Sabiranje i oduzimanje polinoma

Kako koristiti ovu lekciju?

Dodatno gradivo i priprema za naredno učenje. Ova stranica nije dio preporučenog osnovnog puta ovog razreda.

🎯 Cilj lekcije Nakon ove lekcije znat ćeš:

sabrati polinome spajanjem (sređivanjem) sličnih monoma,
oduzeti polinome pazeći na promjenu znaka pri otvaranju zagrade,
sabrati i oduzeti polinome s više vrsta slova,
objasniti zašto se smiju sabirati samo slični monomi.

Prije nego počneš

Ponovi redoslijed računskih operacija. Zagrade imaju prednost; množenje i dijeljenje računaju se prije sabiranja i oduzimanja. Uz svaki broj zadrži njegov znak.

1. Sabiranje polinoma

Kad sabiraš polinome, prvo otvoriš zagrade (znak + ispred zagrade ne mijenja ništa), a zatim spojiš slične monome — sabereš njihove koeficijente, a slovni dio prepišeš.

(3x² + 2x − 5) + (x² − 4x + 7) = 4x² − 2x + 2

Spoji slične: 3x² + x² = 4x²; 2x + (−4x) = −2x; −5 + 7 = 2. Rezultat: 4x² − 2x + 2.

2. Oduzimanje polinoma

Kod oduzimanja je ključno: kad ispred zagrade stoji znak minus, pri otvaranju zagrade svakom članu unutra promijeniš znak u suprotan.

(5a − 3b + 2) − (2a − b − 4) = 5a − 3b + 2 − 2a + b + 4

Pazi: −(2a − b − 4) postaje −2a + b + 4 (svaki znak se okrenuo). Sad spoji slične: 5a − 2a = 3a; −3b + b = −2b; 2 + 4 = 6. Rezultat: 3a − 2b + 6.

3. Zagrade i znak ispred njih — pravilo

Zapamti pravilo za otvaranje zagrada:

+(a + b) = a + b • −(a + b) = −a − b

Ako je ispred zagrade plus, prepišeš sve kako jeste. Ako je ispred zagrade minus, svakom članu unutar zagrade promijeniš znak.

4. Vizual: spoji slične monome

➕➖ Sabiranje i oduzimanje polinoma

Upiši koeficijente uz x² i uz x za dva polinoma oblika Ax² + Bx (slobodni član je 0) i izaberi operaciju — vizual pokazuje spojen rezultat.

A₁ (uz x²) B₁ (uz x) operacija A₂ (uz x²) B₂ (uz x)

(3x² + 2x) + (x² − 4x) = 4x² − 2x

Spoji slične: 3x² + x² = 4x², 2x + (−4x) = −2x.

5. Primjer korak po korak: (5a − 3b + 2) − (2a − b − 4)

Riješimo zajedno, korak po korak, cijeli postupak oduzimanja polinoma.

5a − 3b + 2Prepiši prvi polinom. 5a − 3b + 2.

−(2a − b − 4)=−2a + b + 4Otvori drugu zagradu. Ispred stoji minus, pa svakom članu okreni znak: −(2a − b − 4) = −2a + b + 4.

5a − 3b + 2 − 2a + b + 4Zapiši cijeli izraz. 5a − 3b + 2 − 2a + b + 4.

5a − 2a = 3a; −3b + b = −2b; 2 + 4 = 6Spoji slične monome. 5a − 2a = 3a; −3b + b = −2b; 2 + 4 = 6.

(5a − 3b + 2) − (2a − b − 4)=3a − 2b + 6Zapiši rješenje. (5a − 3b + 2) − (2a − b − 4) = 3a − 2b + 6.

6. Drugi primjer

Primjer: (4x² − 5x + 1) + (−x² + 5x − 3) = 4x² − x² − 5x + 5x + 1 − 3 = 3x² + 0 − 2 = 3x² − 2. Pazi — monomi sa x se potpuno ponište (−5x + 5x = 0)!

