Suprotni brojevi i apsolutna vrijednost

Kako koristiti ovu lekciju?

Osnovni put učenja prema predmetnom kurikulumu KS.

🎯 Cilj lekcije Nakon ove lekcije ti ćeš moći:

odrediti suprotan broj bilo kojeg cijelog broja;
izračunati apsolutnu vrijednost cijelog broja i znati njenu oznaku |…|;
objasniti razliku između suprotnog broja i apsolutne vrijednosti;
porediti apsolutne vrijednosti dva broja.

Prije nego počneš

Ponovi redoslijed računskih operacija. Zagrade imaju prednost; množenje i dijeljenje računaju se prije sabiranja i oduzimanja. Uz svaki broj zadrži njegov znak.

1. Suprotni brojevi

Suprotan broj nekog broja je broj koji je na brojevnoj pravoj na istoj udaljenosti od nule, ali s druge strane — znači samo mu se promijeni predznak.

Suprotno od 7 je −7. • Suprotno od −4 je 4.

Na brojevnoj pravoj, broj i njegov suprotni broj su kao "ogledalo" oko nule — jednako udaljeni, ali na suprotnim stranama.

2. Apsolutna vrijednost

Apsolutna vrijednost broja govori koliko je taj broj udaljen od nule na brojevnoj pravoj — bez obzira na smjer. Zato je apsolutna vrijednost uvijek veća ili jednaka nuli, nikad negativna. Oznaka su dvije uspravne crte: |broj|.

|−5| = 5 • |5| = 5 • |0| = 0

Pravilo je jednostavno: ako je broj pozitivan ili nula, apsolutna vrijednost je isti broj; ako je broj negativan, apsolutna vrijednost je njegov suprotan (pozitivan) broj.

3. Razlika između njih

💡 Kako ih ne pobrkati Suprotan broj mijenja predznak (rezultat može biti i negativan: suprotno od 5 je −5). Apsolutna vrijednost je uvijek nenegativna "udaljenost" — nikad ne piše se sa znakom minus ispred rezultata. Suprotno od −8 je 8, a |−8| je takođe 8 — u ovom slučaju se poklapaju jer je −8 negativan broj, ali suprotno od 8 je −8, dok je |8| = 8 — tu se razlikuju!

4. Vizual: izračunaj suprotan broj i apsolutnu vrijednost

🔍 Isti razmak, drugi predznak

Upiši cijeli broj od −20 do 20. Prikazaćemo njega i njegov suprotan broj na brojevnoj pravoj, jednako udaljene od nule, te izračunati apsolutnu vrijednost.

Broj:

Klikni ▶ Animiraj "ogledalo" i gledaj kako se obje tačke pomjeraju istom brzinom, svaka na svoju stranu od nule — zato se i zovu suprotni brojevi!

5. Rješavamo korak po korak: |−8| i suprotan broj od −8

a=−8Posmatraj broj −8. On je na brojevnoj pravoj 8 mjesta lijevo od nule.

−a = −(−8) = 8Nađi suprotan broj. Suprotan broj samo mijenja predznak: suprotno od −8 je 8 (8 mjesta desno od nule).

|−8|=8Nađi apsolutnu vrijednost |−8|. Pitamo se: koliko je −8 udaljeno od nule? Odgovor: 8 mjesta. Dakle |−8| = 8.

−(−8) = |−8| = 8Uporedi rezultate. Suprotan broj od −8 je 8, i apsolutna vrijednost |−8| je takođe 8 — brojčano isti rezultat, ali su to dva različita pojma: suprotan broj je konkretna tačka na pravoj (može biti i negativan za drugi broj), a apsolutna vrijednost je uvijek "čisto rastojanje", nikad negativna.

