Početna / 7. razred / 7.1 Stepenovanje / Množenje i dijeljenje stepena

Množenje i dijeljenje stepena

Pokreni prezentaciju →

Kako koristiti ovu lekciju?

Dodatno gradivo i priprema za naredno učenje. Ova stranica nije dio preporučenog osnovnog puta ovog razreda.

🎯 Cilj lekcije Nakon ove lekcije znat ćeš:
  • pomnožiti stepene iste baze sabiranjem izložilaca (aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ),
  • podijeliti stepene iste baze oduzimanjem izložilaca (aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ),
  • objasniti pravilo na primjerima 2³ · 2⁴ = 128 i 5⁶ : 5² = 625,
  • prepoznati kada pravilo NE važi (različite baze).

Prije nego počneš

Ponovi redoslijed računskih operacija. Zagrade imaju prednost; množenje i dijeljenje računaju se prije sabiranja i oduzimanja. Uz svaki broj zadrži njegov znak.

1. Množenje stepena istih baza

Kad množiš stepene s istom bazom, bazu samo prepišeš, a izložioce sabereš:

aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ

Na primjer: 2³ · 2⁴ = 2³⁺⁴ = 2⁷ = 128. Umjesto da množiš 8 · 16, samo sabereš 3 + 4 = 7.

2. Zašto pravilo radi?

Raspiši sve, korak po korak: 2³ · 2⁴ = (2 · 2 · 2) · (2 · 2 · 2 · 2). Prebroj dvojke: ima ih 3 + 4 = 7. Dakle rezultat je 2⁷. Sabiranje izložilaca je samo prečica za brojanje istih faktora!

3. Dijeljenje stepena istih baza

Kod dijeljenja radiš obrnuto: bazu prepišeš, a izložioce oduzmeš:

aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ  (m > n)

Na primjer: 5⁶ : 5² = 5⁶⁻² = 5⁴ = 625. Provjera: 5⁶ = 15 625, 5² = 25, a 15 625 : 25 = 625. Tačno!

4. Vizual: saberi ili oduzmi izložioce

⚙️ Složi svoje stepene

Upiši izložioce m i n (od 0 do 6) i izaberi operaciju. Baza je uvijek 2, pa gledaj kako se izložioci sabiraju ili oduzimaju. Kod dijeljenja uzmi m veće ili jednako n.

2³ · 2⁴ = 2⁷ = 128

Postupak: izložioci se sabiraju: 3 + 4 = 7, pa je 2⁷ = 128.

5. Šta kad su izložioci jednaki? Nulti stepen

Ako dijeliš 7⁵ : 7⁵, pravilo kaže 7⁵⁻⁵ = 7⁰. A svaki broj podijeljen samim sobom je 1! Zato vrijedi:

a⁰ = 1  (a ≠ 0)

Na primjer, 7⁵ : 7⁵ = 1, pa je 7⁰ = 1. Isto vrijedi i za 3⁰ = 1 i 10⁰ = 1.

6. Primjer korak po korak: 2³ · 2⁴

Riješimo zajedno, korak po korak, cijeli postupak — od raspisivanja do konačnog broja 128.

2³ · 2⁴Provjeri baze. Oba stepena imaju bazu 2 → pravilo smije da se koristi (aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ).
2³ · 2⁴=2⁷Saberi izložioce. 3 + 4 = 7, pa je 2³ · 2⁴ = 2⁷.
2⁷=2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2Raspiši novi stepen. 2⁷ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 (sedam dvojki).
4 → 8 → 16 → 32 → 64 → 128Množi postepeno. 2 · 2 = 4 → 4 · 2 = 8 → 8 · 2 = 16 → 16 · 2 = 32 → 32 · 2 = 64 → 64 · 2 = 128.
2³ · 2⁴ = 8 · 16 = 128Zapiši rješenje i provjeri. 2³ = 8 i 2⁴ = 16, a 8 · 16 = 128. ✅ Rješenje: 2³ · 2⁴ = 128.