Primjer iz života (džeparac): Prve sedmice Amar dobije džeparac u iznosu (4x + 6) KM, a druge sedmice potroši (x + 2) KM na užinu. Koliko mu je džeparca ostalo? Računamo (4x + 6) − (x + 2) = 4x + 6 − x − 2 = 3x + 4 KM.

⚠️ Česte greške

Zaboravljena promjena znaka: kod −(2a − b − 4) MORAJU se promijeniti znakovi svim članovima: −2a + b + 4, a ne −2a − b − 4.
Sabiranje nesličnih monoma: 3x² i 2x se ne mogu spojiti u jedan član — samo monomi sa istim slovnim dijelom se sabiraju.
Zaboravljen slobodni član (broj bez slova): i brojevi bez x se sabiraju sa brojevima bez x, odvojeno od monoma sa slovima.

Riješeni zadaci — korak po korak

Prati postupak red po red. Komentar uz svaki red objašnjava šta radiš. Prvo pokušaj samostalno, pa otkrij sljedeći korak.

Sabiranje polinoma

Primjer 1

Pojednostavi (3x + 2) + (5x + 4).

=3x + 2 + 5x + 4Plus ispred zagrade ne mijenja znakove članova.

=(3 + (5))x + (2 + (4))Grupiši slične članove.

=8x + 6Saberi ili oduzmi koeficijente i slobodne članove.

Primjer 2

Pojednostavi (7x − 3) + (2x + 5).

=7x − 3 + 2x + 5Plus ispred zagrade ne mijenja znakove članova.

=(7 + (2))x + (−3 + (5))Grupiši slične članove.

=9x + 2Saberi ili oduzmi koeficijente i slobodne članove.

Primjer 3

Pojednostavi (−2x + 6) + (4x − 1).

=−2x + 6 + 4x − 1Plus ispred zagrade ne mijenja znakove članova.

=(−2 + (4))x + (6 + (−1))Grupiši slične članove.

=2x + 5Saberi ili oduzmi koeficijente i slobodne članove.

Oduzimanje polinoma

Primjer 1

Pojednostavi (3x + 2) − (5x + 4).

=3x + 2 − 5x − 4Kod minusa ispred zagrade promijeni znak svakog člana u njoj.

=(3 − (5))x + (2 − (4))Grupiši slične članove.

=−2x − 2Saberi ili oduzmi koeficijente i slobodne članove.

Primjer 2

Pojednostavi (7x − 3) − (2x + 5).

=7x − 3 − 2x − 5Kod minusa ispred zagrade promijeni znak svakog člana u njoj.

=(7 − (2))x + (−3 − (5))Grupiši slične članove.

=5x − 8Saberi ili oduzmi koeficijente i slobodne članove.

Primjer 3

Pojednostavi (−2x + 6) − (4x − 1).

=−2x + 6 − 4x + 1Kod minusa ispred zagrade promijeni znak svakog člana u njoj.

=(−2 − (4))x + (6 − (−1))Grupiši slične članove.

=−6x + 7Saberi ili oduzmi koeficijente i slobodne članove.

Kviz — provjeri sebe

1. Koliko je (2x + 3) + (5x − 1)?

2. Koliko je (6x − 4) − (2x − 4)?

3. Šta postaje −(3a − 2b) kad otvoriš zagradu?

4. Koliko je (x² + 3x) − (x² − 3x)?

Provjeri i objasni rezultat

Ponovo pročitaj šta se traži. Rezultat provjeri obrnutom operacijom ili drugim postupkom. Za račun 3/4 + 1/4 = 1 provjera oduzimanjem daje 1 − 1/4 = 3/4. Objasni svojim riječima zašto tvoj rezultat ima smisla.

Oznaka dodatnog gradiva čuva dostupnost ranije objavljene lekcije. Za obavezni redoslijed koristi pregled razreda.