Primjer: Uporedi |−9| i |4|.
Rješenje: |−9| = 9, a |4| = 4. Pošto je 9 > 4, zaključujemo da je |−9| > |4|. Ovo je zanimljivo jer je, s druge strane, na brojevnoj pravoj −9 < 4 (−9 je manji broj). Dakle, "manji broj" i "manja apsolutna vrijednost" nisu isto — −9 je manji broj od 4, ali je dalje od nule, pa ima veću apsolutnu vrijednost.

Još jedan primjer: Ronjenje u bazenu
Tarik skoči sa skakaonice koja je 3 m iznad vode — to zapisujemo kao +3. Zaroni i stigne do dna bazena, 3 m ispod površine vode — to zapisujemo kao −3.
Brojevi +3 i −3 su suprotni brojevi — isti razmak od površine vode (0), samo na suprotnim stranama.
Oba su podjednako udaljena od površine: |+3| = 3 i |−3| = 3, pa su im apsolutne vrijednosti jednake, iako su sami brojevi različiti (jedan je iznad, drugi ispod vode). ✅

⚠️ Česte greške

Miješanje suprotnog broja i apsolutne vrijednosti. Suprotno od −5 je 5 (promijenjen predznak), a |−5| je takođe 5 — ali suprotno od 5 je −5, dok je |5| = 5. Pojmovi se razlikuju iako ponekad daju isti broj.
Mišljenje da je |−5| = −5. Pogrešno! Apsolutna vrijednost nikad nije negativna: |−5| = 5.
Zaborav da je apsolutna vrijednost uvijek ≥ 0. Ne postoji broj čija je apsolutna vrijednost negativna.

Riješeni zadaci — korak po korak

Prati postupak red po red. Komentar uz svaki red objašnjava šta radiš. Prvo pokušaj samostalno, pa otkrij sljedeći korak.

Određivanje suprotnog broja

Primjer 1

Odredi broj suprotan broju −7.

a=−7Zapiši zadani broj.

−a = −(−7) = 7Promijeni znak početnog broja.

−7 + (7)=0Zbir suprotnih brojeva mora biti nula.

Primjer 2

Odredi broj suprotan broju 4.

a=4Zapiši zadani broj.

−a = −(4) = −4Promijeni znak početnog broja.

4 + (−4)=0Zbir suprotnih brojeva mora biti nula.

Primjer 3

Odredi broj suprotan broju 0.

a=0Zapiši zadani broj.

−a = −(0) = 0Promijeni znak početnog broja.

0 + (0)=0Zbir suprotnih brojeva mora biti nula.

Apsolutna vrijednost i udaljenost

Primjer 1

Izračunaj |−9| i objasni rezultat.

a=−9Pronađi položaj broja na pravoj.

d(a, 0)=9Prebroj jedinične razmake od broja do nule.

|−9|=9Apsolutna vrijednost je nenegativna udaljenost.

Primjer 2

Izračunaj |6| i objasni rezultat.

a=6Pronađi položaj broja na pravoj.

d(a, 0)=6Prebroj jedinične razmake od broja do nule.

|6|=6Apsolutna vrijednost je nenegativna udaljenost.

Primjer 3

Izračunaj |0| i objasni rezultat.

a=0Pronađi položaj broja na pravoj.

d(a, 0)=0Prebroj jedinične razmake od broja do nule.

|0|=0Apsolutna vrijednost je nenegativna udaljenost.

✅ Kviz — provjeri sebe (5 pitanja)

1. Koliki je suprotan broj od 9?

2. Koliko je |−5|?

3. Suprotan broj od −4 je:

4. Šta je tačno: |−9| naspram |4|?

5. Koja tvrdnja je tačna?

Provjeri i objasni rezultat

Očekuješ li pozitivan, negativan ili nulti rezultat? Sabiranje provjeri oduzimanjem, a račun na brojevnoj pravoj provjeri ponovnim polaskom od početnog broja. Za −4 + 7 = 3 provjera je 3 − 7 = −4.

Veza s programom: službeni kurikulum KS, 7. razred, štampana str. 31. Naslovi ciljeva su prilagođeni učeniku.