Mreža prizme i piramide

🎯 Cilj lekcije

Objasniti elemente prizme i piramide: baza, bočne strane, brid, tjeme, visina.
Prepoznati mrežu (razvijenu površinu) prizme i piramide.
Prebrojati strane, bridove i tjemena, i provjeriti ih Eulerovom formulom V − E + F = 2.

1. Šta je prizma?

Zamisli običnu kutiju za cipele ili kutiju čokoladnih bombona — to su prizme! Uspravna prizma je prostorno tijelo s dvije podudarne i paralelne osnove (baze) i bočnim stranama koje su pravougaonici. Visina H je rastojanje između dvije baze.

Elementi prizme: baza (gornja i donja), bočne strane (omotač), bridovi (duži gdje se spajaju strane) i tjemena (vrhovi).

💡 ZapamtiPrizma se imenuje po obliku baze: trougaona prizma ima bazu trougao, četvorostrana (uspravna) prizma ima bazu četverougao (npr. kvadar), itd.

2. Šta je piramida?

Zamisli šator s mnogougaonom osnovom i ravnim trouglastim stranama ili egipatsku piramidu — to su piramide! Piramida ima jednu bazu (mnogougao) i bočne strane koje su trouglovi što se spajaju u jednoj tački — vrhu (apeksu). Visina H je rastojanje od vrha do ravni baze (okomito).

3. Pogledaj mreže uživo

Mreža je tijelo "razvijeno" u ravan — svaka strana je nacrtana odvojeno, spremna da se savije i slijepi natrag u tijelo.

📐 Mreža trougaone prizme i kvadratne piramide

Lijevo: mreža trougaone prizme (dvije trougaone baze + tri pravougaonika). Desno: mreža kvadratne piramide (kvadratna baza + četiri trougla).

🔢 Generator elemenata: prizma i piramida s n-touglom bazom

Upiši broj stranica baze (n) — alat izračuna broj strana, bridova i tjemena za prizmu i piramidu, i provjeri Eulerovu formulu.

Broj stranica baze n

Tijelo	F (strane)	E (bridovi)	V (tjemena)	V−E+F
Prizma
Piramida

4. Brojanje elemenata korak po korak

Prebrojimo strane (F), bridove (E) i tjemena (V) trougaone prizme, korak po korak.

F=2 + 3 = 5 stranaTrougaona prizma ima dvije trougaone baze i tri pravougaone bočne strane.

V=3 + 3 = 6 tjemenaNa svakoj bazi prebroj po tri tjemena.

E=3 + 3 + 3 = 9 ivicaPo tri ivice su u svakoj bazi, a tri spajaju baze.

V − E + F=6 − 9 + 5 = 2 ✓Eulerova formula potvrđuje brojanje za ovo konveksno tijelo.

Riješeni primjeri

Vježbaj uz riješene primjere. Za svaki tip zadatka slijede tri primjera. Pokušaj sam zapisati sljedeći red, pa otkrij postupak korak po korak.

Elementi i mreža prizme — tri riješena primjera

Primjer 1: Elementi i mreža prizme

Odredi broj tjemena, ivica i strana prizme s 3-stranom bazom. Opiši mrežu prave prizme.

T=2 · 3 = 6Dvije baze imaju po n tjemena.

I=3 · 3 = 9Ivice su u dvije baze i između njih.

S=3 + 2 = 5Mrežu čine dvije baze i n pravougaonika.

T − I + S=6 − 9 + 5 = 2 ✓Eulerova formula provjerava brojanje.

Primjer 2: Elementi i mreža prizme

Odredi broj tjemena, ivica i strana prizme s 4-stranom bazom. Opiši mrežu prave prizme.

T=2 · 4 = 8Dvije baze imaju po n tjemena.

I=3 · 4 = 12Ivice su u dvije baze i između njih.

S=4 + 2 = 6Mrežu čine dvije baze i n pravougaonika.

T − I + S=8 − 12 + 6 = 2 ✓Eulerova formula provjerava brojanje.

Primjer 3: Elementi i mreža prizme

Odredi broj tjemena, ivica i strana prizme s 5-stranom bazom. Opiši mrežu prave prizme.

