Zašto Pitagora vrijedi: dokaz i primjene

🎯 Cilj lekcije

Objasni dokaz Pitagorine teoreme pomoću površina.
Odredi visine, obime i površine trougla, romba i trapeza.
Nacrtaj pomoćni pravougli trougao i provjeri rezultat.

1. Prije početka

Pripremi papir i olovku. Tokom čitanja zapiši šta je poznato, šta tražiš i koji uslovi vrijede. Prvo pokušaj predvidjeti odgovor, zatim ga uporedi s računom.

2. Razumij pojam

Pitagorina teorema povezuje površine kvadrata nad stranicama pravouglog trougla. Dokaz objašnjava zašto ona vrijedi za svaki takav trougao.

3. Pravila i veze

U kvadrat stranice a+b složi četiri jednaka pravougla trougla kateta a,b tako da ostane središnji kvadrat stranice c. Središnji uglovi su pravi jer su oštri uglovi trougla komplementarni. Površina velikog kvadrata daje (a+b)²=4·ab/2+c². Razvijanjem: a²+2 ab+b²=2 ab+c², pa a²+b²=c².

4. Istraži primjere

Izaberi slučaj. Predvidi rezultat prije promjene, zatim objasni šta se na prikazu promijenilo.

Slučaj:

a²+b²=9+16=25; hipotenuza 5.

5. Rješenje korak po korak

a2=62 = 3 cmJednakokraki trougao ima krake 5 cm i osnovicu 6 cm. Visina raspolavlja osnovicu.

h²=5² − 3² = 16 ⇒ h = 4 cmPolovina trougla je pravougla; krak je hipotenuza.

P=6·42 = 12 cm²; O = 5+5+6 = 16 cmPovršinu računaj cijelom osnovicom, a za obim saberi sve stranice.

3² + 4²=25 = 5² ✓Visina odgovara dvama podudarnim pravouglim trouglovima.

Riješeni primjeri

Vježbaj uz riješene primjere. Za svaki tip zadatka slijede tri primjera. Pokušaj sam zapisati sljedeći red, pa otkrij postupak korak po korak.

Hipotenuza — tri riješena primjera

Primjer 1: Hipotenuza

Katete pravouglog trougla su 3 cm i 4 cm. Izračunaj hipotenuzu.

a=3 cm, b = 4 cmZapiši poznate katete.

c²=a² + b²Hipotenuza je nasuprot pravom uglu.

c²=3² + 4² = 9 + 16 = 25Prvo kvadriraj, pa saberi.

c=√25 = 5 cmDužina je pozitivan korijen.

9 + 16=25 ✓Vrati rezultat u početnu jednakost.

Primjer 2: Hipotenuza

Katete pravouglog trougla su 5 cm i 12 cm. Izračunaj hipotenuzu.

a=5 cm, b = 12 cmZapiši poznate katete.

c²=a² + b²Hipotenuza je nasuprot pravom uglu.

c²=5² + 12² = 25 + 144 = 169Prvo kvadriraj, pa saberi.

c=√169 = 13 cmDužina je pozitivan korijen.

25 + 144=169 ✓Vrati rezultat u početnu jednakost.

Primjer 3: Hipotenuza

Katete pravouglog trougla su 8 cm i 15 cm. Izračunaj hipotenuzu.

a=8 cm, b = 15 cmZapiši poznate katete.

c²=a² + b²Hipotenuza je nasuprot pravom uglu.

c²=8² + 15² = 64 + 225 = 289Prvo kvadriraj, pa saberi.

c=√289 = 17 cmDužina je pozitivan korijen.

64 + 225=289 ✓Vrati rezultat u početnu jednakost.

Nepoznata kateta — tri riješena primjera

Primjer 1: Nepoznata kateta

Hipotenuza je 5 cm, a jedna kateta 3 cm. Izračunaj drugu katetu.

c=5 cm, a = 3 cmOznači hipotenuzu i poznatu katetu.

b²=c² − a²Kvadrat katete dobiješ oduzimanjem.

b²=25 − 9 = 16Izračunaj razliku kvadrata.

b=√16 = 4 cmUzmi pozitivan korijen.

9 + 16=25 ✓Provjeri Pitagorinom teoremom.

