Množenje polinoma

Kako koristiti ovu lekciju?

Dodatno gradivo i priprema za naredno učenje. Ova stranica nije dio preporučenog osnovnog puta ovog razreda.

🎯 Cilj lekcije Nakon ove lekcije znat ćeš:

pomnožiti dva monoma (koeficijenti se množe, izložioci istih slova se sabiraju),
pomnožiti monom s polinomom koristeći distributivni zakon,
pomnožiti dva polinoma — svaki član jednog sa svakim članom drugog,
prepoznati formule (a + b)² i (a − b)(a + b).

Prije nego počneš

Ponovi redoslijed računskih operacija. Zagrade imaju prednost; množenje i dijeljenje računaju se prije sabiranja i oduzimanja. Uz svaki broj zadrži njegov znak.

1. Množenje monoma

Kad množiš dva monoma, posebno pomnožiš koeficijente, a izložioce istih slova sabereš (kao kod množenja stepena istih baza iz oblasti 7.1).

3x² · 4x³ = 12x⁵

Koeficijenti: 3 · 4 = 12. Izložioci slova x: 2 + 3 = 5. Rezultat: 12x⁵.

2. Monom puta polinom

Kad monom množiš sa polinomom, koristiš distributivni zakon — monom pomnožiš sa svakim članom polinoma posebno:

a(b + c) = ab + ac

Primjer: 2x(x² − 3x + 4) = 2x · x² − 2x · 3x + 2x · 4 = 2x³ − 6x² + 8x.

3. Polinom puta polinom

Kad množiš dva polinoma, svaki član prvog polinoma pomnožiš sa svakim članom drugog polinoma, pa spojiš slične monome.

(x + 2)(x + 3) = x·x + x·3 + 2·x + 2·3 = x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6

Provjera za x = 1: lijeva strana (1+2)(1+3) = 3 · 4 = 12; desna strana 1 + 5 + 6 = 12. ✅

4. Dvije korisne formule

Neke proizvode binoma vrijedi upamtiti jer se često javljaju:

(a + b)² = a² + 2ab + b² • (a − b)(a + b) = a² − b²

Primjer: (x + 3)² = x² + 2 · x · 3 + 3² = x² + 6x + 9. I: (x − 2)(x + 2) = x² − 2² = x² − 4 (razlika kvadrata).

5. Vizual: pomnoži dva binoma

✖️ Množenje binoma (x + m)(x + n)

Upiši brojeve m i n (od −9 do 9) i vidi kako se (x + m)(x + n) množi svaki sa svakim do rezultata x² + (m+n)x + mn.

m n

(x + 3)(x − 5) = x² − 2x − 15

x · x = x²; x · n + m · x = (m+n)x; m · n = slobodni član.

6. Primjer korak po korak: (x + 3)(x − 5)

Riješimo zajedno, korak po korak, cijeli postupak množenja dva binoma.

x · x=x²Pomnoži prve članove. x · x = x².

x · (−5)=−5xPomnoži spoljašnje članove. x · (−5) = −5x.

3 · x=3xPomnoži unutrašnje članove. 3 · x = 3x.

3 · (−5)=−15Pomnoži posljednje članove. 3 · (−5) = −15.

x² − 5x + 3x − 15=x² − 2x − 15Saberi sve i spoji slične. x² − 5x + 3x − 15 = x² − 2x − 15. Rješenje: (x + 3)(x − 5) = x² − 2x − 15.

Primjer: (2x − 1)(x + 4) = 2x · x + 2x · 4 − 1 · x − 1 · 4 = 2x² + 8x − x − 4 = 2x² + 7x − 4.

Primjer iz života: Pod sobe je pravougaonog oblika, dužina mu je (x + 5) metara, a širina (x − 3) metara. Površinu poda računaš množenjem dužine i širine: (x + 5)(x − 3) = x·x − x·3 + 5·x − 5·3 = x² − 3x + 5x − 15 = x² + 2x − 15 kvadratnih metara.

⚠️ Česte greške

Ne zaboravi nijedan proizvod: kod (x + 3)(x − 5) moraš imati 4 proizvoda (x·x, x·(−5), 3·x, 3·(−5)), ne samo prve i posljednje.
Pazi na znakove: 3 · (−5) = −15, a ne +15. Minus se prenosi u proizvod.
(a + b)² nije a² + b²! Mora se dodati i srednji član 2ab: (x + 3)² = x² + 6x + 9, a ne samo x² + 9.

Riješeni zadaci — korak po korak

Prati postupak red po red. Komentar uz svaki red objašnjava šta radiš. Prvo pokušaj samostalno, pa otkrij sljedeći korak.

Množenje monoma

Primjer 1

Pomnoži 2x² i (3x³).

2x² · (3x³)=(2 · (3)) · (x² · x³)Odvojeno grupiši brojevne i slovne faktore.

=6 · x^{2 + 3}Pomnoži koeficijente, a izložioce iste baze saberi.

=6x⁵Zapiši dobijeni monom.

Primjer 2

Pomnoži 4x¹ i (−2x⁴).

4x¹ · (−2x⁴)=(4 · (−2)) · (x¹ · x⁴)Odvojeno grupiši brojevne i slovne faktore.

=−8 · x^{1 + 4}Pomnoži koeficijente, a izložioce iste baze saberi.

=−8x⁵Zapiši dobijeni monom.

Primjer 3

Pomnoži -3x³ i (−5x²).

-3x³ · (−5x²)=(-3 · (−5)) · (x³ · x²)Odvojeno grupiši brojevne i slovne faktore.

=15 · x^{3 + 2}Pomnoži koeficijente, a izložioce iste baze saberi.

=15x⁵Zapiši dobijeni monom.

