Nejednačine u skupu pozitivnih racionalnih brojeva

🎯 Cilj lekcije

Nakon ove lekcije možeš:

razlikovati jedno rješenje od skupa rješenja
riješiti osnovne nejednačine s pozitivnim brojevima
prikazati rješenje riječima i na brojevnoj polupravoj

1. Razumij pojam

Nejednačina koristi <, >, ≤ ili ≥ i obično ima više rješenja. U Q⁺ zapis x < 2 znači sve pozitivne racionalne brojeve manje od 2: 1, 1/2 i 1,99 jesu rješenja; 0 i 2 nisu. Na polupravoj praznim kružićem označi granicu koja ne pripada skupu, a punim granicu koja pripada.

Dodavanje ili oduzimanje istog broja na obje strane čuva redoslijed. Zato x + 1/4 < 3/4 daje x < 1/2, uz x > 0. Množenje i dijeljenje pozitivnim brojem također čuva znak: 2x > 3 daje x > 3/2, a x : 2 < 3 daje x < 6.

2. Poveži i objasni

Kod nepoznatog umanjioca posmatraj odnos pažljivo: 3 − x < 1 daje x > 2. Što više oduzimaš, manje ostaje. Možeš dodati x objema stranama, pa oduzeti 1: 3 < 1 + x, zatim 2 < x.

Za pozitivan x, iz 2 : x > 4 slijedi 2 > 4x, pa x < 1/2. Dozvoljeno je pomnožiti s x jer znamo da je pozitivan. Iz 2 : x < 4 slijedi x > 1/2. Uvijek napiši i uslov x > 0. Jedna provjerena vrijednost ne dokazuje da si našao cijeli skup rješenja.

3. Istraži i provjeri pretpostavku

Prije promjene odabira predvidi rezultat. Zatim uporedi svoj odgovor s prikazom i objasni razliku.

Izaberi x u desetinkama

4. Riješi korak po korak

x + 1,50 < 5Za užinu imaš 5 KM. Napitak košta 1,50 KM. Cijenu sendviča x želiš odabrati tako da ostane nešto novca: x + 1,50 < 5.

x < 3,50Oduzmi 1,50 s obje strane: x < 3,50.

0 < x < 3,50Cijena je pozitivna: 0 < x < 3,50. To je skup svih dozvoljenih pozitivnih racionalnih cijena ispod granice.

3 + 1,50 < 5; 3,50 + 1,50=5Provjeri: 3 KM daje ukupno 4,50 KM; 3,50 KM daje 5 KM i nije rješenje jer mora ostati nešto novca.

5. Primijeni znanje

Primjer: Riješi (x + 1/2) · 2 > 3. Podijeli sa 2: x + 1/2 > 3/2. Oduzmi 1/2: x > 1. Na polupravoj označi 1 praznim kružićem i osjenči udesno. Ako zadatak traži cijene u feningima, dodatno biramo vrijednosti u koracima od 0,01 KM.

6. Vježbaj i obrazloži

Riješi u Q⁺: x : 3 > 1/2; 2 − x < 1/4; 1 : x < 2. Za svaki skup navedi jednu vrijednost koja pripada i jednu koja ne pripada.

Rješenja

x > 3/2 (npr. 2 pripada, 1 ne); x > 7/4 (2 pripada, 1 ne); x > 1/2 (1 pripada, 1/4 ne). Uslov pozitivnosti je u svim slučajevima već ispunjen navedenim granicama.

7. Česte greške

⚠️ Zastani i provjeri

Ne nabrajaj samo nekoliko rješenja ako se traži cijeli skup.
Granica kod strogog znaka < ili > nije rješenje.
U Q⁺ ne uključuj nulu ili negativne brojeve.

Kada je nepoznata u djelitelju

U skupu Q⁺ znamo da je x > 0. Zato nejednačinu smijemo pomnožiti sa x bez promjene znaka. Ako to ne znaš, takav korak nije opravdan. Na kraju spoji dobijenu granicu s uslovom pozitivnosti i provjeri da li sama granica pripada skupu.

Nejednačine s pozitivnim nepoznatim djeliteljem — korak po korak

Primjer 1

Riješi 1 : x > 2 u Q⁺.

x > 0; 1/x > 2Djelilac je pozitivan i ne smije biti nula.

1 > 2xPomnoži obje strane pozitivnim x.

0 < x < 1/2Podijeli sa 2 i zadrži uslov pozitivnosti.

x = 1/4: 1 : (1/4) = 4 > 2Jedna provjera potvrđuje primjer rješenja; granica 1/2 nije uključena.

Primjer 2

Riješi (3/2) : x ≤ 3 u Q⁺.

x > 0; (3/2)/x ≤ 3Zapiši zadani skup.

