Stepeni i naučni zapis

🎯 Cilj lekcije

Primijeni pravila stepena s cijelim izložiocem i navedi uslove.
Pretvori mali ili veliki pozitivan broj u naučni zapis.
Provjeri račun sa stepenima i prepoznaj grešku u predznaku.

1. Prije početka

Pripremi papir i olovku. Tokom čitanja zapiši šta je poznato, šta tražiš i koji uslovi vrijede. Prvo pokušaj predvidjeti odgovor, zatim ga uporedi s računom.

2. Razumij pojam

Stepen aⁿ skraćuje ponovljeno množenje. Izložilac govori koliko se puta pojavljuje osnova kao faktor. Negativan izložilac uvodi recipročnu vrijednost.

3. Pravila i veze

Za a ≠ 0: a⁰=1 i a⁻ⁿ=1/aⁿ. Za istu osnovu: aᵐ·aⁿ=aᵐ⁺ⁿ, aᵐ:aⁿ=aᵐ⁻ⁿ. Dalje: (aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ, (ab)ⁿ=aⁿbⁿ i (a/b)ⁿ=aⁿ/bⁿ uz b ≠ 0. Naučni zapis pozitivnog broja je a·10ⁿ, gdje 1 ≤ a < 10 i n je cijeli broj.

4. Istraži primjere

Izaberi slučaj. Predvidi rezultat prije promjene, zatim objasni šta se na prikazu promijenilo.

Slučaj:

2² = 4; broj jediničnih kvadrata je 4.

5. Rješenje korak po korak

0,00072=7,210000Koeficijent naučnog zapisa mora biti barem 1 i manji od 10.

0,00072=7,2·10⁻⁴Zarez je pomjeren četiri mjesta udesno, zato je eksponent −4.

10⁻⁴=0,0001Negativni eksponent predstavlja recipročni stepen.

7,2·0,0001=0,00072 ✓Množenjem provjeri da je vrijednost ostala ista.

Riješeni primjeri

Vježbaj uz riješene primjere. Za svaki tip zadatka slijede tri primjera. Pokušaj sam zapisati sljedeći red, pa otkrij postupak korak po korak.

Pravila za stepene — tri riješena primjera

Primjer 1: Pravila za stepene

Izračunaj (2² · 2³) : 2².

(2² · 2³) : 2²=2²⁺³ : 2²Kod množenja istih baza saberi eksponente.

=2⁵⁻²Kod dijeljenja istih nenultih baza oduzmi eksponente.

=2³ = 8Izračunaj preostali stepen.

Primjer 2: Pravila za stepene

Izračunaj (2³ · 2³) : 2².

(2³ · 2³) : 2²=2³⁺³ : 2²Kod množenja istih baza saberi eksponente.

=2⁶⁻²Kod dijeljenja istih nenultih baza oduzmi eksponente.

=2⁴ = 16Izračunaj preostali stepen.

Primjer 3: Pravila za stepene

Izračunaj (2⁵ · 2³) : 2².

(2⁵ · 2³) : 2²=2⁵⁺³ : 2²Kod množenja istih baza saberi eksponente.

=2⁸⁻²Kod dijeljenja istih nenultih baza oduzmi eksponente.

=2⁶ = 64Izračunaj preostali stepen.

Naučni zapis — tri riješena primjera

Primjer 1: Naučni zapis

Zapiši broj 2000000 u naučnom zapisu, pa provjeri povratkom.

2000000=2 · 1000000Izdvoji koeficijent između 1 i 10.

1000000=10⁶Broj pomjeranja decimalnog zareza daje eksponent.

2000000=2 · 10⁶Zapiši naučni oblik.

2 · 10⁶=2000000 ✓Množenjem potvrdi početni broj.

Primjer 2: Naučni zapis

Zapiši broj 3000000 u naučnom zapisu, pa provjeri povratkom.

3000000=3 · 1000000Izdvoji koeficijent između 1 i 10.

1000000=10⁶Broj pomjeranja decimalnog zareza daje eksponent.

3000000=3 · 10⁶Zapiši naučni oblik.

3 · 10⁶=3000000 ✓Množenjem potvrdi početni broj.

Primjer 3: Naučni zapis

Zapiši broj 5000000 u naučnom zapisu, pa provjeri povratkom.

5000000=5 · 1000000Izdvoji koeficijent između 1 i 10.

1000000=10⁶Broj pomjeranja decimalnog zareza daje eksponent.

5000000=5 · 10⁶Zapiši naučni oblik.

5 · 10⁶=5000000 ✓Množenjem potvrdi početni broj.

Naučni zapis malog broja — tri riješena primjera

Primjer 1: Naučni zapis malog broja

Zapiši 0,0002 u naučnom zapisu.

0,0002=210000Odredi mjesnu vrijednost prve nenulte cifre.

110000=10⁻⁴Mali pozitivan broj koristi negativan eksponent.

0,0002=2 · 10⁻⁴Koeficijent je između 1 i 10.

