primijeniti osnovne stavove podudarnosti trouglova
konstruisati trougao iz osnovnih zadatih elemenata
razlikovati težište, ortocentar i centre kružnica
1. Razumij pojam
Dva trougla su podudarna ako se mogu poklopiti tako da odgovarajuće stranice i uglovi budu jednaki. Dovoljno je provjeriti: tri stranice (SSS); dvije stranice i ugao između njih (SUS); jednu stranicu i dva uz nju ležeća ugla (USU). Jednaki uglovi bez zadate stranice nisu dovoljni: oblik može biti isti, a veličina različita.
Pravougli trouglovi su podudarni ako imaju jednake hipotenuze i po jednu odgovarajuću katetu. U jednakokrakom trouglu povuci duž od vrha do sredine osnovice. Dobijena dva trougla imaju tri odgovarajuće jednake stranice, pa iz podudarnosti slijedi jednakost uglova uz osnovicu i okomitost te duži na osnovicu.
2. Poveži i objasni
Težišnica spaja tjeme sa sredinom nasuprotne stranice; tri težišnice sijeku se u težištu. Visina prolazi tjemenom i okomita je na pravu nasuprotne stranice; visine se sijeku u ortocentru. Kod tupouglog trougla neke produžetke stranica i visine crtaš izvan trougla.
Simetrale stranica sijeku se u centru opisane kružnice: tačka je jednako udaljena od sva tri tjemena. Simetrale uglova sijeku se u centru upisane kružnice: jednako je udaljen od sve tri stranice. Poluprečnik upisane kružnice je okomita udaljenost centra do stranice. Simetrala duži je okomita na duž kroz njenu sredinu.
Za težište prvo konstruši sredinu svake od dvije stranice: iz njihovih krajeva jednakim otvorom šestara nacrtaj dva para lukova, a spoj presjeka prepolovit će stranicu. Spoji svaku sredinu s nasuprotnim tjemenom. Presjek tih težišnica je težište; treća prolazi istom tačkom.
Za ortocentar iz dva tjemena konstruši okomice na prave nasuprotnih stranica. Možeš šestarom iz tjemena presjeći tu pravu u dvije tačke, zatim konstruisati njihovu simetralu koja prolazi tjemenom. Presjek visina je ortocentar. U pravouglom trouglu to je tjeme pravog ugla.
Za centar upisane kružnice konstruši dvije simetrale uglova. Oko tjemena nacrtaj luk koji siječe krake, a iz tih presjeka jednakim otvorom dva luka. Spoj tjemena i njihovog presjeka je simetrala ugla. Iz zajedničkog presjeka I spusti okomicu na jednu stranicu; njena dužina je r upisane kružnice.
3. Istraži i provjeri pretpostavku
Prije promjene odabira predvidi rezultat. Zatim uporedi svoj odgovor s prikazom i objasni razliku.
4. Riješi korak po korak
AB = 6 cm; AC = 4 cm; ∠BAC = 60°Konstruši trougao sa AB = 6 cm, AC = 4 cm i uglom BAC = 60° (SUS).
AB = 6 cm; ∠BAC = 60°Nacrtaj AB = 6 cm i u A konstruši ugao 60°.
AC=4 cm; spoji BCNa drugom kraku šestarom odloži AC = 4 cm, pa spoji C i B. Podaci određuju trougao do podudarnosti.
OA = OB = OCZa centar opisane kružnice konstruši simetrale AB i AC; njihov presjek O ima OA = OB = OC. Opiši kružnicu sa centrom O i poluprečnikom OA.
5. Primijeni znanje
Primjer: Za konstrukciju USU: nacrtaj AB = 5 cm, u A konstruši 45°, a u B 60° prema istoj strani AB. Presjek krakova je C, a treći ugao 75°. Kod SSS s dužinama 3, 4 i 8 cm konstrukcija nije moguća jer 3 + 4 nije veće od 8. Uvijek prije crtanja provjeri uslove postojanja.
