo sila kojom tijelo privlači nebesko tijelo.
Plima i oseka
Mjesec privlači vodu na Zemlji. Na strani okrenutoj ka Mjesecu voda je privučena jače nego Zemlja, pa se podiže. Na suprotnoj strani Mjesec privlači Zemlju jače nego vodu, pa voda ostaje dalje od Zemlje i tu se javlja druga plima. Zato se plima javlja dvaput u otprilike 24 sata i 50 minuta.
Sateliti i orbite
Satelit ima brzinu duž orbite, a gravitacija mu stalno skreće kretanje prema Zemlji. Zato ne pada pravo na tlo: slobodno pada i stalno ga promašuje. Geostacionarni sateliti kruže iznad ekvatora na visini oko 35 800 km i obiđu Zemlju za 24 h, pa stoje iznad iste tačke.
Provjeri tvrdnju o satelitu — korak po korak
4. Isprobaj: dvije mase i daljina
Mijenjaj mase i daljinu. Vidi kako se mijenja iznos sile i dužina strelica. Zatim udvostruči daljinu i uporedi brojeve — sila padne na četvrtinu. Ispod toga je panel za predviđanje i mjerenje na r₀, 2r₀ i 3r₀. Daljina ne može biti nula, najmanje je 1 m.
F = 6,67·10⁻¹¹ · 10 · 10 / 2² ≈ 1,67·10⁻⁹ N
Pri dvostrukoj daljini (4 m) sila bi bila 4,17·10⁻¹⁰ N — četiri puta manja.
Poređenje: r₀, 2r₀ i 3r₀ — opada li sila linearno?
Referenca je trenutni par masa i daljina r₀ iz klizača (r je rastojanje središta, ne površina tijela). Prvo predvidi, pa izmjeri. Dok traje poređenje, mase su zaključane: ako pomjeriš klizač mase ili daljine, počinje nova referentna serija. Kuglice su šematske, a dužine traka su u istom razmjeru.
Legenda: prazan romb = tvoje predviđanje, pun krug = izmjerena vrijednost, isprekidana linija = model F ∝ 1/r² (pojavi se kad izmjeriš obje tačke).
| r / r₀ | r | F | F / F₀ |
|---|
5. Korak po korak: izračunaj gravitacionu silu
Zadatak: „Dva tijela masa 20 kg i 50 kg nalaze se na daljini 2 m (središte od središta). Kolika je gravitaciona sila između njih?“
Satelit korak po korak
6. Riješeni primjeri
Dva tipa zadatka: gravitaciona sila između dva tijela i sila Zemljine teže. U svakom tipu su tri primjera, od lakšeg ka težem.
Tip 1: gravitaciona sila
Primjer 1: dvije kugle od 10 kg
Dvije kugle, svaka mase 10 kg, nalaze se na daljini 1 m. Kolika je gravitaciona sila između njih?
Primjer 2: Zemlja i učenik
Učenik mase 60 kg stoji na površini Zemlje. Masa Zemlje je 6·10²⁴ kg, a poluprečnik 6,4·10⁶ m. Kolika je gravitaciona sila između učenika i Zemlje?
Primjer 3: dva broda na moru
Za ovu grubu procjenu zamijeni dva broda tačkama mase 5·10⁷ kg, udaljenim 100 m. Zanemari raspored mase u brodovima. Kolika je sila privlačenja među njima? Zašto je ne primjećujemo?
Tip 2: sila Zemljine teže
Primjer 1: torba od 5 kg
Kolika sila teže djeluje na torbu mase 5 kg? Uzmi g = 9,81 N/kg.
Primjer 2: automobil u kilonjutnima
Automobil ima masu 1 200 kg. Kolika je sila teže na automobil? Rezultat izrazi u kilonjutnima.
Primjer 3: Zemlja i Mjesec
Kolika je sila teže na astronauta mase 60 kg na Zemlji, a kolika na Mjesecu? Na Mjesecu je ubrzanje slobodnog pada 1,62 m/s². Koliko je puta sila manja?
