Pojam sličnosti i razmjera

🎯 Cilj lekcije

Objasniti šta znači da su dva trougla slična (isti oblik, različita veličina).
Izračunati koeficijent sličnosti k iz para odgovarajućih stranica.
Izračunati nepoznate stranice sličnog trougla pomoću k.

1. Šta znači da su trouglovi slični?

Dva trougla su slična (oznaka ~) ako imaju jednake odgovarajuće uglove i proporcionalne odgovarajuće stranice. To znači da je jedan trougao "uvećana" ili "umanjena" kopija drugog — isti oblik, različita veličina.

💡 Razlika od podudarnostiPodudarni trouglovi su potpuno isti (ista veličina). Slični trouglovi imaju isti oblik, ali mogu biti različite veličine — podudarnost je poseban slučaj sličnosti (k = 1).

2. Koeficijent sličnosti k

Za slične trouglove ABC i A'B'C' vrijedi:

a' / a = b' / b = c' / c = k

Broj k zove se koeficijent sličnosti (razmjera). Ako je k > 1, drugi trougao je veći; ako je 0 < k < 1, drugi trougao je manji.

Primjer: Trougao sa stranicama 3, 4, 5 je sličan trouglu sa stranicama 6, 8, 10.
Provjera: 6/3 = 2, 8/4 = 2, 10/5 = 2 — svi odnosi su jednaki 2, pa je k = 2.

Primjer iz života: Tvoja fotografija je širine 10 cm i visine 15 cm. Želiš je uvećati u poster širine 40 cm, a da oblik ostane isti (sličan).
Koeficijent uvećanja: k = 40 / 10 = 4.
Visina postera = 15 · 4 = 60 cm.
Provjera: 40/10 = 4 i 60/15 = 4 — isti koeficijent, pa je poster sličan originalnoj fotografiji (nije razvučen ni spljošten).

3. Isprobaj uživo

Pomjeri klizač k i gledaj kako se trougao uvećava ili smanjuje, a stranice ostaju proporcionalne.

🔺 Trougao 3-4-5 uvećan k puta

Osnovni trougao ima stranice 3, 4, 5. Klizačem mijenjaš koeficijent sličnosti k.

k = 1

Brzo biraj:

Stranice: 3 · 1 = 3, 4 · 1 = 4, 5 · 1 = 5

4. Rješenje korak po korak

Trougao sa stranicama 4, 5, 6 je sličan trouglu čija je najmanja stranica 8. Nađimo sve stranice drugog trougla, korak po korak.

a=4, a′ = 8Najmanja stranica odgovara najmanjoj stranici drugog trougla.

k=84 = 2Podijeli odgovarajuće stranice u izabranom smjeru.

b′=5·2 = 10; c′ = 6·2 = 12Isti koeficijent koristi za ostale dužine.

a′=8, b′ = 10, c′ = 12Zapiši stranice drugog trougla.

84=105 = 126 = 2 ✓Sva tri odnosa potvrđuju sličnost.

Riješeni primjeri

Vježbaj uz riješene primjere. Za svaki tip zadatka slijede tri primjera. Pokušaj sam zapisati sljedeći red, pa otkrij postupak korak po korak.

Odgovarajuće stranice — tri riješena primjera

Primjer 1: Odgovarajuće stranice

Trougao stranica 3 cm, 4 cm i 5 cm uvećan je s k = 2. Odredi nove stranice i obim.

k=2Odgovarajuće dužine množe se istim brojem.

a′=2 · 3 = 6 cmPomnoži prvu stranicu.

b′=2 · 4 = 8 cmPomnoži drugu stranicu.

c′=2 · 5 = 10 cmPomnoži treću stranicu.

O′=6+8+10 = 24 cmProvjeri da je i obim uvećan k puta.

Primjer 2: Odgovarajuće stranice

Trougao stranica 3 cm, 4 cm i 5 cm uvećan je s k = 3. Odredi nove stranice i obim.

k=3Odgovarajuće dužine množe se istim brojem.

a′=3 · 3 = 9 cmPomnoži prvu stranicu.

b′=3 · 4 = 12 cmPomnoži drugu stranicu.

c′=3 · 5 = 15 cmPomnoži treću stranicu.

O′=9+12+15 = 36 cmProvjeri da je i obim uvećan k puta.

Primjer 3: Odgovarajuće stranice

Trougao stranica 3 cm, 4 cm i 5 cm uvećan je s k = 4. Odredi nove stranice i obim.

k=4Odgovarajuće dužine množe se istim brojem.

a′=4 · 3 = 12 cmPomnoži prvu stranicu.

b′=4 · 4 = 16 cmPomnoži drugu stranicu.

c′=4 · 5 = 20 cmPomnoži treću stranicu.

