5.6 · Lekcija 5

Od mreže do površine kvadra i kocke

🎯 Cilj lekcije

Nakon ove lekcije moći ćeš:

povezati šest strana tijela s njegovom mrežom.
izvesti formulu za površinu iz parova strana.
izračunati materijal za zatvorenu ili otvorenu kutiju.

Prije početkaPonovi površinu pravougaonika P = a · b i površinu kvadrata P = a · a. Pripremi papir, linijar i makaze; pri rezanju zatraži pomoć odrasle osobe ako ti treba.

1. Razmotaj kutiju

Mreža prikazuje strane tijela u ravni tako da ih možeš presaviti u tijelo. Kvadar ima šest pravougaonih strana. Nasuprotne strane su jednake, pa ih grupišemo u tri para.

Za ivice a = 5 cm, b = 3 cm i c = 2 cm dva pravougaonika imaju površinu 5 · 3 = 15 cm², dva 5 · 2 = 10 cm² i dva 3 · 2 = 6 cm².

P = 2 · (a · b + a · c + b · c) = 2 · (15 + 10 + 6) = 62 cm²

U ovoj lekciji P označava ukupnu površinu tijela; naziva se i oplošje. Na nekim mjestima susrest ćeš i oznaku O za oplošje. Uvijek pročitaj šta oznaka predstavlja.

2. Kocka i otvorena kutija

Kocka ima šest jednakih kvadratnih strana, pa iz sabiranja šest površina dobijemo P = 6 · a · a = 6a². Za ivicu 4 cm jedna strana je 16 cm², a ukupna površina 96 cm².

Kutija bez poklopca nema gornju stranu. Ako je dno pravougaonik a · b, površina materijala je a · b + 2 · a · c + 2 · b · c. Ovaj izraz opisuje pet strana. Ne dodaj automatski šestu.

Model pretpostavlja tanke strane. Stvarna izrada može zahtijevati dodatne preklopnike za lijepljenje; oni nisu uključeni u površinu strana.

3. Istraži model

Prikazana mreža kocke ima četiri kvadrata u nizu te po jedan iznad i ispod drugog kvadrata. Promijeni ivicu i posmatraj površinu jedne strane i cijelog tijela. Nacrtaj sličnu mrežu na papiru i presavij je.

Ivica kocke u cm

4. Riješi korak po korak

Zadatak: Kutija bez poklopca ima dno 8 cm × 5 cm i visinu 3 cm. Kolika je površina njenih pet strana?

Napravi skicu i označi dno 8 cm × 5 cm. Površina dna je 8 · 5 = 40 cm².Dno otvorene kutije računa se jednom.

Prednja i zadnja strana: dvije površine 8 · 3 = 24 cm², ukupno 48 cm².Ove dvije bočne strane su jednake.

Lijeva i desna strana: dvije površine 5 · 3 = 15 cm², ukupno 30 cm².Preostale dvije bočne strane su jednake.

Saberi: 40 + 48 + 30 = 118 cm². Provjera: zatvorena kutija ima 158 cm²; oduzmi poklopac od 40 cm² i dobiješ 118 cm².Saberi pet strana i provjeri oduzimanjem poklopca.

5. Primijeni znanje

Primjer i zadatak iz života

Kutiju 10 cm × 6 cm × 4 cm potpuno oblažeš papirom. Tri različite strane imaju 60, 40 i 24 cm². Ukupno je 2 · (60 + 40 + 24) = 248 cm². Toliko papira pokriva strane bez preklapanja. Za stvarno pakovanje ostavi dodatak za preklapanje.

6. Objasni zašto

Može li svaki raspored šest jednakih kvadrata postati mreža kocke?

Provjeri

Ne. Pri presavijanju se neke strane mogu preklopiti ili ostaviti otvor. Napravi model prikazane mreže i provjeri da se svih šest strana zatvara bez preklapanja.

7. Česte greške

Vježbaj uz riješene primjere

Prati zapis kao u svesci, red po red. Objašnjenje uz red govori ti zašto taj korak vrijedi. Najprije pokušaj samostalno, pa otkrivaj postupak korak po korak.

Površina kvadra iz tri para strana — korak po korak

Primjer 1 · Površina kvadra iz tri para strana

Kvadar ima a = 4 cm, b = 3 cm i c = 2 cm. Izračunaj površinu.

a · b=12; a · c = 8; b · c = 6Izračunaj površinu po jedne strane iz svakog para.

P=2 · (a · b + a · c + b · c)Mreža ima po dvije strane svake veličine.

P=2 · (12 + 8 + 6)Uvrsti površine tri različite strane.

P=52 cm²Saberi pa udvostruči.

Primjer 2 · Površina kvadra iz tri para strana

Kvadar ima a = 6 cm, b = 4 cm i c = 3 cm. Izračunaj površinu.

a · b=24; a · c = 18; b · c = 12Izračunaj površinu po jedne strane iz svakog para.

P=2 · (a · b + a · c + b · c)Mreža ima po dvije strane svake veličine.