- „Ako se daljina udvostruči, sila se prepolovi.“ Ne. Sila je obrnuto srazmjerna kvadratu daljine, pa padne na četvrtinu.
- Mjerenje daljine od površine tijela. U zakon gravitacije ide daljina između središta, pa za Zemlju uzimamo njen poluprečnik.
- „Zemlja jače privlači jabuku nego jabuka Zemlju.“ Sile su jednake po iznosu; razlika je u ubrzanju, jer je masa Zemlje ogromna.
- Zamjena mase i sile teže. Masa je 60 kg uvijek i svuda, a sila teže je 588,6 N samo na Zemlji.
✅ Kviz — provjeri sebe (4 pitanja)
1. Daljina između dva tijela se udvostruči, a mase ostaju iste. Šta se dešava sa gravitacionom silom?
2. Obje mase se udvostruče, a daljina ostane ista. Šta se dešava sa silom?
3. Kolika sila teže djeluje na tijelo mase 3 kg na Zemlji? Uzmi g = 9,81 N/kg.
4. Jabuka pada na Zemlju, a ne Zemlja na jabuku. Zašto?
7. Primijeni i objasni
Provjeri rješenje i obrazloženje
(a) F = G·m₁m₂/r² = 6,67·10⁻¹¹·36/9 = 6,67·10⁻¹¹·4 ≈ 2,67·10⁻¹⁰ N. (b) Na 1 m: F = 6,67·10⁻¹¹·36/1 ≈ 2,4·10⁻⁹ N, dakle devet puta više, jer je daljina tri puta manja, a 3² = 9. (c) Tijela imaju konačne dimenzije, pa se središta ne mogu poklopiti. Formula vrijedi za rastojanje središta, a za r = 0 gubi smisao — zato u simulaciji daljina ide najmanje od 1 m.
Provjeri u simulaciji: postavi mase 4 kg i 9 kg, daljinu 3 m, pa 1 m. Brojevi se moraju slagati s računom.
Provjeri rješenje i obrazloženje
(a) r = 6800 km; O = 2π · 6800 ≈ 42 700 km ≈ 4,3·10⁴ km. (b) v = O / T = 42 700 000 / 5520 ≈ 7,7·10³ m/s = 7,7 km/s. (c) Astronauti i stanica padaju zajedno, s istim ubrzanjem, pa nema pritiska na njihov oslonac. To je bestežinsko stanje, a ne odsustvo gravitacije.
Samostalno istraži i obrazloži
Izaberi dvije obrazovne ili institucionalne informacije o satelitima ili plimi. Zapiši autora/ustanovu, naslov i datum. Učenik kaže: „Mjesec privlači samo vodu, a satelit se kreće bez sile.“ Skiciraj sistem i popravi obje tvrdnje na osnovu gravitacionog modela.
Provjeri obrazloženje
Mjesec privlači i Zemlju i vodu; različito privlačenje različitih dijelova doprinosi plimnim efektima. Na satelit djeluje gravitaciona sila koja mijenja smjer njegove brzine. Na skici sila pokazuje prema centru Zemlje, a trenutna brzina je duž putanje. Provjera izvora traži razliku između pojednostavljene skice i stvarne orbite ili obale, gdje na plimu utiču i drugi uslovi. Sam naslov bez objašnjenja nije dovoljan dokaz.
Ključni sadržaji koje ovdje učiš: gravitaciona sila, Newtonov zakon gravitacije, gravitaciona konstanta, sila Zemljine teže i veličina g.
Oblast B — Mehanika, cjelina 8.2 Dinamika. Oznake ishoda u izvoru: B.8.1, B.8.2, B.8.3. Predmetni kurikulum KS, 8. razred, oblast B, štampana str. 15 (PDF stranica 16). Raspored oblasti na portalu je urednički. Objašnjenja, primjeri i aktivnosti su autorski.