Racionalni brojevi i njihov decimalni zapis

🎯 Cilj lekcije

Nakon ove lekcije možeš:

povezati skupove N, Z i Q
uporediti negativne razlomke i decimalne brojeve
izračunati apsolutnu vrijednost i razlikovati konačan od periodičnog zapisa

1. Razumij pojam

Racionalan broj možeš zapisati kao a/b gdje su a i b cijeli brojevi i b ≠ 0. Skup označavamo Q. Svaki cijeli broj je racionalan jer je, na primjer, −3 = −3/1. Zato vrijedi N ⊆ Z ⊆ Q. Broj −1/2 je racionalan, ali nije cijeli.

Suprotni racionalni brojevi nalaze se na jednakoj udaljenosti od nule na suprotnim stranama brojevne prave. Apsolutna vrijednost je udaljenost od nule: |−3/4| = 3/4. Ona nikada nije negativna. Manji broj je lijevo od većeg: −0,8 < −0,3 i −3/4 < −1/2.

2. Poveži i objasni

Razlomak pretvori u decimalni broj dijeljenjem brojnika imeniocem. Tako −3/8 = −0,375. Neki zapisi su konačni, a neki beskonačni periodični: 1/3 = 0,333… i 2/11 = 0,181818… . Tačke ovdje označavaju da se isti blok ponavlja bez kraja, a ne proizvoljne nepoznate cifre.

Za konačan decimalni zapis koristi imenilac 10, 100, 1 000…: −0,45 = −45/100 = −9/20. Skraćeni razlomak ima konačan decimalni zapis ako mu imenilac ima samo proste faktore 2 i/ili 5. Za 0,333… broj x zadovoljava 10x − x = 3, pa je x = 1/3. Pri poređenju negativnih brojeva veća apsolutna vrijednost znači manji broj.

3. Istraži i provjeri pretpostavku

Prije promjene odabira predvidi rezultat. Zatim uporedi svoj odgovor s prikazom i objasni razliku.

Racionalni broj u četvrtinama

4. Riješi korak po korak

−0,8=−45Uporedi −5/6 i −0,8. Pretvori konačan decimalni zapis u razlomak: −0,8 = −4/5.

−56 = −2530; −45 = −2430Zajednički imenilac je 30: −5/6 = −25/30 i −4/5 = −24/30.

−2530 < −2430; −56 < −0,8Na brojevnoj pravoj −25/30 leži lijevo od −24/30, pa −5/6 < −0,8.

−56 = −0,833… < −0,8Provjeri približno: −5/6 = −0,833…, što je manje od −0,8. Apsolutne vrijednosti imaju obrnut redoslijed.

5. Primijeni znanje

Primjer: Temperatura ujutro je −1,5°C, a navečer −0,75°C. Navečer je toplije jer −0,75 > −1,5. Udaljenosti od nule su 0,75 i 1,5. Broj −1,5 možeš zapisati kao −15/10 = −3/2. Između −1,5 i −0,75 nalazi se, na primjer, −1.

6. Vježbaj i obrazloži

Poredaj −2/3, −0,6 i −3/4 od najmanjeg do najvećeg. Pretvori −0,125 u skraćen razlomak. Objasni zašto 5 pripada Q iako u uobičajenom zapisu nema razlomačku crtu.

Rješenja

−3/4 < −2/3 < −0,6. Vrijedi −0,125 = −125/1000 = −1/8. Broj 5 je 5/1, pa zadovoljava definiciju racionalnog broja.

7. Česte greške

⚠️ Zastani i provjeri

Minus ispred razlomka odnosi se na cijeli broj: −(3/4) = (−3)/4.
Apsolutna vrijednost nije uvijek sam broj: za negativan mijenja znak.
Približan zapis −0,33 nije tačno jednak −1/3.

Zašto periodični zapis daje razlomak?

Tačke u zapisu 0,666… znače da se cifra 6 ponavlja bez kraja. Zapis 0,67 je približan; zapis 2/3 je tačan. Za čisti period pomnožiš sa 10, 100 ili 1 000 tako da se periodi poravnaju, pa oduzimanjem ukloniš isti beskonačni završetak. Ako prije perioda ima drugih cifara, prvo i njih pomjeri.

