Uglovi uz transverzalu i konstrukcije uglova

🎯 Cilj lekcije

Nakon ove lekcije možeš:

koristiti uglove s paralelnim i okomitim kracima
izračunati uglove uz transverzalu paralelnih pravih
konstruisati karakteristične uglove šestarom i ravnalom

1. Razumij pojam

Prava koja siječe dvije druge prave zove se transverzala. Kada siječe paralelne prave, odgovarajući uglovi su jednaki, naizmjenični unutrašnji uglovi su jednaki, a unutrašnji uglovi s iste strane transverzale imaju zbir 180°. Prepoznaj ih prema položaju krakova, a ne samo obliku slova na skici.

Dva ugla kojima su kraci paralelni mogu biti jednaka ili suplementna. Ako su oba odgovarajuća kraka jednako usmjerena ili oba suprotno usmjerena, uglovi su jednaki; ako je samo jedan par suprotno usmjeren, zbir je 180°. Slično, uglovi s odgovarajuće okomitim kracima mogu biti jednaki ili suplementni: provjeri položaj.

2. Poveži i objasni

Konstrukcija ravnalom i šestarom razlikuje se od mjerenja uglomjerom. Ravnalo spaja tačke, a šestar prenosi dužine i crta kružnice. Jednakostranični trougao daje ugao 60°. Simetrala ga prepolovi na 30°, pa ponovo na 15°. Okomite prave daju 90°, a prepolovljavanje 45°.

Sabiranjem i oduzimanjem tih konstruisanih uglova dobijaš 75° = 45° + 30°, 105° = 60° + 45°, 120° = 180° − 60°, 135° = 180° − 45°. Za prenos ugla opiši luk oko starog i novog tjemena istim otvorom, a zatim na novi luk prenesi tetivu između presjeka starog luka s kracima.

Za konstrukciju pravog ugla u tački O prave izaberi A i B na suprotnim stranama tako da OA = OB. Iz A i B istim otvorom većim od OA nacrtaj lukove koji se sijeku u P. Prava OP je okomita na AB: P je jednako udaljen od A i B i leži na simetrali duži AB. Za simetralu općeg ugla prvo lukom oko tjemena označi tačke na oba kraka, pa jednakim lukovima iz tih tačaka nađi presjek. Spoji ga s tjemenom.

3. Istraži i provjeri pretpostavku

Prije promjene odabira predvidi rezultat. Zatim uporedi svoj odgovor s prikazom i objasni razliku.

Oštri ugao uz transverzalu

4. Riješi korak po korak

∠AOC=75°Konstruši ugao 75°. Nacrtaj polupravu OA i izaberi A na njoj.

∠AOB=60°Za 60° nacrtaj kružnice sa centrima O i A i istim poluprečnikom OA. Njihov presjek B daje polupravu OB.

60° : 2 = 30°; 90° : 2 = 45°Konstruši simetralu ugla AOB: luk oko O siječe krake u P i Q; jednaki lukovi iz P i Q sijeku se u S. OS daje 30°. Posebno konstruši pravi ugao pa ga prepolovi na 45°.

30° + 45°=75°Prenesi 30° i 45° kao susjedne uglove uz zajednički krak: dobijaš 75°. Uglomjerom provjeri crtež; mjerenje je kontrola, ne osnova konstrukcije.

5. Primijeni znanje

Primjer: Jedan ugao uz transverzalu paralelnih pravih iznosi 68°. Njegov odgovarajući ugao je 68°, a unutrašnji ugao s iste strane je 180° − 68° = 112°. Ako ne znamo da su prave paralelne, ove veze ne možemo automatski koristiti.

6. Vježbaj i obrazloži

Na papiru konstruši 30°, 45°, 120° i 135°. Nacrtaj dvije paralelne prave i transverzalu te označi par jednakih i par suplementnih uglova. Napiši uz svaki par razlog.

Samoprovjera

30° dobijaš prepolovljavanjem 60°, 45° prepolovljavanjem pravog ugla, a 120° i 135° dopunom do opruženog. Kod transverzale provjeri paralelnost početnih pravih.

7. Česte greške

⚠️ Zastani i provjeri

Jednakost odgovarajućih uglova traži paralelne prave.
Konstrukcija šestarom nije isto što i crtanje po očitanju uglomjera.
Simetrala dijeli ugao na dva jednaka ugla, ne samo na bilo koja dva dijela.

Uglovi s paralelnim i okomitim kracima

Ovdje posmatramo konveksne uglove. Ako oba kraka okreneš za isti ugao u istom smjeru, veličina ugla ostaje ista. Zato istovremeni okret oba kraka za 90° daje jednake uglove s odgovarajuće okomitim kracima. Ako zatim obrneš samo jedan krak, dobijaš suplement: 180° − α. Za oba obrnuta kraka ugao ponovo ostaje jednak.

