Direktna i obrnuta proporcionalnost

Kako koristiti ovu lekciju?

Dodatno gradivo i priprema za naredno učenje. Ova stranica nije dio preporučenog osnovnog puta ovog razreda.

🎯 Cilj lekcije Nakon ove lekcije znat ćeš:

prepoznati direktnu proporcionalnost (veličine rastu zajedno),
prepoznati obrnutu proporcionalnost (jedna raste, druga opada),
riješiti zadatak direktne proporcionalnosti proporcijom,
riješiti zadatak obrnute proporcionalnosti množenjem parova vrijednosti.

Prije nego počneš

Ponovi redoslijed računskih operacija. Zagrade imaju prednost; množenje i dijeljenje računaju se prije sabiranja i oduzimanja. Uz svaki broj zadrži njegov znak.

1. Direktna proporcionalnost

Dvije veličine su direktno proporcionalne ako, kad se jedna poveća određeni broj puta, i druga se poveća isti broj puta (zajedno rastu, zajedno opadaju). Količnik odgovarajućih vrijednosti je uvijek isti.

Primjer: 3 kg jabuka košta 6 KM. Koliko koštaju 7 kg jabuka? Cijena raste proporcionalno s količinom: 3 : 6 = 7 : x → 3x = 42 → x = 14 KM.

2. Obrnuta proporcionalnost

Dvije veličine su obrnuto proporcionalne ako, kad se jedna poveća određeni broj puta, druga se isti broj puta smanji. Proizvod odgovarajućih vrijednosti je uvijek isti (konstantan).

x₁ · y₁ = x₂ · y₂

Primjer: 5 radnika izgradi zid za 12 dana. Za koliko dana bi isti zid izgradilo 10 radnika (radeći istim tempom)? Više radnika = manje dana (obrnuta proporcionalnost): 5 · 12 = 10 · d → 60 = 10d → d = 6 dana.

3. Kako prepoznati koja je proporcionalnost u pitanju?

Postavi sebi pitanje: "Ako se prva veličina poveća, šta se dešava sa drugom?" Ako i druga veličina raste — direktna proporcionalnost (npr. više robe → veća cijena). Ako druga veličina opada — obrnuta proporcionalnost (npr. više radnika → manje dana, veća brzina → manje vremena).

4. Vizual: usporedi direktnu i obrnutu proporcionalnost

⚖️ Direktna ili obrnuta?

Upiši poznati par (x₁, y₁), novu vrijednost x₂ i izaberi tip proporcionalnosti — alat računa y₂.

x₁ y₁ tip x₂

5 · 12 = 10 · y₂ ⇒ y₂ = 6

Obrnuta proporcionalnost: proizvod ostaje isti.

Trake ispod pokazuju y₁ i y₂ — gledaj kako se druga traka mijenja kad promijeniš vrijednosti.

y₁ = 12

y₂ = 6

5. Primjer korak po korak: 3 kg jabuka košta 6 KM, koliko košta 7 kg?

Više kg → više KMPrepoznaj tip proporcionalnosti. Više kilograma → veća cijena, pa je direktna proporcionalnost.

3 : 6=7 : xPostavi proporciju. 3 kg : 6 KM = 7 kg : x KM, tj. 3 : 6 = 7 : x.

3x = 6 · 7 = 42Primijeni unakrsno množenje. 3 · x = 6 · 7 = 42.

x = 42 : 3 = 14Izračunaj x. x = 42 : 3 = 14.

Cijena: 14 KM; 6 : 3=2 KM/kgZapiši odgovor. 7 kg jabuka košta 14 KM. Provjera: cijena po kilogramu je 6:3 = 2 KM, pa 7 · 2 = 14 KM ✓.

Primjer (obrnuta): Automobil pri brzini 60 km/h pređe put za 3 sata. Koliko sati treba pri brzini 90 km/h? 60 · 3 = 90 · t → 180 = 90t → t = 2 sata (brže vozi = manje vremena).

Primjer iz života (direktna): U prodavnici igračaka 4 iste figurice koštaju 20 KM. Koliko bi koštalo 7 takvih figurica? Više figurica znači veću cijenu — direktna proporcionalnost: 4 : 20 = 7 : x → 4x = 140 → x = 35 KM. Provjera: cijena jedne figurice je 20 : 4 = 5 KM, pa 7 · 5 = 35 KM ✓.

