Aritmetička sredina i tumačenje podataka

🎯 Cilj lekcije

Nakon ove lekcije možeš:

izračunati aritmetičku sredinu pozitivnih i negativnih podataka
protumačiti prosjek u odnosu na početne podatke
dopuniti nedostajući podatak pomoću poznate sredine

1. Razumij pojam

Aritmetička sredina dobija se kada zbir svih vrijednosti podijeliš njihovim brojem. Ako su vrijednosti 2, 5 i 8, zbir je 15, a sredina 15 : 3 = 5. Možeš je zamisliti kao ravnomjernu raspodjelu ukupne količine između svih mjerenja.

Postupak vrijedi i za negativne podatke. Temperature −3°C, 1°C i 5°C imaju zbir 3°C, pa je srednja temperatura 1°C. Negativne vrijednosti saberi sa znakom. Broj podataka je uvijek pozitivan cijeli broj; nije njihov zbir.

2. Poveži i objasni

Sredina ne mora biti jedan od zabilježenih podataka. Za 2 i 3 ona je 2,5. Ne znači da postoji mjerenje baš te vrijednosti. Aritmetička sredina nalazi se između najmanje i najveće vrijednosti. Ako dobiješ broj izvan tog raspona, provjeri račun.

Za sredinu dvije grupe različitih veličina ne smiješ samo sabrati njihove prosjeke i podijeliti sa 2. Grupa od 2 učenika s prosjekom 3 i grupa od 4 učenika s prosjekom 4 imaju ukupan zbir 2 · 3 + 4 · 4 = 22, a ukupno 6 učenika. Zajednička sredina je 22/6 = 11/3 ≈ 3,67.

3. Istraži i provjeri pretpostavku

Prije promjene odabira predvidi rezultat. Zatim uporedi svoj odgovor s prikazom i objasni razliku.

Treće mjerenje uz −2 i 4

4. Riješi korak po korak

x̄ = 2,5; n = 4Sredina četiri mjerenja je 2,5. Tri poznate vrijednosti su 1, 2 i 4. Tražimo četvrtu x.

Zbir = 4 · 2,5 = 10Ukupan zbir mora biti 4 · 2,5 = 10.

x = 10 − (1 + 2 + 4) = 3Zbir poznatih je 1 + 2 + 4 = 7, pa x = 10 − 7 = 3.

(1 + 2 + 4 + 3) : 4=2,5Provjera: (1 + 2 + 4 + 3) : 4 = 10 : 4 = 2,5. Sredina je između 1 i 4.

5. Primijeni znanje

Primjer: Pet dana zabilježene su temperature −2, −1, 3, 4 i 1°C. Zbir je 5°C, pa je sredina 1°C. Jedan izrazito topao dan može podići prosjek iako većina dana nije topla. Zato uz sredinu pogledaj i raspon podataka: ovdje od −2 do 4°C.

6. Vježbaj i obrazloži

Sredina brojeva −1, 2, x i 5 iznosi 2. Odredi x. Zatim smisli četiri različita cijela broja čija je sredina 0.

Provjeri

Ukupan zbir je 4 · 2 = 8. Poznati zbir je 6, pa je x = 2. Primjer četiri različita broja je −3, −1, 1 i 3; njihov zbir je 0.

7. Česte greške

⚠️ Zastani i provjeri

Dijeli brojem svih podataka, uključujući nule i negativne vrijednosti.
Ne odbacuj minus prilikom sabiranja temperatura.
Prosjek ne opisuje sam svaki pojedinačni podatak.

Riješeni zadaci — korak po korak

Prati postupak red po red. Komentar uz svaki red objašnjava šta radiš. Prvo pokušaj samostalno, pa otkrij sljedeći korak.

Aritmetička sredina podataka

Primjer 1

Izračunaj aritmetičku sredinu brojeva 3, 5, 7.

Zbir = 3 + 5 + 7 = 15Saberi sve podatke, uključujući predznake.

n=3Prebroj podatke.

x̄ = 15 : 3 = 5Zbir podijeli brojem podataka.

Primjer 2

Izračunaj aritmetičku sredinu brojeva −4, 2, 5, 9.

Zbir = (−4) + 2 + 5 + 9 = 12Saberi sve podatke, uključujući predznake.

n=4Prebroj podatke.

x̄ = 12 : 4 = 3Zbir podijeli brojem podataka.

Primjer 3

Izračunaj aritmetičku sredinu brojeva −3, −1, 2, 6.

Zbir = (−3) + (−1) + 2 + 6 = 4Saberi sve podatke, uključujući predznake.

n=4Prebroj podatke.

x̄ = 4 : 4 = 1Zbir podijeli brojem podataka.

Nepoznati podatak iz zadane sredine

Primjer 1

Aritmetička sredina tri broja je 6. Dva broja su 4 i 8. Nađi treći.

a + b + x = 3 · 6 = 18Sredinu pomnoži brojem podataka da dobiješ ukupan zbir.

x = 18 − (4 + 8) = 6Od ukupnog zbira oduzmi poznate podatke.

(4 + 8 + 6) : 3=6Provjeri sredinu sva tri broja.

Primjer 2

Aritmetička sredina tri broja je 3. Dva broja su -2 i 5. Nađi treći.

a + b + x = 3 · 3 = 9Sredinu pomnoži brojem podataka da dobiješ ukupan zbir.

x = 9 − (−2 + 5) = 6Od ukupnog zbira oduzmi poznate podatke.

(−2 + 5 + 6) : 3=3Provjeri sredinu sva tri broja.

Primjer 3

Aritmetička sredina tri broja je 8. Dva broja su 7 i 12. Nađi treći.

a + b + x = 3 · 8 = 24Sredinu pomnoži brojem podataka da dobiješ ukupan zbir.

x = 24 − (7 + 12) = 5Od ukupnog zbira oduzmi poznate podatke.

(7 + 12 + 5) : 3=8Provjeri sredinu sva tri broja.

8. Provjeri znanje

1. Sredina brojeva −2, 0 i 5 je:

2. Sredina dva broja je 4. Jedan je 3. Drugi je:

3. Može li sredina 2 i 5 biti 8?

Svaki pokušaj ti pokazuje šta već razumiješ. Ako zapneš, ponovi objašnjenje i riješeni primjer prije novog pokušaja.

Veza s kurikulumom

Osnovni program 7. razreda: Matematika — službeni predmetni kurikulum KS, štampana str. 32. Ciljevi iznad su učeniku prilagođena objašnjenja, a ne službene šifre ishoda.