Četverouglovi, trapez, deltoid i konstrukcije

🎯 Cilj lekcije

Nakon ove lekcije možeš:

razvrstati četverouglove prema svojstvima stranica i uglova
koristiti srednju liniju trapeza i površinu deltoida
konstruisati paralelogram i pravougaonik iz zadanih elemenata

1. Razumij pojam

Četverougao ima četiri stranice, četiri tjemena, dvije dijagonale i zbir unutrašnjih uglova 360°. Paralelogram ima dva para paralelnih nasuprotnih stranica. Nasuprotne stranice i uglovi su jednaki, a dijagonale se polove. Pravougaonik je paralelogram s pravim uglovima, romb s jednakim stranicama, a kvadrat ispunjava oba uslova.

Trapez ovdje zovemo četverougao s tačno jednim parom paralelnih stranica. Te stranice su osnovice a i b, a razmak između njih visina h. Srednja linija spaja sredine krakova, paralelna je osnovicama i duga m = (a + b)/2. Površina je P = m · h.

2. Poveži i objasni

Deltoid ima dva para jednakih susjednih stranica. Jedna dijagonala je osa simetrije i okomita je na drugu, koju prepolovljava. Površina je P = d₁ · d₂ / 2. Formulu vidiš razdvajanjem na trouglove s okomitim osnovicama i visinama.

Za konstrukciju paralelograma dovoljne su dvije susjedne stranice i ugao između njih. Kada nacrtaš AB i AD, kroz B povuci paralelu s AD, a kroz D paralelu s AB; presjek je C. Paralelu možeš konstruisati prenosom odgovarajućeg ugla šestarom. Pravougaonik dobijaš kada je zadani ugao 90°.

3. Istraži i provjeri pretpostavku

Prije promjene odabira predvidi rezultat. Zatim uporedi svoj odgovor s prikazom i objasni razliku.

Gornja osnovica b (donja a = 10, h = 4)

4. Riješi korak po korak

a = 9 cm; b = 5 cm; h = 4 cmTrapez ima osnovice 9 cm i 5 cm, a visinu 4 cm. Traži srednju liniju i površinu.

m = (9 + 5) : 2 = 7 cmm = (9 + 5) : 2 = 14 : 2 = 7 cm.

P = 7 · 4 = 28 cm²P = m · h = 7 · 4 = 28 cm².

20 cm² < 28 cm² < 36 cm²Provjeri granice: površina je između 5 · 4 = 20 cm² i 9 · 4 = 36 cm². Jedinica površine je kvadratna.

5. Primijeni znanje

Primjer: Konstruši pravougaonik stranica 6 cm i 3 cm: nacrtaj AB = 6 cm, u A i B konstruiši okomice prema istoj strani AB, odloži AD = BC = 3 cm i spoji C s D. Provjeri da se dijagonale polove i imaju jednake dužine. Deltoid dijagonala 8 i 5 cm ima površinu 8 · 5 : 2 = 20 cm².

6. Vježbaj i obrazloži

Konstruši paralelogram sa susjednim stranicama 5 cm i 3 cm i uglom 60°. Nacrtaj deltoid i provjeri koja dijagonala prepolovljava drugu. Izračunaj površinu trapeza s osnovicama 12 i 8 cm i visinom 3 cm.

Provjeri

Paralelogram konstruiši preko paralela. Kod deltoida osa simetrije prepolovljava drugu dijagonalu; nije nužno obrnuto. Površina trapeza je (12 + 8) : 2 · 3 = 30 cm².

7. Česte greške

⚠️ Zastani i provjeri

Romb ne mora imati prave uglove.
Visina trapeza je okomita udaljenost osnovica, a ne dužina kraka.
Kvadrat pripada i pravougaonicima i rombovima.

Riješeni zadaci — korak po korak

Prati postupak red po red. Komentar uz svaki red objašnjava šta radiš. Prvo pokušaj samostalno, pa otkrij sljedeći korak.

Konstrukcija paralelograma

Primjer 1

Konstruiraj paralelogram ABCD: AB = 6 cm, AD = 4 cm, ∠DAB = 60°.

AB = 6 cm; ∠DAB = 60°Nacrtaj osnovicu i zadani ugao u A.

AD=4 cmNa drugom kraku odloži dužinu druge stranice.

Prava kroz B ∥ AD; prava kroz D ∥ ABPovuci paralelu kroz svaki preostali vrh.

C=presjek paralelaSpoji stranice. Naspramne stranice moraju biti paralelne i jednake.

Primjer 2

Konstruiraj paralelogram ABCD: AB = 7 cm, AD = 3 cm, ∠DAB = 45°.

AB = 7 cm; ∠DAB = 45°Nacrtaj osnovicu i zadani ugao u A.

AD=3 cmNa drugom kraku odloži dužinu druge stranice.

Prava kroz B ∥ AD; prava kroz D ∥ ABPovuci paralelu kroz svaki preostali vrh.

C=presjek paralelaSpoji stranice. Naspramne stranice moraju biti paralelne i jednake.

Primjer 3

Konstruiraj paralelogram ABCD: AB = 5 cm, AD = 5 cm, ∠DAB = 120°.

AB = 5 cm; ∠DAB = 120°Nacrtaj osnovicu i zadani ugao u A.

AD=5 cmNa drugom kraku odloži dužinu druge stranice.

Prava kroz B ∥ AD; prava kroz D ∥ ABPovuci paralelu kroz svaki preostali vrh.

C=presjek paralelaSpoji stranice. Naspramne stranice moraju biti paralelne i jednake.

Uglovi četverougla

Primjer 1

Tri ugla četverougla su 80°, 100° i 75°. Nađi četvrti.

α + β + γ + δ=360°Zbir unutrašnjih uglova četverougla je 360°.