Računanje uglova s paralelnim ili okomitim kracima — korak po korak

Primjer 1

Ugao α = 38°. Kraci drugog ugla paralelni su odgovarajućim kracima prvog i oba jednako usmjerena. Odredi β.

Oba kraka zadržavaju svoje smjerove.Pri prenošenju se ugao nije otvorio niti zatvorio.

β = α = 38°Paralelni jednako usmjereni kraci daju jednak ugao.

β − α = 0°Položaj tjemena ne mijenja mjeru ugla.

Primjer 2

Ugao α = 67°. Kraci β su odgovarajuće paralelni, ali je tačno jedan suprotno usmjeren. Odredi β.

α + β = 180°Obrt samo jednog kraka daje suplementni ugao.

β = 180° − 67° = 113°Najprije navedi geometrijski razlog pa računaj.

67° + 113° = 180°Provjeri zbir, bez zaključivanja po izgledu skice.

Primjer 3

Ugao α = 52°. Oba njegova kraka okrenuta su za 90° suprotno kazaljci sata. Zatim je samo drugi novi krak obrnut. Odredi ugao poslije svakog koraka.

β = α = 52°Isti okret oba kraka čuva ugao. Novi kraci su okomiti na stare.

γ = 180° − β = 128°Dodatni obrt jednog kraka daje suplement.

52° + 128° = 180°Sami podaci da su kraci okomiti nisu dovoljni da izabereš β ili γ; važan je njihov smjer.

Pokušaj samostalno

Za ugao 74° odredi ugao s oba odgovarajuća kraka suprotno usmjerena, a zatim onaj sa samo jednim suprotno usmjerenim krakom. Nacrtaj oba slučaja. Koje su dvije moguće mjere ako znaš samo da su odgovarajući kraci okomiti?

Provjeri i obrazloži

Oba obrnuta kraka daju 74°, a samo jedan 106°. Kod odgovarajuće okomitih krakova moguće su 74° i 106°, zavisno od položaja i smjerova. Provjeri skicom okreta oba kraka.

Riješeni zadaci — korak po korak

Prati postupak red po red. Komentar uz svaki red objašnjava šta radiš. Prvo pokušaj samostalno, pa otkrij sljedeći korak.

Konstrukcija simetrale ugla

Primjer 1

Konstruiraj simetralu ugla α = 60° i izračunaj dobijene uglove.

k(O, r) ∩ kraci={A, B}Iz vrha ugla opiši luk koji siječe oba kraka.

k₁(A, s) ∩ k₂(B, s)={P, …}Iz A i B jednakim otvorom šestara opiši lukove unutar ugla.

OP je simetralaSpoji vrh ugla i sjecište lukova.

α₁ = α₂ = 60° : 2 = 30°Simetrala dijeli ugao na dva jednaka ugla.

Primjer 2

Konstruiraj simetralu ugla α = 90° i izračunaj dobijene uglove.

k(O, r) ∩ kraci={A, B}Iz vrha ugla opiši luk koji siječe oba kraka.

k₁(A, s) ∩ k₂(B, s)={P, …}Iz A i B jednakim otvorom šestara opiši lukove unutar ugla.

OP je simetralaSpoji vrh ugla i sjecište lukova.

α₁ = α₂ = 90° : 2 = 45°Simetrala dijeli ugao na dva jednaka ugla.

Primjer 3

Konstruiraj simetralu ugla α = 120° i izračunaj dobijene uglove.

k(O, r) ∩ kraci={A, B}Iz vrha ugla opiši luk koji siječe oba kraka.

k₁(A, s) ∩ k₂(B, s)={P, …}Iz A i B jednakim otvorom šestara opiši lukove unutar ugla.

OP je simetralaSpoji vrh ugla i sjecište lukova.

α₁ = α₂ = 120° : 2 = 60°Simetrala dijeli ugao na dva jednaka ugla.

Uglovi uz paralelne prave

Primjer 1

Dvije paralelne prave presječene su transverzalom. Jedan oštar ugao je 35°. Nađi njemu odgovarajući i naporedni ugao.

α=35°Označi poznati ugao.

β = α = 35°Odgovarajući uglovi uz paralelne prave su jednaki.

γ = 180° − 35° = 145°Naporedni ugao dopunjuje poznati do 180°.

Primjer 2

Dvije paralelne prave presječene su transverzalom. Jedan oštar ugao je 52°. Nađi njemu odgovarajući i naporedni ugao.

α=52°Označi poznati ugao.

β = α = 52°Odgovarajući uglovi uz paralelne prave su jednaki.

γ = 180° − 52° = 128°Naporedni ugao dopunjuje poznati do 180°.

Primjer 3

Dvije paralelne prave presječene su transverzalom. Jedan oštar ugao je 68°. Nađi njemu odgovarajući i naporedni ugao.