O′=12+16+20 = 48 cmProvjeri da je i obim uvećan k puta.

Razmjera modela — tri riješena primjera

Primjer 1: Razmjera modela

Na planu razmjere 1 : 100 dužina zida je 2 cm. Kolika je stvarna dužina?

1 cm ↔ 100 cmZnačenje razmjere: centimetar plana predstavlja 100 cm.

d=2 · 100 = 200 cmPomnoži dužinu na planu faktorom razmjere.

d=2 mPretvori centimetre u metre.

2 : 200=1 : 100 ✓Provjeri da su dužine prvo u istoj jedinici.

Primjer 2: Razmjera modela

Na planu razmjere 1 : 100 dužina zida je 3 cm. Kolika je stvarna dužina?

1 cm ↔ 100 cmZnačenje razmjere: centimetar plana predstavlja 100 cm.

d=3 · 100 = 300 cmPomnoži dužinu na planu faktorom razmjere.

d=3 mPretvori centimetre u metre.

3 : 300=1 : 100 ✓Provjeri da su dužine prvo u istoj jedinici.

Primjer 3: Razmjera modela

Na planu razmjere 1 : 100 dužina zida je 4 cm. Kolika je stvarna dužina?

1 cm ↔ 100 cmZnačenje razmjere: centimetar plana predstavlja 100 cm.

d=4 · 100 = 400 cmPomnoži dužinu na planu faktorom razmjere.

d=4 mPretvori centimetre u metre.

4 : 400=1 : 100 ✓Provjeri da su dužine prvo u istoj jedinici.

5. Primjer: mapa

Primjer: Na mapi razmjere 1 : 50 000, udaljenost između dva mjesta je 3 cm. Kolika je stvarna udaljenost?
1 : 50 000 znači da 1 cm na mapi predstavlja 50 000 cm u stvarnosti. Stvarna udaljenost = 3 · 50 000 = 150 000 cm = 1500 m = 1,5 km.

Još jedan primjer — uvećana fotografija: Fotografija je 10 cm široka i 15 cm visoka. Želiš je uvećati za plakat 3 puta (k = 3), a da slika ne bude izobličena (da ostane isti oblik).
Nova širina = 10 · 3 = 30 cm. Nova visina = 15 · 3 = 45 cm.
Provjera: 30/10 = 3 i 45/15 = 3 — oba odnosa su jednaka, pa je plakat samo uvećana (slična) kopija fotografije, bez izobličenja. 📸

Primjer iz dvorišta — mjerenje preko sjenke: Želiš izmjeriti visinu drveta, a nemaš dugačak metar. Zabodeš štap visine 1,5 m u zemlju — njegova sjenka je duga 2 m. U isto vrijeme, sjenka drveta je duga 12 m. Trougao "štap + sjenka" je sličan trouglu "drvo + sjenka" (sunčevi zraci padaju pod istim uglom).
Koeficijent sličnosti: k = sjenka drveta / sjenka štapa = 12 / 2 = 6.
Visina drveta = visina štapa · k = 1,5 · 6 = 9 m.
Provjera: 9 / 1,5 = 6 i 12 / 2 = 6 — isti koeficijent, trouglovi su stvarno slični. 🌳

6. Česte greške ⚠️

⚠️ Česte greške

Poređenje nekorespondentnih stranica. Uvijek poredi najmanju sa najmanjom, najveću sa najvećom (ili po redoslijedu vrhova).
Provjera samo jednog odnosa. Za pravu sličnost svi odnosi stranica moraju biti jednaki — jedan odnos nije dovoljan dokaz.
Zabuna razmjere mape. 1 : 50 000 znači da pravu udaljenost dobiješ MNOŽENJEM, ne dijeljenjem, dužine na mapi.
Zaboravljena pretvorba jedinica. Pazi na cm → m → km kada preračunavaš stvarne udaljenosti.

7. Kviz

1. Trougao 3-4-5 i trougao 9-12-15. Koliki je koeficijent sličnosti k?

2. Trougao 4-5-6 sličan je trouglu čija je najmanja stranica 8. Koliko je k?

3. U prethodnom primjeru, kolika je najveća stranica drugog trougla?

4. Na mapi razmjere 1 : 50 000, udaljenost je 3 cm. Kolika je stvarna udaljenost?

Zahtjevi i raspored: Predmetni kurikulum KS, Matematika, označene str. 35–39. Dodatne teme su posebno označene.