Osnovni put učenja prema predmetnom kurikulumu KS.
🎯 Cilj lekcije
Nakon ove lekcije znat ćeš:
izračunati površinu kruga formulom P = πr²,
izračunati površinu kruga kad je dat prečnik,
pronaći poluprečnik kruga kad znaš njegovu površinu,
razlikovati kada koristiti obim, a kada površinu kruga u zadatku.
Prije nego počneš
Pripremi ravnalo, šestar i uglomjer. Razlikuj duž od prave i obim od površine. Na crtežu prvo označi poznate podatke.
1. Formula za površinu kruga
Površina kruga poluprečnika r računa se formulom:
P = π · r²
Prvo kvadriraš poluprečnik (pomnožiš ga sa samim sobom), pa tek onda množiš sa π ≈ 3,14.
Primjer: Krug ima poluprečnik r = 5 cm. P = 3,14 · 5² = 3,14 · 25 = 78,5 cm².
2. Površina preko prečnika
Ako je dat prečnik d umjesto poluprečnika, prvo izračunaj r = d / 2, pa onda primijeni formulu P = πr².
Primjer: Krug ima prečnik d = 14 cm, pa je r = 7 cm. Koristeći π ≈ 22/7 (pogodno jer je 7² = 49 djeljivo sa 7): P = (22/7) · 49 = 22 · 7 = 154 cm².
3. Obrnuti zadatak: traženje poluprečnika iz površine
Ako znaš površinu, prvo izračunaš r² dijeljenjem sa π, a zatim r pronađeš kao broj koji pomnožen sam sa sobom daje r² (korijenovanje — vidjet ćeš ga detaljnije kasnije, ali za "lijepe" brojeve ga možeš pogoditi).
Primjer: Površina kruga je 78,5 cm². r² = 78,5 / 3,14 = 25. Koji broj pomnožen sam sa sobom daje 25? To je 5, jer 5 · 5 = 25. Dakle r = 5 cm.
4. Vizual: kalkulator površine kruga
🟣 Izračunaj površinu kruga
Pomjeri klizač za poluprečnik r — krug se odmah uveća ili smanji, a alat računa površinu koristeći π ≈ 3,14. Dugme "Slučajan krug" glatko animira promjenu veličine.
P = 3,14 · 5² = 78,5 cm²
Formula: P = πr², uz π ≈ 3,14.
5. Primjer korak po korak: površina kruga sa r = 10 cm
P ≈ 314 cm²Zapiši rješenje sa jedinicom.P ≈ 314 cm².
Primjer: Krugovni tepih ima prečnik 4 m. Koliki je poluprečnik? r = 2 m. Površina: P = 3,14 · 2² = 3,14 · 4 = 12,56 m².
Primjer iz života: Frizbi (leteći disk) kojim se igraš u parku ima poluprečnik 12 cm. Površina njegove gornje strane je P = 3,14 · 12² = 3,14 · 144 = 452,16 cm².
⚠️ Česte greške
Zaboravljeno kvadriranje poluprečnika: P = π · r² znači π pomnoženo sa r², a ne sa 2r (to je greška iz obima!).
Pomiješan obim i površina: obim koristi 2πr (bez kvadriranja), površina koristi πr² (sa kvadriranjem) — različite formule, različite jedinice (cm vs cm²).
Korišten prečnik umjesto poluprečnika u formuli P = πr²: ako je dat prečnik, prvo ga podijeli sa 2 da dobiješ r.
Riješeni zadaci — korak po korak
Prati postupak red po red. Komentar uz svaki red objašnjava šta radiš. Prvo pokušaj samostalno, pa otkrij sljedeći korak.
Površina iz poluprečnika
Primjer 1
Nađi površinu kruga poluprečnika 2 cm.
P = πr² = π · 2²Kvadrira se poluprečnik, ne prečnik.
P=4π cm²Zapiši tačnu vrijednost površine.
