Proširivanje i skraćivanje razlomaka

Kako koristiti ovu lekciju?

Osnovni put učenja prema predmetnom kurikulumu KS.

🎯 Cilj lekcije Nakon ove lekcije ti ćeš moći:

objasniti zašto se vrijednost razlomka ne mijenja kad ga proširiš ili skratiš;
proširiti razlomak zadanim faktorom (npr. 23 → 812);
skratiti razlomak dijeljenjem brojnika i imenioca njihovim NZD-om;
prepoznati je li razlomak skraćen do kraja (do najmanjeg mogućeg oblika).

Prije nego počneš

Ponovi značenje brojnika i imenilaca. Nacrtaj dvije jednake cjeline i objasni zašto su 1/2 i 2/4 jednaki brojevi.

1. Šta je proširivanje?

Proširiti razlomak znači pomnožiti i brojnik i imenilac istim brojem. Vrijednost razlomka se pritom ne mijenja — samo ga drugačije zapisujemo, kao kad pizzu umjesto na 3 komada isječeš na 12 komada, a i dalje jedeš isti dio pizze.

23 = 2 · 43 · 4 = 812

Razlomci 23 i 812 imaju potpuno istu vrijednost — samo su drugačije zapisani.

2. Šta je skraćivanje?

Skratiti razlomak znači podijeliti i brojnik i imenilac istim brojem (koji mora biti djelitelj obaju). To je obrnuto od proširivanja — razlomak postaje „jednostavniji", ali mu je vrijednost i dalje ista.

1218 = 12 : 618 : 6 = 23

3. Veza sa NZD-om

Da razlomak skratiš do kraja u jednom koraku, podijeli brojnik i imenilac njihovim najvećim zajedničkim djeliteljem (NZD) — to si naučio/la u lekciji 6.1 NZD i NZS. Kada podijeliš s NZD-om, dobiješ razlomak koji se više ne može skratiti.

💡 Kako znaš da je razlomak skraćen do kraja? Razlomak je skraćen do kraja kad brojnik i imenilac nemaju zajedničkog djelitelja većeg od 1 — drugim riječima, kad je NZD(brojnik, imenilac) = 1.

4. Vizual: proširi ili skrati razlomak

🔍 Isprobaj proširivanje i skraćivanje

Upiši brojnik i imenilac. Dugmetom „Proširi" pomnožiš oba broja faktorom koji upišeš, a dugmetom „Skrati do kraja" program nađe NZD i odmah skrati razlomak na najmanji oblik.

Brojnik: Imenilac: Faktor proširivanja:

5. Rješavamo korak po korak: skrati 2436

NZD(24, 36)=12Nađi NZD(24, 36). Djelitelji broja 24: {1,2,3,4,6,8,12,24}. Djelitelji broja 36: {1,2,3,4,6,9,12,18,36}. Najveći zajednički je 12. NZD(24, 36) = 12.

24 : 12 = 2; 36 : 12 = 3Podijeli brojnik i imenilac sa NZD-om. 24 : 12 = 2, a 36 : 12 = 3.

2436=23Zapiši novi razlomak. 2436 = 23.

NZD(2, 3)=1Provjeri je li skraćen do kraja. NZD(2, 3) = 1, pa se 23 više ne može skratiti. Gotovo!

6. Dodatni primjer

Primjer: Skrati razlomak 1824 do kraja.
Rješenje: djelitelji broja 18 su {1,2,3,6,9,18}, a broja 24 su {1,2,3,4,6,8,12,24}. Najveći zajednički je NZD(18, 24) = 6. Dijelimo: 18 : 6 = 3, 24 : 6 = 4. Dakle 1824 = 34. Provjera: NZD(3, 4) = 1, pa je 34 konačan, skraćeni oblik.

