5.3 · Lekcija 2

Osobine sabiranja

🎯 Cilj lekcije Nakon ove lekcije znat ćeš: objasniti osobinu zamjene mjesta sabiraka (komutativnost) • objasniti osobinu grupisanja sabiraka (asocijativnost) • koristiti ove osobine da brže i lakše računaš.

Prije početkaPonovi sabirke i zbir. Broj nula ne mijenja sabirak kojem ga dodaš.

1. Komutativnost — zamjena mjesta sabiraka

Redoslijed sabiraka ne mijenja zbir. Ovu osobinu zovemo komutativnost sabiranja:

a + b = b + a

Na primjer: 125 + 375 = 500, a i 375 + 125 = 500 — isti rezultat, bez obzira na redoslijed.

2. Asocijativnost — grupisanje sabiraka

Kada sabiramo tri ili više brojeva, možemo ih grupisati na različite načine, a zbir ostaje isti. Ovo zovemo asocijativnost sabiranja:

(a + b) + c = a + (b + c)

To nam dozvoljava da prvo saberemo brojeve koji se "lijepo" uklapaju (npr. daju okrugli broj), pa tek onda dodamo ostatak.

💡 Zašto je ovo korisno? Ako trebaš sabrati 48 + 25 + 52, lakše je prvo sabrati 48 + 52 = 100 (jer se lijepo "uklapaju"), a zatim dodati 25: 100 + 25 = 125 — mnogo brže nego sabirati redom slijeva nadesno!

3. Isprobaj sam: zamijeni redoslijed

🔄 Komutativnost uživo

Klikni dugme da zamijeniš mjesta sabirka — zbir ostaje isti!

125 + 375 = 500

🧩 Asocijativnost uživo

Isti sabirci, drugačije grupisanje zagradom — klikni dugmad i uporedi rezultate.

36 + 14 + 64

4. Pametno grupisanje korak po korak

Zadatak: Izračunaj 48 + 25 + 52 na najbrži način.

48, 25, 52 — primijeti da 48 i 52 zajedno daju okrugao broj.Pogledaj sabirke:

48 + 25 + 52 = (48 + 52) + 25, koristeći zamjenu mjesta (komutativnost) i zatim grupisanje (asocijativnost).Grupiši ih zagradom:

48 + 52 = 100.Saberi grupu u zagradi:

100 + 25 = 125. ✅ Brže nego računati 48 + 25 = 73, pa 73 + 52.Dodaj ostatak:

Primjer: Učenica kupuje sveske za 15 KM, olovke za 35 KM i bojice za 25 KM. Umjesto 15 + 35 + 25 redom, grupiše: (15 + 35) + 25 = 50 + 25 = 75 KM — brže i jednostavnije u glavi.

Drugi primjer: U igraonici ima 36 malih kuglica, 14 srednjih i 64 velikih kuglica. Koliko ima kuglica ukupno? Pametnije je prvo grupisati 36 i 64 (daju okrugao broj):
36 + 14 + 64 = 36 + 64 + 14 = 100 + 14 = 114 kuglica.

Vježbaj uz riješene primjere

Prati zapis kao u svesci, red po red. Objašnjenje uz red govori ti zašto taj korak vrijedi. Najprije pokušaj samostalno, pa otkrivaj postupak korak po korak.

Zamjena mjesta sabiraka — korak po korak

Primjer 1 · Zamjena mjesta sabiraka

Izračunaj 23 + 400 zamjenom mjesta sabiraka.

23 + 400=400 + 23Komutativnost: mjesta se mogu zamijeniti.

400 + 20 + 3Manji broj razloži na desetice i jedinice.

420 + 3=423Saberi redom; zbir se zamjenom nije promijenio.

Primjer 2 · Zamjena mjesta sabiraka

Izračunaj 45 + 700 zamjenom mjesta sabiraka.

45 + 700=700 + 45Komutativnost: mjesta se mogu zamijeniti.

