Metoda suprotnih koeficijenata

Pokreni prezentaciju →

Mjesto u programuProširenje: u 8. razredu sistemima pristupaš metodom zamjene uz geometriju. Ovu metodu sistematski učiš u 9. razredu.

🎯 Cilj lekcije

Objasniti ideju sabiranja/oduzimanja jednačina da se jedna nepoznata poništi.
Po potrebi pomnožiti jednu ili obje jednačine da koeficijenti postanu suprotni ili jednaki.
Riješiti sistem i provjeriti rješenje u obje jednačine.

1. Ideja metode

U metodi suprotnih koeficijenata (eliminacije) saberemo ili oduzmemo dvije jednačine tako da jedna nepoznata nestane (poništi se). Ovo radi kad su koeficijenti uz tu nepoznatu jednaki (oduzimamo) ili suprotni (sabiramo).

💡 Kad sabrati, kad oduzetiAko su koeficijenti uz istu nepoznatu suprotni (npr. +y i −y), jednačine saberi. Ako su jednaki (npr. +y i +y), jednačine oduzmi.

2. Glavni primjer: 2x + y = 11, x − y = 1

Primjer: Riješi sistem 2x + y = 11, x − y = 1.
Koeficijenti uz y su +1 i −1 — suprotni! Saberimo jednačine:
(2x + y) + (x − y) = 11 + 1 → 3x = 12 → x = 4.
Uvrsti x = 4 u drugu jednačinu: 4 − y = 1 → y = 4 − 1 = 3.
Provjera: 2 · 4 + 3 = 11 ✓, 4 − 3 = 1 ✓

3. Kad treba množiti jednačinu

Ponekad koeficijenti nisu odmah jednaki ili suprotni — tada jednu (ili obje) jednačine pomnožimo brojem da to postignemo. Pazi: množiš cijelu jednačinu, svaki član!

Primjer: Riješi sistem 3x + 2y = 16, x + y = 7.
Pomnožimo drugu jednačinu s 2: 2x + 2y = 14.
Sad su koeficijenti uz y jednaki (+2 i +2) — oduzmimo jednačine:
(3x + 2y) − (2x + 2y) = 16 − 14 → x = 2.
Uvrsti x = 2 u x + y = 7: y = 7 − 2 = 5.
Provjera: 3 · 2 + 2 · 5 = 6 + 10 = 16 ✓, 2 + 5 = 7 ✓

Primjer iz života: Na pijaci, 2 kg jabuka i 1 kg krušaka koštaju 7 KM: 2x + y = 7 (x = cijena kg jabuka, y = cijena kg krušaka). 1 kg jabuka i 1 kg krušaka košta 5 KM: x + y = 5.
Koeficijenti uz y su jednaki (+1 i +1) — oduzmimo jednačine:
(2x + y) − (x + y) = 7 − 5 → x = 2.
Uvrsti x = 2 u x + y = 5: 2 + y = 5 → y = 3.
Provjera: 2 · 2 + 3 = 7 ✓, 2 + 3 = 5 ✓. Kilogram jabuka košta 2 KM, kilogram krušaka 3 KM.

4. Isprobaj uživo

Sistem je 2x + y = a, x − y = b. Promijeni a i b — koeficijenti uz y su uvijek suprotni, pa jednačine sabiramo.

➕ Riješi sistem 2x + y = a, x − y = b

Alat sabira jednačine (y se poništi) i prikazuje postupak.

a b

5. Rješenje korak po korak

Riješimo zajedno sistem 3x + 2y = 16, x + y = 7, korak po korak.

3x+2y=16; x+y = 7Koeficijenti uz y su 2 i 1 pa ih prvo izjednači.

2x + 2y=14Pomnoži svaki član druge jednačine sa 2.

(3x+2y)−(2x+2y)=16−14 ⇒ x = 2Oduzimanjem poništavaš y.

2 + y=7 ⇒ y = 5Vrati x u izvornu drugu jednačinu.

3·2+2·5=16; 2+5 = 7 ✓Obje provjere potvrđuju rješenje (2,5).

Riješeni primjeri

Vježbaj uz riješene primjere. Za svaki tip zadatka slijede tri primjera. Pokušaj sam zapisati sljedeći red, pa otkrij postupak korak po korak.