P=2 · (24 + 18 + 12)Uvrsti površine tri različite strane.

P=108 cm²Saberi pa udvostruči.

Primjer 3 · Površina kvadra iz tri para strana

Kvadar ima a = 8 cm, b = 5 cm i c = 2 cm. Izračunaj površinu.

a · b=40; a · c = 16; b · c = 10Izračunaj površinu po jedne strane iz svakog para.

P=2 · (a · b + a · c + b · c)Mreža ima po dvije strane svake veličine.

P=2 · (40 + 16 + 10)Uvrsti površine tri različite strane.

P=132 cm²Saberi pa udvostruči.

Površina kocke — korak po korak

Primjer 1 · Površina kocke

Kocka ima ivicu 3 cm. Kolika joj je ukupna površina?

jedna strana: 3 · 3=9 cm²Svaka strana je kvadrat.

P=6 · a · aMreža ima šest jednakih kvadrata.

P=6 · 9 = 54 cm²Pomnoži površinu jedne strane sa šest.

Primjer 2 · Površina kocke

Kocka ima ivicu 5 cm. Kolika joj je ukupna površina?

jedna strana: 5 · 5=25 cm²Svaka strana je kvadrat.

P=6 · a · aMreža ima šest jednakih kvadrata.

P=6 · 25 = 150 cm²Pomnoži površinu jedne strane sa šest.

Primjer 3 · Površina kocke

Kocka ima ivicu 8 cm. Kolika joj je ukupna površina?

jedna strana: 8 · 8=64 cm²Svaka strana je kvadrat.

P=6 · a · aMreža ima šest jednakih kvadrata.

P=6 · 64 = 384 cm²Pomnoži površinu jedne strane sa šest.

Otvorena kutija bez poklopca — korak po korak

Primjer 1 · Otvorena kutija bez poklopca

Otvorena kutija ima dno 5 cm × 3 cm i visinu 2 cm. Kolika je površina materijala bez poklopca?

dno: 5 · 3=15 cm²Dno se računa jednom jer poklopca nema.

dvije veće bočne strane: 2 · 5 · 2=20 cm²Prebroj prvi par uspravnih strana.

dvije manje bočne strane: 2 · 3 · 2=12 cm²Prebroj drugi par uspravnih strana.

P=15 + 20 + 12 = 47 cm²Mreža otvorene kutije ima ukupno pet strana.

Primjer 2 · Otvorena kutija bez poklopca

Otvorena kutija ima dno 8 cm × 4 cm i visinu 3 cm. Kolika je površina materijala bez poklopca?

dno: 8 · 4=32 cm²Dno se računa jednom jer poklopca nema.

dvije veće bočne strane: 2 · 8 · 3=48 cm²Prebroj prvi par uspravnih strana.

dvije manje bočne strane: 2 · 4 · 3=24 cm²Prebroj drugi par uspravnih strana.

P=32 + 48 + 24 = 104 cm²Mreža otvorene kutije ima ukupno pet strana.

Primjer 3 · Otvorena kutija bez poklopca

Otvorena kutija ima dno 10 cm × 6 cm i visinu 4 cm. Kolika je površina materijala bez poklopca?

dno: 10 · 6=60 cm²Dno se računa jednom jer poklopca nema.

dvije veće bočne strane: 2 · 10 · 4=80 cm²Prebroj prvi par uspravnih strana.

dvije manje bočne strane: 2 · 6 · 4=48 cm²Prebroj drugi par uspravnih strana.

P=60 + 80 + 48 = 188 cm²Mreža otvorene kutije ima ukupno pet strana.

⚠️ Zastani i provjeri

U ukupnu površinu zatvorenog kvadra uključi svih šest strana.
Mreža se mora moći presaviti bez preklapanja.
Površina se izražava u kvadratnim jedinicama, ne kubnim.

8. Provjeri znanje

1. Kocka ima ivicu 2 cm. Ukupna površina je…

2. Koliko strana ima kutija bez poklopca?

3. Kvadar 3 cm × 2 cm × 1 cm ima ukupnu površinu…

Svaki pokušaj pomaže ti učiti. Ako pogriješiš, ponovi model i riješeni postupak, objasni gdje se greška dogodila, pa pokušaj ponovo.

Veza s programom

Pokazatelji koje ovdje vježbaš:

Povezuje pojam površine sa površinom kvadra i kocke.
Određuje površinu geometrijskih likova i geometrijskih tijela uz pomoć formule.
Primjenjuje formule za obim, površinu i zapreminu u zadacima iz svakodnevnog života.

Oznake ishoda u izvoru: .5.1 (MTP-3.1.1), .5.2 (MTP-3.1.2). Oznake se čitaju uz odgovarajuću oblast i stranicu izvora.

Ova lekcija razrađuje sadržaje predmetnog kurikuluma KS za 5. razred. Matematika, štampana str. 25. Objašnjenja i zadaci su autorski. Raspored na portalu je urednički.