700 + 40 + 5Manji broj razloži na desetice i jedinice.

740 + 5=745Saberi redom; zbir se zamjenom nije promijenio.

Primjer 3 · Zamjena mjesta sabiraka

Izračunaj 62 + 800 zamjenom mjesta sabiraka.

62 + 800=800 + 62Komutativnost: mjesta se mogu zamijeniti.

800 + 60 + 2Manji broj razloži na desetice i jedinice.

860 + 2=862Saberi redom; zbir se zamjenom nije promijenio.

Združivanje i izbor pogodnog para — korak po korak

Primjer 1 · Združivanje i izbor pogodnog para

Izračunaj 175 + 38 + 25 na lakši način.

175 + 38 + 25=(175 + 25) + 38Zamijeni redoslijed i združi sabirke koji daju punu stotinu.

=200 + 38Prvo izračunaj zbir u zagradi.

=238Zatim dodaj preostali sabirak.

Primjer 2 · Združivanje i izbor pogodnog para

Izračunaj 260 + 47 + 40 na lakši način.

260 + 47 + 40=(260 + 40) + 47Zamijeni redoslijed i združi sabirke koji daju punu stotinu.

=300 + 47Prvo izračunaj zbir u zagradi.

=347Zatim dodaj preostali sabirak.

Primjer 3 · Združivanje i izbor pogodnog para

Izračunaj 325 + 86 + 75 na lakši način.

325 + 86 + 75=(325 + 75) + 86Zamijeni redoslijed i združi sabirke koji daju punu stotinu.

=400 + 86Prvo izračunaj zbir u zagradi.

=486Zatim dodaj preostali sabirak.

⚠️ Česte greške • Komutativnost i asocijativnost vrijede samo za sabiranje i množenje, ne i za oduzimanje (5 − 3 ≠ 3 − 5)!
• Grupisanje zagradama ne mijenja vrijednost izraza — zagrada samo pokazuje šta prvo računamo.
• Ne miješaj redoslijed sabiraka sa redoslijedom operacija kod izraza koji imaju i množenje/dijeljenje.

Primijeni i objasni postupak

Samostalan zadatak:

Za školsku akciju prikupljeno je 125, 48 i 75 čepova. Izaberi lakši redoslijed sabiranja i objasni zašto je rezultat isti.

Provjeri rješenje i obrazloženje

125 + 48 + 75 = (125 + 75) + 48 = 200 + 48 = 248. Zamjena mjesta sabiraka i njihovo grupisanje ne mijenjaju zbir. Provjeri početnim redom: 125 + 48 = 173, pa 173 + 75 = 248.

Pokušaj najprije samostalno. Ako zapneš, vrati se na prikaz korak po korak i objasni svaki račun svojim riječima.

🎓 Kviz — provjeri sebe (4 pitanja)

1. Osobina koja kaže da a + b = b + a zove se…

2. Koji izraz je tačan primjer asocijativnosti?

3. Pomoću koje osobine najlakše računamo 37 + 48 + 63?

4. Da li su komutativnost i asocijativnost tačne i za oduzimanje?

Svaki pokušaj pomaže ti učiti. Ako odgovor nije tačan, vrati se na model i riješeni postupak, objasni korak koji treba popraviti, pa pokušaj ponovo.

Veza s programom

Pokazatelji koje ovdje vježbaš:

Upoređuje osobine računskih operacija u skupu N₀, kao i u skupu do sada poznatih razlomaka po analogiji.
Koristi svojstva računskih operacija.

Oznake ishoda u izvoru: .5.1 (MTP-1.1.2), .5.2 (MTP-1.2.1). Oznake se čitaju uz odgovarajuću oblast i stranicu izvora.

Predmetni kurikulum KS, 5. razred, štampana str. 22–23. Raspored oblasti na portalu je urednički. Objašnjenja, primjeri i aktivnosti su autorski.