Algebarski izrazi i monomi

Kako koristiti ovu lekciju?

Dodatno gradivo i priprema za naredno učenje. Ova stranica nije dio preporučenog osnovnog puta ovog razreda.

🎯 Cilj lekcije Nakon ove lekcije znat ćeš:

prepoznati algebarski izraz i objasniti šta znači slovo (nepoznata) u izrazu,
u monomu odrediti koeficijent i slovni dio,
izračunati stepen monoma sabiranjem izložilaca slova,
prepoznati slične monome (isti slovni dio).

Prije nego počneš

Ponovi redoslijed računskih operacija. Zagrade imaju prednost; množenje i dijeljenje računaju se prije sabiranja i oduzimanja. Uz svaki broj zadrži njegov znak.

1. Šta je algebarski izraz?

Do sada si u izrazima imao/la samo brojeve, npr. 3 + 5 · 2. Algebarski izraz je izraz u kojem se, pored brojeva, pojavljuju i slova (npr. x, y, a, b) koja predstavljaju nepoznati ili promjenljivi broj. Na primjer, 3x + 7 je algebarski izraz: kad umjesto x uvrstimo neki broj, dobijemo vrijednost izraza.

Na primjer, za x = 2 vrijedi 3x + 7 = 3 · 2 + 7 = 13. Za x = 5 dobijamo 3 · 5 + 7 = 22 — vrijednost izraza zavisi od toga koji broj uvrstimo umjesto slova.

2. Monom: koeficijent i stepen

Monom je najjednostavniji algebarski izraz: broj pomnožen sa slovima stepenovanim prirodnim brojem, bez sabiranja i oduzimanja unutar njega. Na primjer: 5x², −3ab, 7, x³y².

monom = koeficijent · slovni dio

Broj ispred slova zove se koeficijent, a dio sa slovima je slovni dio. Stepen monoma je zbir izložilaca svih slova u njemu.

Primjer: u monomu −4a³b² koeficijent je −4, slovni dio je a³b², a stepen monoma je 3 + 2 = 5. Ako slovo nema napisan izložilac (npr. kod b u monomu 2b), smatramo da je izložilac 1.

3. Slični monomi

Dva monoma su slična ako imaju isti slovni dio (ista slova sa istim izložiocima) — koeficijenti mogu biti različiti. Na primjer, 3x²y i −5x²y su slični monomi (oba imaju x²y), dok 3x²y i 3xy² nisu slični (izložioci slova x i y su zamijenjeni).

4. Polinom

Polinom je zbir (ili razlika) više monoma, npr. 3x² + 2x − 5. Svaki monom u polinomu zove se član polinoma. Polinom sa jednim članom je monom, sa dva člana zove se binom (npr. x + 3), a sa tri člana trinom (npr. x² + 2x + 1).

5. Vizual: razloži monom na dijelove

🔍 Analizator monoma

Upiši koeficijent te izložioce slova a i b (0–6; izložilac 0 znači da to slovo ne postoji u monomu) i vidi koeficijent, slovni dio i stepen monoma.

koeficijent izložilac a izložilac b

−4a³b²

Koeficijent: −4 • Slovni dio: a³b² • Stepen monoma: 3 + 2 = 5

6. Primjer korak po korak: odredi stepen monoma 6x⁴y

Riješimo zajedno, korak po korak, kako se određuju koeficijent i stepen monoma 6x⁴y.

Koeficijent: 6Pronađi koeficijent. Broj ispred slova je 6 — to je koeficijent.

Slovni dio: x⁴y¹Pronađi slovni dio. Ostaje x⁴y — slovo y nema napisan izložilac, pa je on 1 (y = y¹).

Stepen: 4 + 1=5Saberi izložioce. Stepen monoma je zbir svih izložilaca slova: 4 + 1 = 5.

6x⁴y: stepen 5Zapiši rješenje. Koeficijent je 6, slovni dio x⁴y, a stepen monoma je 5.