P ≈ 4 · 3,14=12,56 cm²Koristi približnu vrijednost π samo u posljednjem redu.
Primjer 2
Nađi površinu kruga poluprečnika 4 cm.
P = πr² = π · 4²Kvadrira se poluprečnik, ne prečnik.
P=16π cm²Zapiši tačnu vrijednost površine.
P ≈ 16 · 3,14=50,24 cm²Koristi približnu vrijednost π samo u posljednjem redu.
Primjer 3
Nađi površinu kruga poluprečnika 7 cm.
P = πr² = π · 7²Kvadrira se poluprečnik, ne prečnik.
P=49π cm²Zapiši tačnu vrijednost površine.
P ≈ 49 · 3,14=153,86 cm²Koristi približnu vrijednost π samo u posljednjem redu.
Površina iz prečnika
Primjer 1
Nađi površinu kruga prečnika 4 cm.
r = 4 : 2 = 2 cmPrvo prečnik pretvori u poluprečnik.
P = πr² = π · 2²Kvadrira se poluprečnik, ne prečnik.
P=4π cm²Zapiši tačnu vrijednost površine.
P ≈ 4 · 3,14=12,56 cm²Koristi približnu vrijednost π samo u posljednjem redu.
Primjer 2
Nađi površinu kruga prečnika 8 cm.
r = 8 : 2 = 4 cmPrvo prečnik pretvori u poluprečnik.
P = πr² = π · 4²Kvadrira se poluprečnik, ne prečnik.
P=16π cm²Zapiši tačnu vrijednost površine.
P ≈ 16 · 3,14=50,24 cm²Koristi približnu vrijednost π samo u posljednjem redu.
Primjer 3
Nađi površinu kruga prečnika 14 cm.
r = 14 : 2 = 7 cmPrvo prečnik pretvori u poluprečnik.
P = πr² = π · 7²Kvadrira se poluprečnik, ne prečnik.
P=49π cm²Zapiši tačnu vrijednost površine.
P ≈ 49 · 3,14=153,86 cm²Koristi približnu vrijednost π samo u posljednjem redu.
Poluprečnik iz površine
Primjer 1
Površina kruga je 4π cm². Pronađi poluprečnik.
πr²=4πPolaznu formulu izjednači sa poznatom površinom.
r²=4Obje strane podijeli sa π.
r=2 cmPoluprečnik je pozitivan broj čiji je kvadrat zadana vrijednost.
Primjer 2
Površina kruga je 16π cm². Pronađi poluprečnik.
πr²=16πPolaznu formulu izjednači sa poznatom površinom.
r²=16Obje strane podijeli sa π.
r=4 cmPoluprečnik je pozitivan broj čiji je kvadrat zadana vrijednost.
Primjer 3
Površina kruga je 49π cm². Pronađi poluprečnik.
πr²=49πPolaznu formulu izjednači sa poznatom površinom.
r²=49Obje strane podijeli sa π.
r=7 cmPoluprečnik je pozitivan broj čiji je kvadrat zadana vrijednost.
Kviz — provjeri sebe
1. Kolika je površina kruga poluprečnika 6 cm (π ≈ 3,14)?
2. Kolika je površina kruga prečnika 8 cm (π ≈ 3,14)?
3. Površina kruga je 28,26 cm². Koliki mu je poluprečnik (π ≈ 3,14)?
4. Koja formula tačno daje površinu kruga?
Dobro urađeno! Završio/la si lekciju o površini kruga. U pregledu razreda provjeri koje si cjeline već obradio/la. Za provjeru poveži obim, površinu i njihove jedinice.
Provjeri i objasni rezultat
Provjeri jesi li koristio poluprečnik ili prečnik i jesu li sve dužine u istoj jedinici. Obim zapisuj u jedinicama dužine, a površinu u kvadratnim jedinicama. Procijeni veličinu prije konačnog računa.