Pretvaranje periodičnog decimalnog zapisa u razlomak — korak po korak

Primjer 1

Zapiši 0,666… kao skraćen razlomak.

x = 0,666…; 10x = 6,666…Period ima jednu cifru, zato množiš sa 10.

10x − x = 6; 9x = 6Poravnati periodični završeci se poništavaju.

x = 6/9 = 2/3Podijeli sa 9 i skrati razlomak.

Primjer 2

Zapiši 0,272727… kao skraćen razlomak.

x = 0,272727…; 100x = 27,272727…Period 27 ima dvije cifre: množiš sa 100.

100x − x = 27; 99x = 27Oduzimanjem ukloni isti beskonačni završetak.

x = 27/99 = 3/11Brojnik i imenilac podijeli sa 9.

Primjer 3

Zapiši 0,1666… kao skraćen razlomak. Ovdje se ponavlja samo cifra 6.

x = 0,1666…; 10x = 1,666…Prva cifra 1 ne pripada periodu.

100x = 16,666…Pomnoži još jednom sa 10 da se periodični završeci poravnaju.

100x − 10x = 15; 90x = 15Oduzimaj 10x od 100x, a ne x od 10x.

x = 15/90 = 1/6Skrati sa 15. Ovo je tačna vrijednost, za razliku od 0,167.

Pokušaj samostalno

Pretvori 0,444…, 0,121212… i 0,2333… u skraćene razlomke. Objasni koja cifra u trećem zapisu nije dio perioda.

Provjeri i obrazloži

Prvi zapis daje 9x = 4, pa 4/9. Drugi daje 99x = 12, pa 4/33. Treći daje 100x − 10x = 23,333… − 2,333… = 21, pa 90x = 21 i x = 7/30. Cifra 2 nije dio perioda.

Riješeni zadaci — korak po korak

Prati postupak red po red. Komentar uz svaki red objašnjava šta radiš. Prvo pokušaj samostalno, pa otkrij sljedeći korak.

Razlomak sa predznakom u decimalni zapis

Primjer 1

Zapiši −34 decimalnim brojem.

3 : 4=0,75Prvo izračunaj vrijednost bez predznaka.

−34=−0,75Vrati negativni predznak.

−0,75 · 4=−3Provjeri dijeljenje množenjem.

Primjer 2

Zapiši −78 decimalnim brojem.

7 : 8=0,875Prvo izračunaj vrijednost bez predznaka.

−78=−0,875Vrati negativni predznak.

−0,875 · 8=−7Provjeri dijeljenje množenjem.

Primjer 3

Zapiši −920 decimalnim brojem.

9 : 20=0,45Prvo izračunaj vrijednost bez predznaka.

−920=−0,45Vrati negativni predznak.

−0,45 · 20=−9Provjeri dijeljenje množenjem.

Poređenje negativnih racionalnih brojeva

Primjer 1

Uporedi −34 i −25.

−34 = −0,75; −25 = −0,4Pretvori oba broja u decimalni zapis.

34 > 25Uporedi apsolutne vrijednosti.

−34 < −25Kod dva negativna broja veći je onaj manje apsolutne vrijednosti.

Primjer 2

Uporedi −12 i −78.

−12 = −0,5; −78 = −0,875Pretvori oba broja u decimalni zapis.

12 < 78Uporedi apsolutne vrijednosti.

−12 > −78Kod dva negativna broja veći je onaj manje apsolutne vrijednosti.

Primjer 3

Uporedi −910 i −58.

−910 = −0,9; −58 = −0,625Pretvori oba broja u decimalni zapis.

910 > 58Uporedi apsolutne vrijednosti.

−910 < −58Kod dva negativna broja veći je onaj manje apsolutne vrijednosti.

8. Provjeri znanje

1. Koji odnos skupova važi?

2. Koji broj je najmanji?

3. Koliko je |−7/4|?

Svaki pokušaj ti pokazuje šta već razumiješ. Ako zapneš, ponovi objašnjenje i riješeni primjer prije novog pokušaja.

Veza s kurikulumom

Osnovni program 7. razreda: Matematika — službeni predmetni kurikulum KS, štampana str. 32. Ciljevi iznad su učeniku prilagođena objašnjenja, a ne službene šifre ishoda.