Primjer: u monomu 7a²bc³ koeficijent je 7, a stepen monoma je 2 + 1 + 3 = 6 (slovo b bez izložioca računamo kao b¹).

Primjer iz geometrije: Jedna kutija ima kvadratnu osnovicu stranice x cm i visinu y cm. Zapremina je x · x · y = x²y cm³. Šest takvih kutija ima zapreminu 6x²y cm³. Koeficijent je 6, slovni dio x²y, a stepen monoma 2 + 1 = 3.

⚠️ Česte greške

Ne zaboravi slovo bez izložioca: u monomu 3ab² izložilac slova a je 1, a ne 0 — slovo bez izložioca uvijek znači izložilac 1.
Stepen monoma se SABIRA, ne množi: stepen monoma 2x³y² je 3 + 2 = 5, a ne 3 · 2 = 6.
Slični monomi moraju imati iste izložioce kod istih slova: 3x²y i 3xy² nisu slični jer su izložioci x i y zamijenjeni.

Riješeni zadaci — korak po korak

Prati postupak red po red. Komentar uz svaki red objašnjava šta radiš. Prvo pokušaj samostalno, pa otkrij sljedeći korak.

Vrijednost izraza za zadano slovo

Primjer 1

Izračunaj vrijednost izraza 3x + 4 za x = 2.

3x + 4=3 · (2) + 4Umjesto slova upiši zadani broj, sa zagradama za negativan broj.

=6 + 4Prvo izračunaj proizvod.

=10Zatim saberi.

Primjer 2

Izračunaj vrijednost izraza 5x + 2 za x = -3.

5x + 2=5 · (−3) + 2Umjesto slova upiši zadani broj, sa zagradama za negativan broj.

=−15 + 2Prvo izračunaj proizvod.

=−13Zatim saberi.

Primjer 3

Izračunaj vrijednost izraza 2x + 7 za x = 4.

2x + 7=2 · (4) + 7Umjesto slova upiši zadani broj, sa zagradama za negativan broj.

=8 + 7Prvo izračunaj proizvod.

=15Zatim saberi.

Koeficijent, stepen monoma i slični monomi

Primjer 1

Odredi koeficijent i stepen monoma 4x²y³.

Koeficijent=4Brojevni faktor uključuje i svoj znak.

Stepen = 2 + 3 = 5Saberi izložioce svih promjenljivih.

Slovni dio: x²y³Sličan monom mora imati iste promjenljive s istim izložiocima.

Primjer 2

Odredi koeficijent i stepen monoma −3x⁴y¹.

Koeficijent=−3Brojevni faktor uključuje i svoj znak.

Stepen = 4 + 1 = 5Saberi izložioce svih promjenljivih.

Slovni dio: x⁴y¹Sličan monom mora imati iste promjenljive s istim izložiocima.

Primjer 3

Odredi koeficijent i stepen monoma 7x¹y².

Koeficijent=7Brojevni faktor uključuje i svoj znak.

Stepen = 1 + 2 = 3Saberi izložioce svih promjenljivih.

Slovni dio: x¹y²Sličan monom mora imati iste promjenljive s istim izložiocima.

Kviz — provjeri sebe

1. Koji je koeficijent monoma −7x³y?

2. Koliki je stepen monoma 2a²b³?

3. Koji je od ponuđenih monoma sličan sa 5x²y?

4. Koliko članova ima polinom 4x² − 3x + 1?

Provjeri i objasni rezultat

Ponovo pročitaj šta se traži. Rezultat provjeri obrnutom operacijom ili drugim postupkom. Za račun 3/4 + 1/4 = 1 provjera oduzimanjem daje 1 − 1/4 = 3/4. Objasni svojim riječima zašto tvoj rezultat ima smisla.

Oznaka dodatnog gradiva čuva dostupnost ranije objavljene lekcije. Za obavezni redoslijed koristi pregled razreda.