Početna / 7. razred / 7.1 Stepenovanje / Stepen stepena

Stepen stepena

Pokreni prezentaciju →

Kako koristiti ovu lekciju?

Dodatno gradivo i priprema za naredno učenje. Ova stranica nije dio preporučenog osnovnog puta ovog razreda.

🎯 Cilj lekcije Nakon ove lekcije znat ćeš:
  • stepenovati stepen množenjem izložilaca: (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ,
  • stepenovati proizvod: (a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ,
  • stepenovati količnik: (a : b)ⁿ = aⁿ : bⁿ,
  • riješiti primjere (2³)² = 64 i (2 · 3)² = 36 cijelim postupkom.

Prije nego počneš

Ponovi redoslijed računskih operacija. Zagrade imaju prednost; množenje i dijeljenje računaju se prije sabiranja i oduzimanja. Uz svaki broj zadrži njegov znak.

1. Pravilo: stepen stepena

Kad stepen još jednom stepenuješ, bazu prepišeš, a izložioce pomnožiš:

(aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ

Na primjer: (2³)² = 2³·² = 2⁶ = 64. Pazi: ovdje se izložioci množe (3 · 2 = 6), za razliku od prošle lekcije gdje su se sabirali!

2. Zašto množimo izložioce?

Raspiši, korak po korak: (2³)² znači 2³ · 2³. Po pravilu iz prošle lekcije sabereš izložioce: 3 + 3 = 6. A 3 + 3 je isto što i 3 · 2! Zato (2³)² = 2⁶ = 64. Množenje izložilaca je prečica za sabiranje istih brojeva.

3. Stepen proizvoda

Kad stepenuješ proizvod, stepenuj svaki faktor posebno:

(a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ
Primjer: (2 · 3)² = 2² · 3² = 4 · 9 = 36. Provjera: 2 · 3 = 6, a 6² = 36. ✅ Oba puta isto!

4. Stepen količnika

Isto vrijedi i za dijeljenje — stepenuj i brojnik i imenilac:

(a : b)ⁿ = aⁿ : bⁿ  (b ≠ 0)

Na primjer: (6 : 2)² = 6² : 2² = 36 : 4 = 9. Provjera: 6 : 2 = 3, a 3² = 9. ✅

5. Vizual: kalkulator stepena stepena

⚙️ Složi svoj stepen stepena

Upiši bazu a i izložioce m i n (0–5). Kalkulator primjenjuje pravilo (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ i pokazuje cijeli postupak.

(2³)² = 2⁶ = 64

Postupak: izložioci se množe: 3 · 2 = 6, pa je 2⁶ = 64.

6. Primjer korak po korak: (2³)²

Riješimo zajedno, korak po korak, cijeli postupak do broja 64.

(2³)²Prepoznaj pravilo. Vanjski stepen obuhvata cijeli (2³) → koristi (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ.
(2³)²=2⁶Pomnoži izložioce. 3 · 2 = 6, pa je (2³)² = 2⁶.
2⁶=2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2Raspiši novi stepen. 2⁶ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 (šest dvojki).
4 → 8 → 16 → 32 → 64Množi postepeno. 2 · 2 = 4 → 8 → 16 → 32 → 64.
(2³)² = 8² = 64Provjeri drugim putem. (2³)² = 8² = 64. ✅ Rješenje: (2³)² = 64.