2 · 0,0001=0,0002 ✓Provjeri množenjem.

Primjer 2: Naučni zapis malog broja

Zapiši 0,0003 u naučnom zapisu.

0,0003=310000Odredi mjesnu vrijednost prve nenulte cifre.

110000=10⁻⁴Mali pozitivan broj koristi negativan eksponent.

0,0003=3 · 10⁻⁴Koeficijent je između 1 i 10.

3 · 0,0001=0,0003 ✓Provjeri množenjem.

Primjer 3: Naučni zapis malog broja

Zapiši 0,0005 u naučnom zapisu.

0,0005=510000Odredi mjesnu vrijednost prve nenulte cifre.

110000=10⁻⁴Mali pozitivan broj koristi negativan eksponent.

0,0005=5 · 10⁻⁴Koeficijent je između 1 i 10.

5 · 0,0001=0,0005 ✓Provjeri množenjem.

Nulti i negativni eksponent — tri riješena primjera

Primjer 1: Nulti i negativni eksponent

Izračunaj 2⁰ + 2⁻².

2 ≠ 0 ⇒ 2⁰=1Nulti stepen nenultog broja je 1.

2⁻²=12² = 14Negativni eksponent daje recipročnu vrijednost.

1 + 14=54Saberi razlomke istog imenioca.

Primjer 2: Nulti i negativni eksponent

Izračunaj 3⁰ + 3⁻².

3 ≠ 0 ⇒ 3⁰=1Nulti stepen nenultog broja je 1.

3⁻²=13² = 19Negativni eksponent daje recipročnu vrijednost.

1 + 19=109Saberi razlomke istog imenioca.

Primjer 3: Nulti i negativni eksponent

Izračunaj 4⁰ + 4⁻².

4 ≠ 0 ⇒ 4⁰=1Nulti stepen nenultog broja je 1.

4⁻²=14² = 116Negativni eksponent daje recipročnu vrijednost.

1 + 116=1716Saberi razlomke istog imenioca.

Stepen stepena i proizvoda — tri riješena primjera

Primjer 1: Stepen stepena i proizvoda

Izračunaj (2²)³ i (2·2)².

(2²)³=2⁶ = 64Pri stepenovanju stepena množi eksponente.

(2·2)²=2²·2²Stepen proizvoda primijeni na oba faktora.

=4·4 = 16Izračunaj oba kvadrata i proizvod.

Primjer 2: Stepen stepena i proizvoda

Izračunaj (2²)³ i (2·3)².

(2²)³=2⁶ = 64Pri stepenovanju stepena množi eksponente.

(2·3)²=2²·3²Stepen proizvoda primijeni na oba faktora.

=4·9 = 36Izračunaj oba kvadrata i proizvod.

Primjer 3: Stepen stepena i proizvoda

Izračunaj (2²)³ i (2·4)².

(2²)³=2⁶ = 64Pri stepenovanju stepena množi eksponente.

(2·4)²=2²·4²Stepen proizvoda primijeni na oba faktora.

=4·16 = 64Izračunaj oba kvadrata i proizvod.

6. Primijeni i provjeri

Primjer i zadatak: Datoteka ima 3·10⁶ bajtova, a druga 2·10⁶. Zajedno: (3+2)·10⁶=5·10⁶ bajtova. Za proizvod (3·10⁴)(2·10³)=6·10⁷.

Pokrij rješenje i ponovi postupak. Promijeni jedan podatak, riješi novi zadatak i provjeri ga istom metodom. Objasni zašto se odabrano pravilo može primijeniti.

Samostalni zadaci s provjerom

Zadatak 1. Izračunaj (2³·2⁻¹)².

Provjeri rješenje i postupak

Unutar zagrade 2³⁻¹=2²=4; kvadrat je 16. Alternativno (2²)²=2⁴=16.

Zadatak 2. Zapiši 0,0000064 i 720000000 u naučnom zapisu.

Provjeri rješenje i postupak

6,4·10⁻⁶ i 7,2·10⁸. Koeficijenti su između 1 i 10.

Zadatak 3. Pojednostavi (3a²b)²/(9 ab), uz a,b≠0.

Provjeri rješenje i postupak

Brojnik je 9a⁴b²; dijeljenjem dobijamo a³b. Početna ograničenja ostaju.

7. Česte greške

⚠️ Česte greške

2³·2²=2⁵, a ne 4⁵.
(−2)²=4, ali −2²=−4.
0⁻¹ nije definisano; 0⁰ ovdje ne definišemo.

8. Provjeri znanje

1. 2⁻³ je

2. 10³·10² je

3. Naučni zapis 45000 je

Svaki pokušaj ti pokazuje šta već razumiješ. Ako pogriješiš, ponovi pravila i primjer korak po korak, pa riješi sličan zadatak na papiru.

Izvor zahtjeva: Predmetni kurikulum KS, Matematika, označena str. 35. Objašnjenja i zadaci su vlastiti sadržaj portala.