δ=360° − (80° + 100° + 75°)Oduzmi zbir poznatih uglova.

δ=105°Provjeri da sva četiri ugla zajedno daju 360°.

Primjer 2

Tri ugla četverougla su 90°, 90° i 90°. Nađi četvrti.

α + β + γ + δ=360°Zbir unutrašnjih uglova četverougla je 360°.

δ=360° − (90° + 90° + 90°)Oduzmi zbir poznatih uglova.

δ=90°Provjeri da sva četiri ugla zajedno daju 360°.

Primjer 3

Tri ugla četverougla su 65°, 115° i 110°. Nađi četvrti.

α + β + γ + δ=360°Zbir unutrašnjih uglova četverougla je 360°.

δ=360° − (65° + 115° + 110°)Oduzmi zbir poznatih uglova.

δ=70°Provjeri da sva četiri ugla zajedno daju 360°.

Konstrukcija pravougaonika

Primjer 1

Konstruiraj pravougaonik stranica 4 cm i 3 cm.

AB=4 cm; AD ⟂ ABNacrtaj stranicu i normalu u njenom kraju.

AD=3 cmNa normali odloži zadanu susjednu stranicu.

BC ∥ AD; DC ∥ ABKroz B i D povuci paralele; njihov presjek je C.

AB = CD; AD = BC; ∠A = 90°Provjeri dužine i pravi ugao.

Primjer 2

Konstruiraj pravougaonik stranica 6 cm i 4 cm.

AB=6 cm; AD ⟂ ABNacrtaj stranicu i normalu u njenom kraju.

AD=4 cmNa normali odloži zadanu susjednu stranicu.

BC ∥ AD; DC ∥ ABKroz B i D povuci paralele; njihov presjek je C.

AB = CD; AD = BC; ∠A = 90°Provjeri dužine i pravi ugao.

Primjer 3

Konstruiraj pravougaonik stranica 7 cm i 5 cm.

AB=7 cm; AD ⟂ ABNacrtaj stranicu i normalu u njenom kraju.

AD=5 cmNa normali odloži zadanu susjednu stranicu.

BC ∥ AD; DC ∥ ABKroz B i D povuci paralele; njihov presjek je C.

AB = CD; AD = BC; ∠A = 90°Provjeri dužine i pravi ugao.

Konstrukcija kvadrata

Primjer 1

Konstruiraj kvadrat stranice 4 cm.

AB=4 cm; AD ⟂ ABNacrtaj stranicu i normalu u njenom kraju.

AD=4 cmNa normali odloži zadanu susjednu stranicu.

BC ∥ AD; DC ∥ ABKroz B i D povuci paralele; njihov presjek je C.

AB = BC = CD = DA; ∠A = 90°Provjeri dužine i pravi ugao.

Primjer 2

Konstruiraj kvadrat stranice 6 cm.

AB=6 cm; AD ⟂ ABNacrtaj stranicu i normalu u njenom kraju.

AD=6 cmNa normali odloži zadanu susjednu stranicu.

BC ∥ AD; DC ∥ ABKroz B i D povuci paralele; njihov presjek je C.

AB = BC = CD = DA; ∠A = 90°Provjeri dužine i pravi ugao.

Primjer 3

Konstruiraj kvadrat stranice 7 cm.

AB=7 cm; AD ⟂ ABNacrtaj stranicu i normalu u njenom kraju.

AD=7 cmNa normali odloži zadanu susjednu stranicu.

BC ∥ AD; DC ∥ ABKroz B i D povuci paralele; njihov presjek je C.

AB = BC = CD = DA; ∠A = 90°Provjeri dužine i pravi ugao.

Konstrukcija romba iz dijagonala

Primjer 1

Konstruiraj romb dijagonala 8 cm i 6 cm.

AC = 8 cm; AO = OC = 4 cmNacrtaj dijagonalu i odredi joj sredinu.

BD ⟂ AC; BO = DO = 3 cmNa normali odloži polovine druge dijagonale.

A–B–C–D–ASpoji krajeve dijagonala.

AB = BC = CD = DAProvjeri jednake stranice; dijagonale romba normalno se sijeku i uzajamno polove.

Primjer 2

Konstruiraj romb dijagonala 10 cm i 8 cm.

AC = 10 cm; AO = OC = 5 cmNacrtaj dijagonalu i odredi joj sredinu.

BD ⟂ AC; BO = DO = 4 cmNa normali odloži polovine druge dijagonale.

A–B–C–D–ASpoji krajeve dijagonala.

AB = BC = CD = DAProvjeri jednake stranice; dijagonale romba normalno se sijeku i uzajamno polove.

Primjer 3

Konstruiraj romb dijagonala 12 cm i 6 cm.

AC = 12 cm; AO = OC = 6 cmNacrtaj dijagonalu i odredi joj sredinu.

BD ⟂ AC; BO = DO = 3 cmNa normali odloži polovine druge dijagonale.

A–B–C–D–ASpoji krajeve dijagonala.

AB = BC = CD = DAProvjeri jednake stranice; dijagonale romba normalno se sijeku i uzajamno polove.

8. Provjeri znanje

1. Trapez ima osnovice 10 i 6 cm. Srednja linija je:

2. Deltoid ima okomite dijagonale 6 i 4 cm. Površina je:

3. Koji iskaz uvijek važi?

Svaki pokušaj ti pokazuje šta već razumiješ. Ako zapneš, ponovi objašnjenje i riješeni primjer prije novog pokušaja.

Veza s kurikulumom

Osnovni program 7. razreda: Matematika — službeni predmetni kurikulum KS, štampana str. 33. Ciljevi iznad su učeniku prilagođena objašnjenja, a ne službene šifre ishoda.