T=2 · 5 = 10Dvije baze imaju po n tjemena.

I=3 · 5 = 15Ivice su u dvije baze i između njih.

S=5 + 2 = 7Mrežu čine dvije baze i n pravougaonika.

T − I + S=10 − 15 + 7 = 2 ✓Eulerova formula provjerava brojanje.

Elementi i mreža piramide — tri riješena primjera

Primjer 1: Elementi i mreža piramide

Odredi broj tjemena, ivica i strana piramide s 3-stranom bazom. Opiši mrežu.

T=3 + 1 = 4Dodaj vrh tjemenima baze.

I=2 · 3 = 6Svako tjeme baze daje baznu i bočnu ivicu.

S=3 + 1 = 4Mreža ima jednu bazu i n trouglova.

T − I + S=4 − 6 + 4 = 2 ✓Provjeri Eulerovu formulu.

Primjer 2: Elementi i mreža piramide

Odredi broj tjemena, ivica i strana piramide s 4-stranom bazom. Opiši mrežu.

T=4 + 1 = 5Dodaj vrh tjemenima baze.

I=2 · 4 = 8Svako tjeme baze daje baznu i bočnu ivicu.

S=4 + 1 = 5Mreža ima jednu bazu i n trouglova.

T − I + S=5 − 8 + 5 = 2 ✓Provjeri Eulerovu formulu.

Primjer 3: Elementi i mreža piramide

Odredi broj tjemena, ivica i strana piramide s 5-stranom bazom. Opiši mrežu.

T=5 + 1 = 6Dodaj vrh tjemenima baze.

I=2 · 5 = 10Svako tjeme baze daje baznu i bočnu ivicu.

S=5 + 1 = 6Mreža ima jednu bazu i n trouglova.

T − I + S=6 − 10 + 6 = 2 ✓Provjeri Eulerovu formulu.

5. Provjera Eulerovom formulom

Za svaki konveksni poliedar (tijelo omeđeno mnogouglovima) vrijedi Eulerova formula:

V − E + F = 2

gdje je V broj tjemena, E broj bridova, F broj strana. Ovo je odličan način da provjeriš da li si tačno prebrojao/la elemente.

Primjer: Kvadratna piramida: jedna kvadratna baza + 4 trougaone bočne strane = 5 strana. Tjemena: 4 na bazi + 1 vrh = 5 tjemena. Bridovi: 4 na bazi + 4 bočna = 8 bridova.
Provjera: V − E + F = 5 − 8 + 5 = 2 ✓

Primjer iz života: Kutija za poklon ima oblik kvadra (to je uspravna prizma s pravougaonom bazom).
Strane (F): gornja i donja baza (2) + 4 bočne strane = 6 strana (baš kao kocka koju vidiš svaki dan).
Tjemena (V): 4 ugla gore + 4 ugla dolje = 8 tjemena.
Bridovi (E): 4 gore + 4 dolje + 4 okomita (bočna) = 12 bridova.
Provjera: V − E + F = 8 − 12 + 6 = 2 ✓ — baš kao i treba!

6. Česte greške ⚠️

⚠️ Česte greške

Zaboravljena baza kao strana. Baza (ili baze) se računaju kao strane tijela, ne samo bočne strane.
Miješanje prizme i piramide. Prizma ima DVIJE baze i pravougaone bočne strane; piramida ima JEDNU bazu i trouglove.
Pogrešno brojanje bridova baze. Broj bridova baze je jednak broju stranica mnogougla baze (npr. kvadrat ima 4 brida).
Zanemarivanje Eulerove provjere. Ako V − E + F nije 2, vjerovatno si nešto pogrešno prebrojao/la.

7. Kviz

1. Koliko strana ima trougaona prizma?

2. Koliko bridova ima kvadratna piramida?

3. Koja je glavna razlika između prizme i piramide?

4. Za kvadratnu piramidu: V=5, E=8, F=5. Da li Eulerova formula vrijedi?

Zahtjevi i raspored: Predmetni kurikulum KS, Matematika, označene str. 35–39. Dodatne teme su posebno označene.