6. Vježbaj i obrazloži
Nacrtaj raznostranični trougao. Različitim bojama konstruši dvije težišnice, dvije visine i dvije simetrale stranica. Jesu li njihovi presjeci ista tačka? Zatim ponovi za jednakostranični trougao.
Šta trebaš uočiti?
U općem raznostraničnom trouglu presjeci se razlikuju. U jednakostraničnom trouglu težišnice, visine, simetrale stranica i uglova poklapaju se, pa su i njihovi presjeci ista tačka.
7. Česte greške
⚠️ Zastani i provjeri
Tri jednaka ugla ne garantuju podudarnost.
Težišnica i visina uglavnom nisu ista duž.
Centar opisane kružnice ne mora biti unutar trougla.
Podudarnost koristi za obrazloženje svojstva
Nije dovoljno da dva trougla slično izgledaju. Označi parove odgovarajućih tjemena, pronađi tri podatka iz istog stava podudarnosti i tek onda zaključi o preostalim stranicama ili uglovima. Zajednička duž oba trougla također daje jednakost koju smiješ koristiti.
Obrazlaganje svojstava pomoću podudarnosti trouglova — korak po korak
Primjer 1
U jednakokrakom trouglu ABC vrijedi AB = AC. M je sredina BC. Objasni zašto je AM okomita na BC.
AB = AC; BM = CM; AM = AMUporedi trouglove ABM i ACM: tri para odgovarajućih stranica su jednaka.
△ABM ≅ △ACM (SSS)Redoslijed slova pokazuje da B odgovara C.
∠BMA = ∠AMC; ∠BMA + ∠AMC = 180°Jednaki su po podudarnosti, a uporedni jer B, M i C leže na pravoj.
∠BMA = ∠AMC = 90°; AM ⟂ BCDva jednaka ugla zbira 180° moraju biti prava.
Primjer 2
ABCD je paralelogram. Dijagonala AC dijeli ga na dva trougla. Objasni zašto su ti trouglovi podudarni.
AB = CD; BC = DA; AC = CANasuprotne stranice paralelograma jednake su, dijagonala je zajednička.
△ABC ≅ △CDA (SSS)Upari A sa C, B sa D, C sa A.
∠ABC = ∠CDAPodudarnost potvrđuje jednakost ovog para nasuprotnih uglova.
Primjer 3
Dva pravougla trougla imaju hipotenuze 10 cm i po jednu katetu 6 cm. Jesu li podudarni? Možemo li isto zaključiti samo iz pravog i oštrog ugla?
Hipotenuza₁ = hipotenuza₂ = 10 cmUpoređuj hipotenuzu s hipotenuzom.
Kateta₁ = kateta₂ = 6 cmJednake su i po jedna odgovarajuća kateta.
Trouglovi su podudarni.Za pravougle trouglove dovoljne su jednake hipotenuze i jedna kateta.
Samo jednaki uglovi ne određuju veličinu.Dva prava i dva jednaka oštra ugla dopuštaju veći i manji trougao istog oblika, pa nisu dovoljni.
Pokušaj samostalno
U jednakokrakom ABC s AB = AC tačka M je sredina BC. Koristeći ista dva trougla objasni zašto AM prepolovljava ugao BAC. Zatim provjeri podudarnost dva pravougla trougla koja imaju odgovarajuće katete 6 cm i 8 cm. Koji poznati stav možeš koristiti?
Provjeri i obrazloži
SSS daje △ABM ≅ △ACM, pa su ∠BAM i ∠MAC jednaki: AM je simetrala ugla. Drugi par je podudaran po SUS: katete su dva para jednakih stranica, a ugao između njih je pravi u oba trougla. Za zaključak ne trebaš računati hipotenuzu.
Riješeni zadaci — korak po korak
Prati postupak red po red. Komentar uz svaki red objašnjava šta radiš. Prvo pokušaj samostalno, pa otkrij sljedeći korak.
Težišnica i težište
Primjer 1
Težišnica AM trougla je 6 cm. Tačka T je težište. Izračunaj AT i TM.