Monom puta polinom

Primjer 1

Pomnoži 2x(x + 3).

2x(x + 3)=2x · x + 2x · 3Monom pomnoži svakim članom polinoma.

=2x² + 6xIzračunaj svaki proizvod.

x = 1: 2 · (1 + 3) = 8Provjeri jednakost izraza za jednu jednostavnu vrijednost.

Primjer 2

Pomnoži 3x(x + 5).

3x(x + 5)=3x · x + 3x · 5Monom pomnoži svakim članom polinoma.

=3x² + 15xIzračunaj svaki proizvod.

x = 1: 3 · (1 + 5) = 18Provjeri jednakost izraza za jednu jednostavnu vrijednost.

Primjer 3

Pomnoži 4x(x + 2).

4x(x + 2)=4x · x + 4x · 2Monom pomnoži svakim članom polinoma.

=4x² + 8xIzračunaj svaki proizvod.

x = 1: 4 · (1 + 2) = 12Provjeri jednakost izraza za jednu jednostavnu vrijednost.

Binom puta binom

Primjer 1

Pomnoži (x + 2)(x + 5).

=x · x + x · 5 + 2 · x + 2 · 5Svaki član prvog binoma pomnoži svakim članom drugog.

=x² + 5x + 2x + 10Izračunaj četiri proizvoda.

=x² + 7x + 10Saberi slične članove.

Primjer 2

Pomnoži (x + 3)(x + 4).

=x · x + x · 4 + 3 · x + 3 · 4Svaki član prvog binoma pomnoži svakim članom drugog.

=x² + 4x + 3x + 12Izračunaj četiri proizvoda.

=x² + 7x + 12Saberi slične članove.

Primjer 3

Pomnoži (x + 1)(x + 6).

=x · x + x · 6 + 1 · x + 1 · 6Svaki član prvog binoma pomnoži svakim članom drugog.

=x² + 6x + 1x + 6Izračunaj četiri proizvoda.

=x² + 7x + 6Saberi slične članove.

Kvadrat zbira

Primjer 1

Razvij (x + 2)².

(x + 2)²=(x + 2)(x + 2)Kvadrat napiši kao proizvod dva ista binoma.

=x² + 2x + 2x + 4Primijeni množenje svakog člana sa svakim.

=x² + 4x + 4Saberi slične članove. Kvadrat posljednjeg člana je pozitivan.

Primjer 2

Razvij (x + 3)².

(x + 3)²=(x + 3)(x + 3)Kvadrat napiši kao proizvod dva ista binoma.

=x² + 3x + 3x + 9Primijeni množenje svakog člana sa svakim.

=x² + 6x + 9Saberi slične članove. Kvadrat posljednjeg člana je pozitivan.

Primjer 3

Razvij (x + 5)².

(x + 5)²=(x + 5)(x + 5)Kvadrat napiši kao proizvod dva ista binoma.

=x² + 5x + 5x + 25Primijeni množenje svakog člana sa svakim.

=x² + 10x + 25Saberi slične članove. Kvadrat posljednjeg člana je pozitivan.

Kvadrat razlike

Primjer 1

Razvij (x − 2)².

(x − 2)²=(x − 2)(x − 2)Kvadrat napiši kao proizvod dva ista binoma.

=x² − 2x − 2x + 4Primijeni množenje svakog člana sa svakim.

=x² − 4x + 4Saberi slične članove. Kvadrat posljednjeg člana je pozitivan.

Primjer 2

Razvij (x − 3)².

(x − 3)²=(x − 3)(x − 3)Kvadrat napiši kao proizvod dva ista binoma.

=x² − 3x − 3x + 9Primijeni množenje svakog člana sa svakim.

=x² − 6x + 9Saberi slične članove. Kvadrat posljednjeg člana je pozitivan.

Primjer 3

Razvij (x − 5)².

(x − 5)²=(x − 5)(x − 5)Kvadrat napiši kao proizvod dva ista binoma.

=x² − 5x − 5x + 25Primijeni množenje svakog člana sa svakim.

=x² − 10x + 25Saberi slične članove. Kvadrat posljednjeg člana je pozitivan.

Proizvod zbira i razlike

Primjer 1

Pomnoži (x + 3)(x − 3).

=x² − 3x + 3x − 9Napiši sva četiri proizvoda.

−3x + 3x=0Srednji članovi se poništavaju.

(x + 3)(x − 3)=x² − 9Ostaje razlika kvadrata.

Primjer 2

Pomnoži (x + 4)(x − 4).

=x² − 4x + 4x − 16Napiši sva četiri proizvoda.

−4x + 4x=0Srednji članovi se poništavaju.

(x + 4)(x − 4)=x² − 16Ostaje razlika kvadrata.

Primjer 3

Pomnoži (x + 6)(x − 6).

=x² − 6x + 6x − 36Napiši sva četiri proizvoda.

−6x + 6x=0Srednji članovi se poništavaju.

(x + 6)(x − 6)=x² − 36Ostaje razlika kvadrata.

Kviz — provjeri sebe

1. Koliko je 3x² · 5x⁴?

2. Koliko je 2x(3x − 4)?

3. Koliko je (x + 3)(x − 5)?

4. Koliko je (x − 4)(x + 4)?

Provjeri i objasni rezultat

Ponovo pročitaj šta se traži. Rezultat provjeri obrnutom operacijom ili drugim postupkom. Za račun 3/4 + 1/4 = 1 provjera oduzimanjem daje 1 − 1/4 = 3/4. Objasni svojim riječima zašto tvoj rezultat ima smisla.

Oznaka dodatnog gradiva čuva dostupnost ranije objavljene lekcije. Za obavezni redoslijed koristi pregled razreda.