Primjer 2: Nepoznata kateta

Hipotenuza je 13 cm, a jedna kateta 5 cm. Izračunaj drugu katetu.

c=13 cm, a = 5 cmOznači hipotenuzu i poznatu katetu.

b²=c² − a²Kvadrat katete dobiješ oduzimanjem.

b²=169 − 25 = 144Izračunaj razliku kvadrata.

b=√144 = 12 cmUzmi pozitivan korijen.

25 + 144=169 ✓Provjeri Pitagorinom teoremom.

Primjer 3: Nepoznata kateta

Hipotenuza je 17 cm, a jedna kateta 8 cm. Izračunaj drugu katetu.

c=17 cm, a = 8 cmOznači hipotenuzu i poznatu katetu.

b²=c² − a²Kvadrat katete dobiješ oduzimanjem.

b²=289 − 64 = 225Izračunaj razliku kvadrata.

b=√225 = 15 cmUzmi pozitivan korijen.

64 + 225=289 ✓Provjeri Pitagorinom teoremom.

Provjera pravog ugla — tri riješena primjera

Primjer 1: Provjera pravog ugla

Jesu li stranice 3 cm, 4 cm i 5 cm stranice pravouglog trougla?

c=5 cmNajveća stranica je kandidat za hipotenuzu.

a² + b²=9 + 16 = 25Saberi kvadrate kraćih stranica.

c²=25Kvadriraj najveću stranicu.

a² + b²=c² ⇒ ugao nasuprot c iznosi 90°Obrat Pitagorine teoreme potvrđuje pravi ugao.

Primjer 2: Provjera pravog ugla

Jesu li stranice 5 cm, 12 cm i 13 cm stranice pravouglog trougla?

c=13 cmNajveća stranica je kandidat za hipotenuzu.

a² + b²=25 + 144 = 169Saberi kvadrate kraćih stranica.

c²=169Kvadriraj najveću stranicu.

a² + b²=c² ⇒ ugao nasuprot c iznosi 90°Obrat Pitagorine teoreme potvrđuje pravi ugao.

Primjer 3: Provjera pravog ugla

Jesu li stranice 8 cm, 15 cm i 17 cm stranice pravouglog trougla?

c=17 cmNajveća stranica je kandidat za hipotenuzu.

a² + b²=64 + 225 = 289Saberi kvadrate kraćih stranica.

c²=289Kvadriraj najveću stranicu.

a² + b²=c² ⇒ ugao nasuprot c iznosi 90°Obrat Pitagorine teoreme potvrđuje pravi ugao.

Visina jednakokrakog trougla — tri riješena primjera

Primjer 1: Visina jednakokrakog trougla

Jednakokraki trougao ima osnovicu 6 cm i krake 5 cm. Odredi visinu i površinu.

a2=3 cmVisina na osnovicu dijeli osnovicu na dva jednaka dijela.

h²=5² − 3² = 25 − 9 = 16U jednom pravouglom trouglu krak je hipotenuza.

h=4 cmUzmi pozitivan korijen.

P=6 · 42 = 12 cm²Površina koristi cijelu osnovicu.

Primjer 2: Visina jednakokrakog trougla

Jednakokraki trougao ima osnovicu 10 cm i krake 13 cm. Odredi visinu i površinu.

a2=5 cmVisina na osnovicu dijeli osnovicu na dva jednaka dijela.

h²=13² − 5² = 169 − 25 = 144U jednom pravouglom trouglu krak je hipotenuza.

h=12 cmUzmi pozitivan korijen.

P=10 · 122 = 60 cm²Površina koristi cijelu osnovicu.

Primjer 3: Visina jednakokrakog trougla

Jednakokraki trougao ima osnovicu 16 cm i krake 17 cm. Odredi visinu i površinu.

a2=8 cmVisina na osnovicu dijeli osnovicu na dva jednaka dijela.

h²=17² − 8² = 289 − 64 = 225U jednom pravouglom trouglu krak je hipotenuza.

h=15 cmUzmi pozitivan korijen.

P=16 · 152 = 120 cm²Površina koristi cijelu osnovicu.

