5.7 · Lekcija 3

Stalnost proizvoda i količnika

🎯 Cilj lekcije

Nakon ove lekcije moći ćeš:

sačuvati proizvod promjenom oba činioca.
sačuvati količnik promjenom oba broja.
objasniti uslove za tačno dijeljenje i izbjeći dijeljenje nulom.

Prije početkaPonovi množenje i tačno dijeljenje. U primjerima dijelimo bez ostatka. Broj kojim dijelimo uvijek mora biti različit od nule.

1. Drugačiji raspored, isti broj predmeta

U 6 kutija ima po 8 bojica: 6 · 8 = 48. Ako bojice rasporediš u 12 kutija po 4, i dalje ih je 48. Prvi činilac povećao si 2 puta, a drugi smanjio 2 puta.

6 · 8 = (6 · 2) · (8 : 2) = 12 · 4 = 48

Proizvod ostaje isti ako jedan činilac pomnožiš nekim nenultim prirodnim brojem, a drugi podijeliš tim istim brojem. U N₀ ovo primjenjuj kada je dijeljenje tačno. Možeš zamijeniti uloge činilaca.

2. Jednaka promjena čuva količnik

Podijeli 24 jabuke u 6 jednakih grupa: svaka ima 4. Udvostručiš li i broj jabuka i broj grupa, dobiješ 48 : 12 = 4.

24 : 6 = (24 · 2) : (6 · 2) = 48 : 12 = 4

Isto radi smanjivanje: 240 : 60 = 24 : 6 = 4, jer smo oba broja podijelili sa 10. Količnik se ne mijenja kada djeljenik i djelitelj pomnožiš istim nenultim brojem ili oba podijeliš njime, ako su dijeljenja moguća. Nulom se ne dijeli.

Za proizvod promjene idu u suprotnim smjerovima; za količnik u istom smjeru. Ne miješaj ove dvije ideje.

3. Istraži model

Izaberi koliko puta povećavamo i broj predmeta i broj grupa. Svaki red je jedna grupa; u svakom redu ostaju četiri predmeta.

Faktor povećanja

4. Riješi korak po korak

Zadatak: Izračunaj 25 · 16 i 3600 : 90 koristeći stalnost.

U proizvodu povećaj 25 četiri puta: 25 · 4 = 100.Odaberi povećanje koje olakšava račun.

Drugi činilac smanji četiri puta: 16 : 4 = 4. Proizvod je 100 · 4 = 400.Suprotnom promjenom drugog faktora čuvaš proizvod.

U količniku oba broja podijeli sa 10: 3600 : 90 = 360 : 9 = 40.Istim dijeljenjem oba člana čuvaš količnik.

Provjeri: 400 : 16 = 25; 40 · 90 = 3600. Oba računa čuvaju početne odnose.Provjeri oba početna računa.

5. Primijeni znanje

Primjer i zadatak iz života

Za radionicu je 120 listova raspoređeno u 15 jednakih paketa. U paketu je 120 : 15 = 8 listova. Druga radionica ima tri puta više listova i tri puta više paketa: 360 : 45 = 8. Broj listova po paketu ostao je isti.

6. Objasni zašto

Učenik za 20 · 12 napiše 40 · 24 i kaže da je proizvod ostao isti. Objasni promjenu.

Provjeri

Oba činioca povećana su dva puta, pa je proizvod povećan četiri puta: 240 je postalo 960. Za stalnost je trebalo napisati 40 · 6 = 240.

7. Česte greške

Vježbaj uz riješene primjere

Prati zapis kao u svesci, red po red. Objašnjenje uz red govori ti zašto taj korak vrijedi. Najprije pokušaj samostalno, pa otkrivaj postupak korak po korak.

Stalnost proizvoda — korak po korak

Primjer 1 · Stalnost proizvoda

Izračunaj 25 · 16 očuvanjem proizvoda.

25 · 16=(25 · 4) · (16 : 4)Jedan faktor povećaj, a drugi smanji isti broj puta.

=100 · 4Provjeri da je dijeljenje bez ostatka.

=400Proizvod je ostao isti.

Primjer 2 · Stalnost proizvoda

Izračunaj 125 · 24 očuvanjem proizvoda.

125 · 24=(125 · 8) · (24 : 8)Jedan faktor povećaj, a drugi smanji isti broj puta.

=1000 · 3Provjeri da je dijeljenje bez ostatka.

=3000Proizvod je ostao isti.

Primjer 3 · Stalnost proizvoda

Izračunaj 50 · 18 očuvanjem proizvoda.

50 · 18=(50 · 2) · (18 : 2)Jedan faktor povećaj, a drugi smanji isti broj puta.

=100 · 9Provjeri da je dijeljenje bez ostatka.

=900Proizvod je ostao isti.

Stalnost količnika — korak po korak

Primjer 1 · Stalnost količnika

Izračunaj 360 : 45 skraćivanjem oba broja.

360 : 45=(360 : 5) : (45 : 5)Djeljenik i djelitelj podijeli istim brojem različitim od nule.

=72 : 9Oba broja su manja, ali odnos ostaje isti.

=8Provjera: 8 · 45 = 360.

Primjer 2 · Stalnost količnika

Izračunaj 840 : 120 skraćivanjem oba broja.

840 : 120=(840 : 10) : (120 : 10)Djeljenik i djelitelj podijeli istim brojem različitim od nule.

=84 : 12Oba broja su manja, ali odnos ostaje isti.

=7Provjera: 7 · 120 = 840.

Primjer 3 · Stalnost količnika

Izračunaj 1500 : 250 skraćivanjem oba broja.

1500 : 250=(1500 : 50) : (250 : 50)Djeljenik i djelitelj podijeli istim brojem različitim od nule.

=30 : 5Oba broja su manja, ali odnos ostaje isti.

=6Provjera: 6 · 250 = 1500.

⚠️ Zastani i provjeri

Za stalnost proizvoda ne povećavaj oba činioca istim faktorom.
Za stalnost količnika promijeni i djeljenik i djelitelj.
U N₀ biraj tačna dijeljenja; ne koristi nulu kao djelitelj.

8. Provjeri znanje

1. Koji je proizvod jednak 15 · 8?

2. Koji je količnik jednak 180 : 30?

3. Koliko je 125 · 8?

Svaki pokušaj pomaže ti učiti. Ako pogriješiš, ponovi model i riješeni postupak, objasni gdje se greška dogodila, pa pokušaj ponovo.

Veza s programom

Pokazatelji koje ovdje vježbaš:

Koristi svojstva računskih operacija.
Povezuje rješenja s odabranim računskim radnjama i obrazlaže ih suprotnim njima tamo gdje je to moguće.

Oznake ishoda u izvoru: .5.2 (MTP-1.2.1), .5.3 (MTP-1.1.2). Oznake se čitaju uz odgovarajuću oblast i stranicu izvora.

Ova lekcija razrađuje sadržaje predmetnog kurikuluma KS za 5. razred. Matematika, štampana str. 23. Objašnjenja i zadaci su autorski. Raspored na portalu je urednički.