Metoda zamjene

🎯 Cilj lekcije

Objasniti ideju metode zamjene (supstitucije).
Riješiti sistem tako što jednu nepoznatu izraziš i uvrstiš u drugu jednačinu.
Provjeriti dobijeno rješenje u obje jednačine sistema.

1. Ideja metode zamjene

Metoda zamjene (supstitucije) radi ovako: iz jedne jednačine izraziš jednu nepoznatu (npr. y) preko druge (x), pa taj izraz uvrstiš umjesto y u drugu jednačinu. Tako dobiješ jednu jednačinu s jednom nepoznatom — a to već znaš riješiti!

💡 Kad je najlakšaMetoda zamjene je najbrža kad je jedna nepoznata već izražena (npr. y = x + 1) ili kad se lako izrazi (koeficijent uz nju je 1).

2. Glavni primjer: y = x + 1, 2x + y = 7

Primjer: Riješi sistem y = x + 1, 2x + y = 7.
Prva jednačina već izražava y preko x. Uvrstimo "x + 1" umjesto y u drugu jednačinu:
2x + (x + 1) = 7 → 3x + 1 = 7 → 3x = 6 → x = 2.
Vratimo x = 2 u prvu jednačinu: y = 2 + 1 = 3.
Provjera: 2 · 2 + 3 = 4 + 3 = 7 ✓

3. Isprobaj metodu uživo

Sistem je oblika y = x + n, 2x + y = c. Promijeni n i c i gledaj kako se mijenja rješenje (postupak ostaje isti!).

🔁 Riješi sistem y = x + n, 2x + y = c

Alat primjenjuje istu metodu zamjene i prikazuje rezultat.

n c

4. Rješenje korak po korak

Riješimo zajedno sistem x = y + 3, x + y = 9, korak po korak.

x=y + 3U prvoj jednačini x je već izražen preko y.

(y + 3) + y=9Zamijeni x u drugoj jednačini x + y = 9.

2y + 3=9 ⇒ 2y = 6 ⇒ y = 3Sredi slične članove, oduzmi 3 i podijeli s 2.

x=3 + 3 = 6Vrati izračunati y u prvu jednačinu.

6=3+3; 6+3 = 9 ✓Provjeri obje jednačine. Rješenje je (6,3).

Riješeni primjeri

Vježbaj uz riješene primjere. Za svaki tip zadatka slijede tri primjera. Pokušaj sam zapisati sljedeći red, pa otkrij postupak korak po korak.

Metoda zamjene — tri riješena primjera

Primjer 1: Metoda zamjene

Riješi sistem y = x + (1), 2x + y = 7.

y=x + (1)Prva jednačina već izražava y.

2x + x + (1)=7Zamijeni y njegovim izrazom.

3x=6Sredi slične članove i izdvoji nepoznatu.

x=2Podijeli s 3.

y=2 + (1) = 3Vrati x u prvu jednačinu.

3=2+1; 2·2+3=7 ✓Provjeri izvorne jednakosti; prva je ekvivalentna zapisu y = x + konstanta.

Primjer 2: Metoda zamjene

Riješi sistem y = x + (-2), 2x + y = 7.

y=x + (-2)Prva jednačina već izražava y.

2x + x + (-2)=7Zamijeni y njegovim izrazom.

3x=9Sredi slične članove i izdvoji nepoznatu.

x=3Podijeli s 3.

y=3 + (-2) = 1Vrati x u prvu jednačinu.

1=3−2; 2·3+1=7 ✓Provjeri izvorne jednakosti; prva je ekvivalentna zapisu y = x + konstanta.

Primjer 3: Metoda zamjene

Riješi sistem y = x + (5), 2x + y = 2.

y=x + (5)Prva jednačina već izražava y.

2x + x + (5)=2Zamijeni y njegovim izrazom.

3x=-3Sredi slične članove i izdvoji nepoznatu.

x=-1Podijeli s 3.

y=-1 + (5) = 4Vrati x u prvu jednačinu.

4=−1+5; 2·(−1)+4=2 ✓Provjeri izvorne jednakosti; prva je ekvivalentna zapisu y = x + konstanta.

5. Drugi primjer

Primjer: Riješi sistem y = 2x, x + y = 12.
Uvrstimo 2x umjesto y: x + 2x = 12 → 3x = 12 → x = 4.
y = 2 · 4 = 8. Provjera: 4 + 8 = 12 ✓, i y = 2x: 8 = 2 · 4 ✓

Primjer iz života: Karta za kino za dijete košta x KM, a za odraslog y KM. Karta za odraslog je 4 KM skuplja od dječije: y = x + 4. Porodica kupi 2 dječije i 1 odraslu kartu za ukupno 19 KM: 2x + y = 19.
Uvrstimo "x + 4" umjesto y: 2x + (x + 4) = 19 → 3x + 4 = 19 → 3x = 15 → x = 5.
Vratimo x = 5 u y = x + 4: y = 5 + 4 = 9.
Provjera: 2 · 5 + 9 = 10 + 9 = 19 ✓. Dječija karta košta 5 KM, a karta za odraslog 9 KM.

6. Česte greške ⚠️

⚠️ Česte greške

Uvrštavanje u istu jednačinu. Izraz uvijek uvrštavaš u drugu jednačinu, ne u onu iz koje si ga izveo/la.
Zaboravljene zagrade. Kad uvrstiš izraz s više članova (npr. y + 3), stavi ga u zagradu: x + (y + 3), pa tek onda otvori zagradu.
Zaustavljanje na pola. Nakon što nađeš jednu nepoznatu, moraš je vratiti u jednačinu da nađeš i drugu.
Nema provjere. Uvijek provjeri rješenje u OBJE originalne jednačine.

7. Kviz

1. Sistem y = x + 1, 2x + y = 7. Koliko je x?

2. U istom sistemu (y = x + 1, 2x + y = 7), koliko je y?

3. Sistem x = y + 3, x + y = 9. Koliko je y?

4. Sistem y = 2x, x + y = 12. Koliko je x?

Zahtjevi i raspored: Predmetni kurikulum KS, Matematika, označene str. 35–39. Dodatne teme su posebno označene.