α=68°Označi poznati ugao.

β = α = 68°Odgovarajući uglovi uz paralelne prave su jednaki.

γ = 180° − 68° = 112°Naporedni ugao dopunjuje poznati do 180°.

Konstrukcija ugla 60°

Primjer 1

Na polupravoj OA označi OA = 3 cm, pa konstruiraj ugao 60° sa početnim krakom OA.

OA=3 cmOznači tačku A na početnom kraku.

OB = AB = 3 cmIz O i A jednakim otvorom šestara nacrtaj lukove; sjecište je B.

∠AOB=60°Jednakostranični trougao daje traženi ugao.

Primjer 2

Na polupravoj OA označi OA = 4 cm, pa konstruiraj ugao 60° sa početnim krakom OA.

OA=4 cmOznači tačku A na početnom kraku.

OB = AB = 4 cmIz O i A jednakim otvorom šestara nacrtaj lukove; sjecište je B.

∠AOB=60°Jednakostranični trougao daje traženi ugao.

Primjer 3

Na polupravoj OA označi OA = 5 cm, pa konstruiraj ugao 60° sa početnim krakom OA.

OA=5 cmOznači tačku A na početnom kraku.

OB = AB = 5 cmIz O i A jednakim otvorom šestara nacrtaj lukove; sjecište je B.

∠AOB=60°Jednakostranični trougao daje traženi ugao.

Konstrukcija ugla 30°

Primjer 1

Na polupravoj OA označi OA = 3 cm, pa konstruiraj ugao 30° sa početnim krakom OA.

OA = OB = AB = 3 cmNajprije konstruiraj jednakostranični trougao.

OS: simetrala ∠AOBIz sjecišta jednakih lukova konstruiraj simetralu ugla.

∠AOS = 60° : 2 = 30°Simetrala dijeli ugao na dvije jednake polovine.

Primjer 2

Na polupravoj OA označi OA = 4 cm, pa konstruiraj ugao 30° sa početnim krakom OA.

OA = OB = AB = 4 cmNajprije konstruiraj jednakostranični trougao.

OS: simetrala ∠AOBIz sjecišta jednakih lukova konstruiraj simetralu ugla.

∠AOS = 60° : 2 = 30°Simetrala dijeli ugao na dvije jednake polovine.

Primjer 3

Na polupravoj OA označi OA = 5 cm, pa konstruiraj ugao 30° sa početnim krakom OA.

OA = OB = AB = 5 cmNajprije konstruiraj jednakostranični trougao.

OS: simetrala ∠AOBIz sjecišta jednakih lukova konstruiraj simetralu ugla.

∠AOS = 60° : 2 = 30°Simetrala dijeli ugao na dvije jednake polovine.

Konstrukcija ugla 90°

Primjer 1

Na polupravoj OA označi OA = 3 cm, pa konstruiraj ugao 90° sa početnim krakom OA.

OA = OB = 3 cm; A, O, B kolinearneProduži krak kroz O i označi B na suprotnoj strani.

AP=BP; P ∉ ABIz A i B opiši lukove jednakog poluprečnika većeg od OA.

OP ⟂ AB; ∠AOP=90°Prava OP je simetrala AB, pa je normalna na početni krak.

Primjer 2

Na polupravoj OA označi OA = 4 cm, pa konstruiraj ugao 90° sa početnim krakom OA.

OA = OB = 4 cm; A, O, B kolinearneProduži krak kroz O i označi B na suprotnoj strani.

AP=BP; P ∉ ABIz A i B opiši lukove jednakog poluprečnika većeg od OA.

OP ⟂ AB; ∠AOP=90°Prava OP je simetrala AB, pa je normalna na početni krak.

Primjer 3

Na polupravoj OA označi OA = 5 cm, pa konstruiraj ugao 90° sa početnim krakom OA.

OA = OB = 5 cm; A, O, B kolinearneProduži krak kroz O i označi B na suprotnoj strani.

AP=BP; P ∉ ABIz A i B opiši lukove jednakog poluprečnika većeg od OA.

OP ⟂ AB; ∠AOP=90°Prava OP je simetrala AB, pa je normalna na početni krak.

8. Provjeri znanje

1. Paralelne prave siječe transverzala. Ugao je 57°. Odgovarajući ugao je:

2. Kako dobiti 15° iz 60°?

3. Ugao 105° možeš konstruisati kao:

Svaki pokušaj ti pokazuje šta već razumiješ. Ako zapneš, ponovi objašnjenje i riješeni primjer prije novog pokušaja.

Veza s kurikulumom

Osnovni program 7. razreda: Matematika — službeni predmetni kurikulum KS, štampana str. 33. Ciljevi iznad su učeniku prilagođena objašnjenja, a ne službene šifre ishoda.