7. Drugi primjer: (2 · 3)² = 36

Primjer: (2 · 3)² = 2² · 3² = 4 · 9 = 36. Svaki faktor stepenuj posebno, pa pomnoži: 4 · 9 = 36. Provjera: (6)² = 36. ✅
Primjer iz života: U prodavnici igračaka svaka mala kutija ima 4² (16) autića (4 reda po 4 autića). Na policu staje 4² (16) takvih kutija, poredanih u kvadrat. Koliko je ukupno autića na toj polici? To je stepen stepena: (4²)² = 4²·² = 4⁴ = 4 · 4 · 4 · 4 = 256 autića!
⚠️ Česte greške
  • Ne sabiraj izložioce kod stepena stepena! (2³)² nije 2⁵ (= 32) nego 2⁶ = 64. Ovdje se množi: 3 · 2 = 6.
  • Ne zaboravi nijedan faktor: (2 · 3)² nije 2 · 3² (= 18) nego 2² · 3² = 36. Oba faktora dobijaju stepen.
  • Zagrade su obavezne: zapis (2³)² = 2⁶ = 64 nije isto što i 2^(3²) = 2⁹ = 512. Zapis 2³² znači 2 na trideset drugi stepen. Uvijek jasno zapiši zagrade i nivo izložioca.

Riješeni zadaci — korak po korak

Prati postupak red po red. Komentar uz svaki red objašnjava šta radiš. Prvo pokušaj samostalno, pa otkrij sljedeći korak.

Stepen stepena

Primjer 1

Izračunaj (2²)³.

(2²)³=2² · 2² · 2²Stepen u zagradi ponovi kao faktor.
=22 · 3Izložioce pomnoži.
= 2⁶ = 64Izračunaj stepen.

Primjer 2

Izračunaj (3²)².

(3²)²=3² · 3²Stepen u zagradi ponovi kao faktor.
=32 · 2Izložioce pomnoži.
= 3⁴ = 81Izračunaj stepen.

Primjer 3

Izračunaj (5¹)³.

(5¹)³=5¹ · 5¹ · 5¹Stepen u zagradi ponovi kao faktor.
=51 · 3Izložioce pomnoži.
= 5³ = 125Izračunaj stepen.

Stepen proizvoda

Primjer 1

Izračunaj (2 · 5)² na dva načina.

(2 · 5)² = 10² = 100Prvo izračunaj proizvod, pa ga kvadriraj.
2² · 5²=4 · 25Isti eksponent možeš primijeniti na oba faktora.
4 · 25=100Oba postupka moraju dati isti rezultat.

Primjer 2

Izračunaj (3 · 4)² na dva načina.

(3 · 4)² = 12² = 144Prvo izračunaj proizvod, pa ga kvadriraj.
3² · 4²=9 · 16Isti eksponent možeš primijeniti na oba faktora.
9 · 16=144Oba postupka moraju dati isti rezultat.

Primjer 3

Izračunaj (2 · 7)² na dva načina.

(2 · 7)² = 14² = 196Prvo izračunaj proizvod, pa ga kvadriraj.
2² · 7²=4 · 49Isti eksponent možeš primijeniti na oba faktora.
4 · 49=196Oba postupka moraju dati isti rezultat.

Stepen količnika

Primjer 1

Izračunaj (23)².

(23)²=2²/3²Kvadriraj i brojnik i nenulti imenilac.
=49Izračunaj kvadrate.
(23) · (23)=49Provjeri ponovljenim množenjem.

Primjer 2

Izračunaj (35)².

(35)²=3²/5²Kvadriraj i brojnik i nenulti imenilac.
=925Izračunaj kvadrate.
(35) · (35)=925Provjeri ponovljenim množenjem.

Primjer 3

Izračunaj (47)².

(47)²=4²/7²Kvadriraj i brojnik i nenulti imenilac.
=1649Izračunaj kvadrate.
(47) · (47)=1649Provjeri ponovljenim množenjem.

Kviz — provjeri sebe

1. Koliko je (2²)³?

2. Koliko je (3²)³?

3. Koliko je (5 · 2)²?

4. Koliko je (10²)²?

Provjeri i objasni rezultat

Ponovo pročitaj šta se traži. Rezultat provjeri obrnutom operacijom ili drugim postupkom. Za račun 3/4 + 1/4 = 1 provjera oduzimanjem daje 1 − 1/4 = 3/4. Objasni svojim riječima zašto tvoj rezultat ima smisla.

Oznaka dodatnog gradiva čuva dostupnost ranije objavljene lekcije. Za obavezni redoslijed koristi pregled razreda.

← PrethodnaSljedeća →