⚠️ Česte greške

Pomiješan tip proporcionalnosti: prvo uvijek razmisli raste li ili opada druga veličina — ne primjenjuj proporciju automatski.
Kod obrnute proporcionalnosti pogrešno složena proporcija: koristi x₁ · y₁ = x₂ · y₂ ili ekvivalentno x₁ : x₂ = y₂ : y₁. Redoslijed vrijednosti druge veličine je obrnut.
Zaboravljene jedinice mjere: uvijek provjeri da li je odgovor smislen (npr. dani, KM, sati) i da li rješenje odgovara situaciji.

Riješeni zadaci — korak po korak

Prati postupak red po red. Komentar uz svaki red objašnjava šta radiš. Prvo pokušaj samostalno, pa otkrij sljedeći korak.

Direktna proporcionalnost

Primjer 1

3 kg jabuka košta 6 KM. Koliko košta 5 kg pri istoj cijeni za kilogram?

c = 6 : 3 = 2 KM/kgPrvo izračunaj cijenu jednog kilograma.

y=2 · 5Cijenu po kilogramu pomnoži traženom masom.

y=10 KMProvjera: 10 : 5 = 2 KM/kg, cijena po jedinici je stalna.

Primjer 2

4 kg jabuka košta 12 KM. Koliko košta 7 kg pri istoj cijeni za kilogram?

c = 12 : 4 = 3 KM/kgPrvo izračunaj cijenu jednog kilograma.

y=3 · 7Cijenu po kilogramu pomnoži traženom masom.

y=21 KMProvjera: 21 : 7 = 3 KM/kg, cijena po jedinici je stalna.

Primjer 3

2 kg jabuka košta 8 KM. Koliko košta 6 kg pri istoj cijeni za kilogram?

c = 8 : 2 = 4 KM/kgPrvo izračunaj cijenu jednog kilograma.

y=4 · 6Cijenu po kilogramu pomnoži traženom masom.

y=24 KMProvjera: 24 : 6 = 4 KM/kg, cijena po jedinici je stalna.

Obrnuta proporcionalnost

Primjer 1

4 radnika obavi posao za 12 dana. Za koliko dana posao obavi 6 jednako efikasnih radnika?

k = 4 · 12 = 48 radnih danaPretpostavi isti posao i jednak učinak svakog radnika.

x=48 : 6Stalan proizvod podijeli novim brojem radnika.

x=8 danaProvjera: 6 · 8 = 48. Više radnika traži manje vremena.

Primjer 2

3 radnika obavi posao za 10 dana. Za koliko dana posao obavi 5 jednako efikasnih radnika?

k = 3 · 10 = 30 radnih danaPretpostavi isti posao i jednak učinak svakog radnika.

x=30 : 5Stalan proizvod podijeli novim brojem radnika.

x=6 danaProvjera: 5 · 6 = 30. Više radnika traži manje vremena.

Primjer 3

6 radnika obavi posao za 8 dana. Za koliko dana posao obavi 12 jednako efikasnih radnika?

k = 6 · 8 = 48 radnih danaPretpostavi isti posao i jednak učinak svakog radnika.

x=48 : 12Stalan proizvod podijeli novim brojem radnika.

x=4 danaProvjera: 12 · 4 = 48. Više radnika traži manje vremena.

Kviz — provjeri sebe

1. Ako 4 radnika oboji ogradu za 6 sati, za koliko sati će je obojiti 8 radnika (obrnuta proporcionalnost)?

2. Ako 2 kg krompira košta 3 KM, koliko košta 5 kg (direktna proporcionalnost)?

3. Koji je primjer OBRNUTE proporcionalnosti?

4. Biciklista pri brzini 20 km/h pređe put za 4 sata. Koliko sati treba pri 40 km/h?

Provjeri i objasni rezultat

Ponovo pročitaj šta se traži. Rezultat provjeri obrnutom operacijom ili drugim postupkom. Za račun 3/4 + 1/4 = 1 provjera oduzimanjem daje 1 − 1/4 = 3/4. Objasni svojim riječima zašto tvoj rezultat ima smisla.

Oznaka dodatnog gradiva čuva dostupnost ranije objavljene lekcije. Za obavezni redoslijed koristi pregled razreda.