AT : TM=2 : 1Težište dijeli težišnicu u odnosu dva prema jedan, od vrha.
TM = 6 : 3 = 2 cmCijelu težišnicu podijeli na tri jednaka dijela.
AT = 2 · 2 = 4 cmProvjera: AT + TM = 6 cm.
Primjer 2
Težišnica AM trougla je 9 cm. Tačka T je težište. Izračunaj AT i TM.
AT : TM=2 : 1Težište dijeli težišnicu u odnosu dva prema jedan, od vrha.
TM = 9 : 3 = 3 cmCijelu težišnicu podijeli na tri jednaka dijela.
AT = 2 · 3 = 6 cmProvjera: AT + TM = 9 cm.
Primjer 3
Težišnica AM trougla je 12 cm. Tačka T je težište. Izračunaj AT i TM.
AT : TM=2 : 1Težište dijeli težišnicu u odnosu dva prema jedan, od vrha.
TM = 12 : 3 = 4 cmCijelu težišnicu podijeli na tri jednaka dijela.
AT = 2 · 4 = 8 cmProvjera: AT + TM = 12 cm.
Podudarnost po uslovu SSS
Primjer 1
Za trouglove ABC i DEF dato je AB = DE = 4 cm, BC = EF = 5 cm i AC = DF = 6 cm. Dokaži podudarnost.
AB = DE; BC = EF; AC = DFUpari tri odgovarajuće stranice.
SSSSva tri para dužina su jednaka.
△ABC ≅ △DEFRedoslijed slova prati odgovarajuće vrhove.
Primjer 2
Za trouglove ABC i DEF dato je AB = DE = 5 cm, BC = EF = 6 cm i AC = DF = 7 cm. Dokaži podudarnost.
AB = DE; BC = EF; AC = DFUpari tri odgovarajuće stranice.
SSSSva tri para dužina su jednaka.
△ABC ≅ △DEFRedoslijed slova prati odgovarajuće vrhove.
Primjer 3
Za trouglove ABC i DEF dato je AB = DE = 3 cm, BC = EF = 4 cm i AC = DF = 5 cm. Dokaži podudarnost.
AB = DE; BC = EF; AC = DFUpari tri odgovarajuće stranice.
SSSSva tri para dužina su jednaka.
△ABC ≅ △DEFRedoslijed slova prati odgovarajuće vrhove.
Podudarnost po uslovu SUS
Primjer 1
Dato je AB = DE = 4 cm, AC = DF = 5 cm i ∠BAC = ∠EDF = 90°. Dokaži podudarnost.
AB = DE; AC = DFUpari dvije odgovarajuće stranice.
∠BAC=∠EDFJednak ugao nalazi se između uparenih stranica.
△ABC ≅ △DEF po SUSPoložaj jednakog ugla je važan dio uslova.
Primjer 2
Dato je AB = DE = 5 cm, AC = DF = 6 cm i ∠BAC = ∠EDF = 100°. Dokaži podudarnost.
AB = DE; AC = DFUpari dvije odgovarajuće stranice.
∠BAC=∠EDFJednak ugao nalazi se između uparenih stranica.
△ABC ≅ △DEF po SUSPoložaj jednakog ugla je važan dio uslova.
Primjer 3
Dato je AB = DE = 3 cm, AC = DF = 4 cm i ∠BAC = ∠EDF = 80°. Dokaži podudarnost.
AB = DE; AC = DFUpari dvije odgovarajuće stranice.
∠BAC=∠EDFJednak ugao nalazi se između uparenih stranica.
△ABC ≅ △DEF po SUSPoložaj jednakog ugla je važan dio uslova.
Podudarnost po uslovu USU
Primjer 1
Dato je AB = DE = 6 cm, ∠A = ∠D = 40° i ∠B = ∠E = 50°. Dokaži podudarnost.
∠A = ∠D; AB = DE; ∠B = ∠EJednaka stranica je između odgovarajućih jednakih uglova.