Primjer iz života: Razred je naručio picu isječenu na 8 kriški. Marko je pojeo 2 kriške. Učiteljica kaže: "Marko je pojeo 14 pice." Da li je u pravu?
Rješenje: Marko je pojeo 28 pice (2 od 8 kriški). Tražimo NZD(2, 8) = 2. Skratimo: 2 : 28 : 2 = 14. Učiteljica je u pravu — 28 i 14 su isti dio pice, samo drugačije zapisani.

⚠️ Česte greške

Dijeljenje samo brojnika ili samo imenioca. Moraš podijeliti (ili pomnožiti) OBA broja istim brojem, inače mijenjaš vrijednost razlomka.
Miješanje proširivanja i skraćivanja. Proširivanje = množenje oba broja; skraćivanje = dijeljenje oba broja. Ne radi jedno pa drugo u istom koraku bez razloga.
Zaboravljanje provjere je li razlomak skraćen do kraja. Ako nakon dijeljenja brojnik i imenilac i dalje imaju zajednički djelitelj veći od 1, nastavi skraćivati (ili odmah koristi NZD da to izbjegneš).

Riješeni zadaci — korak po korak

Prati postupak red po red. Komentar uz svaki red objašnjava šta radiš. Prvo pokušaj samostalno, pa otkrij sljedeći korak.

Proširivanje razlomka

Primjer 1

Proširi razlomak 23 brojem 4.

23=2 · 43 · 4Brojnik i imenilac množi istim nenultim brojem.

23=812Izračunaj oba proizvoda.

8 : 4 = 2; 12 : 4 = 3Obrnutim postupkom provjeri zapis.

Primjer 2

Proširi razlomak 35 brojem 6.

35=3 · 65 · 6Brojnik i imenilac množi istim nenultim brojem.

35=1830Izračunaj oba proizvoda.

18 : 6 = 3; 30 : 6 = 5Obrnutim postupkom provjeri zapis.

Primjer 3

Proširi razlomak 58 brojem 3.

58=5 · 38 · 3Brojnik i imenilac množi istim nenultim brojem.

58=1524Izračunaj oba proizvoda.

15 : 3 = 5; 24 : 3 = 8Obrnutim postupkom provjeri zapis.

Skraćivanje do neskrativog oblika

Primjer 1

Skrati razlomak 1824 do kraja.

NZD(18, 24)=6Pronađi najveći broj koji dijeli brojnik i imenilac.

1824=18 : 624 : 6Oba broja podijeli istim djeliteljem.

1824=34Brojnik i imenilac rezultata su uzajamno prosti.

Primjer 2

Skrati razlomak 3550 do kraja.

NZD(35, 50)=5Pronađi najveći broj koji dijeli brojnik i imenilac.

3550=35 : 550 : 5Oba broja podijeli istim djeliteljem.

3550=710Brojnik i imenilac rezultata su uzajamno prosti.

Primjer 3

Skrati razlomak 4263 do kraja.

NZD(42, 63)=21Pronađi najveći broj koji dijeli brojnik i imenilac.

4263=42 : 2163 : 21Oba broja podijeli istim djeliteljem.

4263=23Brojnik i imenilac rezultata su uzajamno prosti.

✅ Kviz — provjeri sebe (4 pitanja)

1. Proširi razlomak 23 faktorom 4. Šta dobiješ?

2. Koliko je NZD(12, 18), koji koristimo za skraćivanje razlomka 12/18?

3. Skrati razlomak 24/36 do kraja koristeći NZD(24,36)=12. Šta dobiješ?

4. Da li je razlomak 3/4 skraćen do kraja?

Provjeri i objasni rezultat

Ponovo pročitaj šta se traži. Rezultat provjeri obrnutom operacijom ili drugim postupkom. Za račun 3/4 + 1/4 = 1 provjera oduzimanjem daje 1 − 1/4 = 3/4. Objasni svojim riječima zašto tvoj rezultat ima smisla.

Veza s programom: službeni kurikulum KS, 6. razred, štampana str. 29. Naslovi ciljeva su prilagođeni učeniku.