7. Primjer dijeljenja korak po korak: 5⁶ : 5²

Primjer: 5⁶ : 5² = 5⁶⁻² = 5⁴ = 5 · 5 · 5 · 5 = 25 · 25 = 625. Rješenje: 625. Provjera dijeljenjem: 15 625 : 25 = 625. ✅
Primjer iz života: Fabrika čokolade pakuje čokoladice u kutije: u jednoj maloj kutiji je 3² (9) čokoladica, a u jednoj velikoj kutiji stane 3³ malih kutija. Koliko je ukupno čokoladica u velikoj kutiji? To je množenje istih baza: 3² · 3³ = 3²⁺³ = 3⁵ = 243 čokoladice. A ako iz velike kutije (243 čokoladice) hoćemo vratiti čokoladice u male kutije od 9 komada, dijelimo: 3⁵ : 3² = 3⁵⁻² = 3³ = 27 malih kutija.
⚠️ Česte greške
  • Ne sabiraj baze! 2³ · 3³ nije 5⁶ (= 15 625), jer se baze ne sabiraju (2 + 3 = 5). Tačno je (2 · 3)³ = 6³ = 216. Pravilo sa sabiranjem izložilaca važi samo za iste baze.
  • Ne množi izložioce kod množenja stepena! 2³ · 2⁴ nije 2¹² (= 4 096) nego 2⁷ = 128. Izložioci se sabiraju, ne množe.
  • Kod dijeljenja se oduzima: 5⁶ : 5² = 5⁴ = 625, a ne 5³ (= 125). Računaj 6 − 2 = 4 pažljivo.

Riješeni zadaci — korak po korak

Prati postupak red po red. Komentar uz svaki red objašnjava šta radiš. Prvo pokušaj samostalno, pa otkrij sljedeći korak.

Proizvod stepena istih baza

Primjer 1

Izračunaj 2³ · 2².

2³ · 2²=2³ · 2²Provjeri da su baze jednake i nenulte kod dijeljenja.
=23 + 2Kod množenja saberi izložioce.
= 2⁵ = 32Izračunaj dobijeni stepen.

Primjer 2

Izračunaj 3² · 3³.

3² · 3³=3² · 3³Provjeri da su baze jednake i nenulte kod dijeljenja.
=32 + 3Kod množenja saberi izložioce.
= 3⁵ = 243Izračunaj dobijeni stepen.

Primjer 3

Izračunaj 5¹ · 5².

5¹ · 5²=5¹ · 5²Provjeri da su baze jednake i nenulte kod dijeljenja.
=51 + 2Kod množenja saberi izložioce.
= 5³ = 125Izračunaj dobijeni stepen.

Količnik stepena istih baza

Primjer 1

Izračunaj 2⁶ : 2³.

2⁶ : 2³=2⁶ : 2³Provjeri da su baze jednake i nenulte kod dijeljenja.
=26 − 3Kod dijeljenja oduzmi izložioce.
= 2³ = 8Izračunaj dobijeni stepen.

Primjer 2

Izračunaj 3⁵ : 3².

3⁵ : 3²=3⁵ : 3²Provjeri da su baze jednake i nenulte kod dijeljenja.
=35 − 2Kod dijeljenja oduzmi izložioce.
= 3³ = 27Izračunaj dobijeni stepen.

Primjer 3

Izračunaj 7³ : 7³.

7³ : 7³=7³ : 7³Provjeri da su baze jednake i nenulte kod dijeljenja.
=73 − 3Kod dijeljenja oduzmi izložioce.
= 7⁰ = 1Izračunaj dobijeni stepen.

Nulti stepen nenultog broja

Primjer 1

Izračunaj 2³ : 2³ i odredi 2⁰.

2³ : 2³=1Nenulti broj podijeljen samim sobom daje jedan.
2³ : 2³ = 23 − 3 = 2⁰Primijeni pravilo za količnik stepena istih baza.
2⁰=1Nulti stepen svakog nenultog broja jednak je 1.

Primjer 2

Izračunaj 5² : 5² i odredi 5⁰.

5² : 5²=1Nenulti broj podijeljen samim sobom daje jedan.
5² : 5² = 52 − 2 = 5⁰Primijeni pravilo za količnik stepena istih baza.
5⁰=1Nulti stepen svakog nenultog broja jednak je 1.

Primjer 3

Izračunaj 10⁴ : 10⁴ i odredi 10⁰.

10⁴ : 10⁴=1Nenulti broj podijeljen samim sobom daje jedan.
10⁴ : 10⁴ = 104 − 4 = 10⁰Primijeni pravilo za količnik stepena istih baza.
10⁰=1Nulti stepen svakog nenultog broja jednak je 1.

Kviz — provjeri sebe

1. Koliko je 3² · 3³?

2. Koliko je 5⁶ : 5²?

3. Koliko je 2³ · 2?

4. Koliko je 7⁵ : 7⁵?

Provjeri i objasni rezultat

Ponovo pročitaj šta se traži. Rezultat provjeri obrnutom operacijom ili drugim postupkom. Za račun 3/4 + 1/4 = 1 provjera oduzimanjem daje 1 − 1/4 = 3/4. Objasni svojim riječima zašto tvoj rezultat ima smisla.

Oznaka dodatnog gradiva čuva dostupnost ranije objavljene lekcije. Za obavezni redoslijed koristi pregled razreda.

← PrethodnaSljedeća →