3/2 ≤ 3xMnoženje pozitivnim x čuva znak.

x ≥ 1/2Podijeli obje strane sa 3. Granica je uključena.

(3/2) : (1/2) = 3 ≤ 3Provjeri baš granicu; ona je dozvoljena i zadovoljava uslov.

Primjer 3

Riješi 2 : (x + 1/2) > 1 u Q⁺.

x > 0; x + 1/2 > 0Cijeli djelilac je pozitivan.

2 > x + 1/2Pomnoži obje strane pozitivnim djeliteljem.

0 < x < 3/2Oduzmi 1/2 i spoji s uslovom x > 0.

x = 1: 2 : (1 + 1/2) = 4/3 > 1Provjeri vrijednost iz skupa. Za x = 3/2 dobija se 1, pa granica ne pripada.

Pokušaj samostalno

Riješi u Q⁺: 3 : x < 6; (1/2) : x ≥ 2; 1 : (x + 1/4) > 2. Uz svako rješenje zapiši uslov pozitivnosti.

Provjeri i obrazloži

Redom: x > 1/2; 0 < x ≤ 1/4; 0 < x < 1/4. U trećem zadatku množiš pozitivnim x + 1/4, pa 1 > 2x + 1/2 daje x < 1/4.

Riješeni zadaci — korak po korak

Prati postupak red po red. Komentar uz svaki red objašnjava šta radiš. Prvo pokušaj samostalno, pa otkrij sljedeći korak.

Nejednačina sa sabirom

Primjer 1

U skupu nenegativnih racionalnih brojeva riješi x + 13 < 56.

x < 56 − 13Oduzmi isti broj od obje strane.

x < 12Izračunaj granicu rješenja.

R={x ∈ ℚ : 0 ≤ x < 12}Uvaži skup brojeva u kojem rješavaš nejednačinu.

x=0: 0 + 13 < 56Provjeri jedno rješenje; sama granica nije uključena.

Primjer 2

U skupu nenegativnih racionalnih brojeva riješi x + 25 < 910.

x < 910 − 25Oduzmi isti broj od obje strane.

x < 12Izračunaj granicu rješenja.

R={x ∈ ℚ : 0 ≤ x < 12}Uvaži skup brojeva u kojem rješavaš nejednačinu.

x=0: 0 + 25 < 910Provjeri jedno rješenje; sama granica nije uključena.

Primjer 3

U skupu nenegativnih racionalnih brojeva riješi x + 34 < 78.

x < 78 − 34Oduzmi isti broj od obje strane.

x < 18Izračunaj granicu rješenja.

R={x ∈ ℚ : 0 ≤ x < 18}Uvaži skup brojeva u kojem rješavaš nejednačinu.

x=0: 0 + 34 < 78Provjeri jedno rješenje; sama granica nije uključena.

Nejednačina sa pozitivnim faktorom

Primjer 1

U skupu nenegativnih racionalnih brojeva riješi x · 13 < 56.

x < 56 : 13Podijeli obje strane pozitivnim brojem; znak nejednakosti ostaje isti.

x < 52Izračunaj granicu rješenja.

R={x ∈ ℚ : 0 ≤ x < 52}Uvaži skup brojeva u kojem rješavaš nejednačinu.

x=0: 0 · 13 < 56Provjeri jedno rješenje; sama granica nije uključena.

Primjer 2

U skupu nenegativnih racionalnih brojeva riješi x · 25 < 910.

x < 910 : 25Podijeli obje strane pozitivnim brojem; znak nejednakosti ostaje isti.

x < 94Izračunaj granicu rješenja.

R={x ∈ ℚ : 0 ≤ x < 94}Uvaži skup brojeva u kojem rješavaš nejednačinu.

x=0: 0 · 25 < 910Provjeri jedno rješenje; sama granica nije uključena.

Primjer 3

U skupu nenegativnih racionalnih brojeva riješi x · 34 < 78.

x < 78 : 34Podijeli obje strane pozitivnim brojem; znak nejednakosti ostaje isti.

x < 76Izračunaj granicu rješenja.

R={x ∈ ℚ : 0 ≤ x < 76}Uvaži skup brojeva u kojem rješavaš nejednačinu.

x=0: 0 · 34 < 78Provjeri jedno rješenje; sama granica nije uključena.

8. Provjeri znanje

1. Riješi x + 0,5 < 2 u Q⁺.

2. Koje je rješenje 3 − x > 1 u Q⁺?

3. Riješi 3 : x > 6 u Q⁺.

Svaki pokušaj ti pokazuje šta već razumiješ. Ako zapneš, ponovi objašnjenje i riješeni primjer prije novog pokušaja.

Veza s kurikulumom

Osnovni program 6. razreda: Matematika — službeni predmetni kurikulum KS, štampana str. 29. Ciljevi iznad su učeniku prilagođena objašnjenja, a ne službene šifre ishoda.