Pitagora u trapezu: korak po korak

Spusti visinu iz kraćeg gornjeg vrha. Tako dobijaš pravougli trougao. Kod jednakokrakog trapeza razlika osnovica se dijeli na dva jednaka odsječka; kod pravouglog je cijela razlika jedan odsječak.

Primjer 1: Pitagora u trapezu

Jednakokraki trapez ima osnovice 14 i 8 cm i krak 5 cm. Nađi površinu.

x = (14−8)/2 = 3 cmDva jednaka rubna odsječka čine razliku osnovica.

h² = 5²−3² = 16 ⇒ h = 4 cmKrak je hipotenuza.

P = (14+8)·4/2 = 44 cm²Za površinu koristi visinu, a ne krak.

Primjer 2: Pitagora u trapezu

Jednakokraki trapez ima osnovice 18 i 8 cm i krak 13 cm. Odredi obim i površinu.

x = (18−8)/2 = 5 cmNacrtaj oba jednaka rubna trougla.

h = √(13²−5²) = √144 = 12 cmOdredi vertikalnu visinu.

O = 18+8+13+13 = 52 cmObim je zbir sve četiri stranice.

P = (18+8)·12/2 = 156 cm²Površina i obim imaju različite jedinice.

Primjer 3: Pitagora u trapezu

Pravougli trapez ima osnovice 10 i 7 cm, kosi krak 5 cm. Nađi površinu.

x = 10−7 = 3 cmPravi krak je uspravan, zato nema dijeljenja sa 2.

h = √(5²−3²) = 4 cmKosi krak je hipotenuza.

P = (10+7)·4/2 = 34 cm²Kraći i duži dio u formuli jesu osnovice.

Samostalno: Jednakokraki trapez ima osnovice20 i12 cm, krak5 cm. Odredi visinu i površinu.

Provjeri postupak

x=(20−12)/2=4 cm;h=√(25−16)=3 cm;P=(20+12)·3/2=48 cm².

6. Primijeni i provjeri

Primjer i zadatak: Romb dijagonala 6 i 8 cm ima stranicu √(3²+4²)=5 cm; O=20 cm, P=6·8/2=24 cm². Jednakostranični trougao stranice a ima h=a√3/2 i P=a²√3/4. U jednakokrakom trapezu osnovica 14 i 8 cm, kraka 5 cm, vodoravni odsječak je (14−8)/2=3, pa h=4 i P=(14+8)·4/2=44 cm². U pravouglom trapezu osnovica 10 i 7, kosog kraka 5, odsječak je 3, pa h=4 i P=34 cm².

Pokrij rješenje i ponovi postupak. Promijeni jedan podatak, riješi novi zadatak i provjeri ga istom metodom. Objasni zašto se odabrano pravilo može primijeniti.

Samostalni zadaci s provjerom

Zadatak 1. Jednakokraki trougao ima krake 13 i osnovicu 10. Izračunaj visinu, obim i površinu.

Provjeri rješenje i postupak

Polovina osnovice je 5, visina √(169−25)=12; obim 36; površina 10·12/2=60.

Zadatak 2. Romb dijagonala 10 i 24: izračunaj stranicu, obim i površinu.

Provjeri rješenje i postupak

Stranica √(5²+12²)=13; obim 52; površina 10·24/2=120.

Zadatak 3. Jednakokraki trapez ima osnovice 18 i 8, krak 13. Izračunaj površinu.

Provjeri rješenje i postupak

Vodoravni odsječak(18−8)/2=5; visina √(169−25)=12; površina(18+8)·12/2=156.

7. Česte greške

⚠️ Česte greške

U rombu računamo s polovinama dijagonala.
Kod jednakokrakog trapeza razliku osnovica dijelimo sa 2.
Dokaz počiva na površinama, ne na jednom izmjerenom primjeru.

8. Provjeri znanje

1. Visina trougla krakova 5, osnovice 6 je

2. Površina romba dijagonala 6 i 8 je

3. Visina jednakostraničnog trougla a je

Svaki pokušaj ti pokazuje šta već razumiješ. Ako pogriješiš, ponovi pravila i primjer korak po korak, pa riješi sličan zadatak na papiru.

Izvor zahtjeva: Predmetni kurikulum KS, Matematika, označena str. 38. Objašnjenja i zadaci su vlastiti sadržaj portala.