Suprotni koeficijenti — tri riješena primjera

Primjer 1: Suprotni koeficijenti

Riješi sistem 2x + y = 7, x − y = -1.

2x + y=7; x − y = -1Članovi y i −y imaju suprotne koeficijente.

3x=7 + (-1) = 6Saberi lijeve i desne strane.

x=2Podijeli zbirnu jednačinu s 3.

y=7 − 2 · (2) = 3Vrati x u prvu jednačinu.

2 − (3)=-1 ✓Provjeri i drugu jednačinu.

Primjer 2: Suprotni koeficijenti

Riješi sistem 2x + y = 7, x − y = 2.

2x + y=7; x − y = 2Članovi y i −y imaju suprotne koeficijente.

3x=7 + (2) = 9Saberi lijeve i desne strane.

x=3Podijeli zbirnu jednačinu s 3.

y=7 − 2 · (3) = 1Vrati x u prvu jednačinu.

3 − (1)=2 ✓Provjeri i drugu jednačinu.

Primjer 3: Suprotni koeficijenti

Riješi sistem 2x + y = 2, x − y = -5.

2x + y=2; x − y = -5Članovi y i −y imaju suprotne koeficijente.

3x=2 + (-5) = -3Saberi lijeve i desne strane.

x=-1Podijeli zbirnu jednačinu s 3.

y=2 − 2 · (-1) = 4Vrati x u prvu jednačinu.

-1 − (4)=-5 ✓Provjeri i drugu jednačinu.

Eliminacija uz množenje jednačine — tri riješena primjera

Primjer 1: Eliminacija uz množenje jednačine

Riješi 3x + 2y = 12, x + y = 5.

2x + 2y=10Drugu jednačinu pomnoži sa 2, uključujući desnu stranu.

(3x+2y) − (2x+2y)=12 − 10Od prve jednačine oduzmi udvostručenu drugu.

x=2Izračunaj razliku.

y=5 − 2 = 3Vrati x u drugu izvornu jednačinu.

3·2+2·3=12; 2+3 = 5 ✓Provjeri obje izvorne jednačine.

Primjer 2: Eliminacija uz množenje jednačine

Riješi 3x + 2y = 17, x + y = 7.

2x + 2y=14Drugu jednačinu pomnoži sa 2, uključujući desnu stranu.

(3x+2y) − (2x+2y)=17 − 14Od prve jednačine oduzmi udvostručenu drugu.

x=3Izračunaj razliku.

y=7 − 3 = 4Vrati x u drugu izvornu jednačinu.

3·3+2·4=17; 3+4 = 7 ✓Provjeri obje izvorne jednačine.

Primjer 3: Eliminacija uz množenje jednačine

Riješi 3x + 2y = 22, x + y = 9.

2x + 2y=18Drugu jednačinu pomnoži sa 2, uključujući desnu stranu.

(3x+2y) − (2x+2y)=22 − 18Od prve jednačine oduzmi udvostručenu drugu.

x=4Izračunaj razliku.

y=9 − 4 = 5Vrati x u drugu izvornu jednačinu.

3·4+2·5=22; 4+5 = 9 ✓Provjeri obje izvorne jednačine.

6. Česte greške ⚠️

⚠️ Česte greške

Množenje samo jednog člana. Kad množiš jednačinu brojem, moraš pomnožiti SVAKI član (i lijevu i desnu stranu).
Pogrešan izbor sabiranja/oduzimanja. Suprotni koeficijenti → saberi. Jednaki koeficijenti → oduzmi.
Greška sa znakom kod oduzimanja. Pazi na zagrade: (3x + 2y) − (2x + 2y) = 3x + 2y − 2x − 2y = x.
Uvrštavanje u pomnoženu jednačinu umjesto originalnu. Za provjeru i traženje druge nepoznate koristi originalne jednačine.

7. Kviz

1. Sistem 2x + y = 11, x − y = 1. Sabiranjem jednačina dobijamo?

2. U istom sistemu, koliko je x?

3. Sistem 3x + 2y = 16, x + y = 7. Čime treba pomnožiti drugu jednačinu da bi koeficijenti uz y bili jednaki?

4. Nakon množenja (2x+2y=14) i oduzimanja od (3x+2y=16), koliko je x?

Zahtjevi i raspored: Predmetni kurikulum KS, Matematika, označene str. 35–39. Dodatne teme su posebno označene.