Razmjera i proporcija

Kako koristiti ovu lekciju?

Dodatno gradivo i priprema za naredno učenje. Ova stranica nije dio preporučenog osnovnog puta ovog razreda.

🎯 Cilj lekcije Nakon ove lekcije znat ćeš:

objasniti šta je razmjera dva broja,
prepoznati proporciju kao jednakost dvije razmjere,
primijeniti osnovno svojstvo proporcije (unakrsno množenje),
pronaći nepoznati član proporcije.

Prije nego počneš

Ponovi redoslijed računskih operacija. Zagrade imaju prednost; množenje i dijeljenje računaju se prije sabiranja i oduzimanja. Uz svaki broj zadrži njegov znak.

1. Šta je razmjera?

Razmjera dva broja a i b (b ≠ 0) je njihov količnik, zapisujemo je a : b i čitamo "a prema b". Na primjer, razmjera 6 : 8 pokazuje odnos brojeva 6 i 8 — kad obje strane podijelimo njihovim NZD-om (2), dobijemo skraćenu razmjeru 3 : 4.

2. Proporcija

Proporcija je jednakost dvije razmjere:

a : b = c : d

Brojevi a i d zovu se krajnji članovi, a b i c srednji članovi proporcije. Na primjer, 3 : 4 = 6 : 8 je proporcija jer su obje razmjere jednake (3 : 4 = 0,75 i 6 : 8 = 0,75).

3. Osnovno svojstvo proporcije

U svakoj proporciji vrijedi: proizvod krajnjih članova jednak je proizvodu srednjih članova. To nazivamo i "unakrsno množenje":

a : b = c : d ⇒ a · d = b · c

Za proporciju 3 : 4 = 6 : 8 provjeri: 3 · 8 = 24 i 4 · 6 = 24 — jednako je ✓.

4. Nalaženje nepoznatog člana proporcije

Ako je jedan član proporcije nepoznat, osnovno svojstvo ti daje jednačinu kojom ga pronalaziš.

3 : 4 = x : 12 ⇒ 4x = 3 · 12 = 36 ⇒ x = 9

5. Vizual: riješi proporciju a : b = c : x

🔀 Rješavač proporcije

Upiši a, b i c — alat rješava proporciju a : b = c : x unakrsnim množenjem.

a b c

3 : 4 = 9 : x ⇒ x = 12

b · c = a · x ⇒ x = (b · c) : a.

Trake ispod pokazuju da su obje razmjere jednake (ista boja = isti omjer visina).

a = 3

b = 4

c = 9

x = 12

6. Primjer korak po korak: 3 : 4 = x : 12

Riješimo zajedno, korak po korak, nalaženje nepoznatog člana proporcije.

3 : 4=x : 12Zapiši proporciju. 3 : 4 = x : 12.

3 · 12=4xPrimijeni osnovno svojstvo. Proizvod krajnjih = proizvod srednjih: 3 · 12 = 4 · x.

36=4xIzračunaj poznatu stranu. 3 · 12 = 36, pa je 36 = 4x.

x = 36 : 4 = 9Podijeli da izoliraš x. x = 36 : 4 = 9.

3 : 4 = 9 : 12 = 0,75Provjeri. 3 : 4 = 0,75 i 9 : 12 = 0,75 — jednako ✓. Rješenje: x = 9.

Primjer: Riješi proporciju 5 : x = 15 : 9. Unakrsno: 5 · 9 = 15 · x → 45 = 15x → x = 3. Provjera: 5 : 3 = 15 : 9 = 5/3; približno 1,67 ✓.

Primjer iz života: Školski fudbalski tim ima omjer pobjeda i poraza 5 : 3. Ako su do sada izgubili 9 utakmica, koliko su pobijedili (pod istim omjerom)? Postavi proporciju: 5 : 3 = x : 9. Unakrsno: 3x = 5 · 9 = 45 → x = 15. Tim je pobijedio 15 utakmica. Provjera: 5 : 3 = 15 : 9 = 5/3; približno 1,67 ✓.

⚠️ Česte greške

Pomiješani krajnji i srednji članovi: u a : b = c : d krajnji su a i d, srednji su b i c — pazi koje brojeve množiš.
Dijeljenje pogrešnim brojem: nakon unakrsnog množenja dijeli sa brojem koji stoji uz x, ne sa bilo kojim drugim.
Nerazumijevanje razmjere kao razlike: razmjera a : b je količnik (a podijeljeno b), a ne razlika a − b.

Riješeni zadaci — korak po korak

Prati postupak red po red. Komentar uz svaki red objašnjava šta radiš. Prvo pokušaj samostalno, pa otkrij sljedeći korak.

Skraćivanje razmjere

Primjer 1

Skrati razmjeru 12 : 18.

NZD(12, 18)=6Nađi zajednički djelitelj.

12 : 18=(12 : 6) : (18 : 6)Oba člana razmjere podijeli istim brojem.

=2 : 3Dobijeni članovi su uzajamno prosti.

Primjer 2

Skrati razmjeru 20 : 35.

NZD(20, 35)=5Nađi zajednički djelitelj.

20 : 35=(20 : 5) : (35 : 5)Oba člana razmjere podijeli istim brojem.

=4 : 7Dobijeni članovi su uzajamno prosti.

Primjer 3

Skrati razmjeru 24 : 40.

NZD(24, 40)=8Nađi zajednički djelitelj.

24 : 40=(24 : 8) : (40 : 8)Oba člana razmjere podijeli istim brojem.

=3 : 5Dobijeni članovi su uzajamno prosti.

Nepoznati član proporcije

Primjer 1

Riješi 2 : 3 = x : 12.

3x=2 · 12Proizvod vanjskih članova jednak je proizvodu unutrašnjih.

x = 24 : 3 = 8Podijeli obje strane koeficijentom uz x.

23=812Provjeri jednakost razlomaka skraćivanjem.

Primjer 2

Riješi 3 : 5 = x : 20.

5x=3 · 20Proizvod vanjskih članova jednak je proizvodu unutrašnjih.

x = 60 : 5 = 12Podijeli obje strane koeficijentom uz x.

35=1220Provjeri jednakost razlomaka skraćivanjem.

Primjer 3

Riješi 4 : 7 = x : 21.

7x=4 · 21Proizvod vanjskih članova jednak je proizvodu unutrašnjih.

x = 84 : 7 = 12Podijeli obje strane koeficijentom uz x.

47=1221Provjeri jednakost razlomaka skraćivanjem.

Kviz — provjeri sebe

1. Koja proporcija je tačna?

2. Riješi proporciju 2 : 5 = x : 20.

3. Koji su krajnji članovi proporcije 4 : 7 = 8 : 14?

4. Riješi proporciju x : 6 = 10 : 4.

Provjeri i objasni rezultat

Ponovo pročitaj šta se traži. Rezultat provjeri obrnutom operacijom ili drugim postupkom. Za račun 3/4 + 1/4 = 1 provjera oduzimanjem daje 1 − 1/4 = 3/4. Objasni svojim riječima zašto tvoj rezultat ima smisla.

Oznaka dodatnog gradiva čuva dostupnost ranije objavljene lekcije. Za obavezni redoslijed koristi pregled razreda.