Ishodi, događaji i vjerovatnoća

🎯 Cilj lekcije

Nabroji ishode jednostavnog slučajnog pokusa.
Razlikuj siguran, nemoguć i moguć događaj.
Izračunaj vjerovatnoću i uporedi je s opaženim udjelom.

1. Prije početka

Pripremi papir i olovku. Tokom čitanja zapiši šta je poznato, šta tražiš i koji uslovi vrijede. Prvo pokušaj predvidjeti odgovor, zatim ga uporedi s računom.

2. Razumij pojam

Ishod je jedan mogući rezultat slučajnog pokusa. Događaj je skup ishoda koji ispunjavaju uslov. Za poštenu kocku šest ishoda je jednako vjerovatno.

3. Pravila i veze

Ako su svi ishodi jednako vjerovatni, P(A)=broj povoljnih/broj svih ishoda. Vrijedi 0≤P(A)≤1. Siguran događaj ima vjerovatnoću 1, nemoguć 0. Relativna frekvencija iz pokusa procjenjuje vjerovatnoću, ali u malom uzorku ne mora joj biti jednaka.

4. Istraži primjere

Izaberi slučaj. Predvidi rezultat prije promjene, zatim objasni šta se na prikazu promijenilo.

Slučaj:

P=3/6=1/2; zelena polja su povoljni ishodi.

5. Rješenje korak po korak

Ω={1,2,3,4,5,6}; A = {5,6}Bacaš pravilnu kocku. Događaj A je broj veći od 4.

N=6, m = 2Svi ishodi su jednako vjerovatni; dva su povoljna.

P(A)=26 = 13; P(ne A) = 46 = 23Suprotni događaj čine ishodi 1,2,3,4.

13 + 23=1 ✓Broj 7 je nemoguć, a broj manji od 7 siguran događaj.

Riješeni primjeri

Vježbaj uz riješene primjere. Za svaki tip zadatka slijede tri primjera. Pokušaj sam zapisati sljedeći red, pa otkrij postupak korak po korak.

Jednako vjerovatni ishodi — tri riješena primjera

Primjer 1: Jednako vjerovatni ishodi

U vreći je 2 crvenih i 3 plavih kuglica iste veličine. Izvlačiš jednu nasumično. Odredi vjerovatnoću crvene.

N=2 + 3 = 5Sve pojedinačne kuglice imaju istu šansu izvlačenja.

m=2Povoljni ishodi su crvene kuglice.

P(C)=mN = 25 = 25Podijeli broj povoljnih ukupnim brojem ishoda.

0 ≤ P(C) ≤ 1 ✓Provjeri da je rezultat dopuštena vjerovatnoća.

Primjer 2: Jednako vjerovatni ishodi

U vreći je 3 crvenih i 5 plavih kuglica iste veličine. Izvlačiš jednu nasumično. Odredi vjerovatnoću crvene.

N=3 + 5 = 8Sve pojedinačne kuglice imaju istu šansu izvlačenja.

m=3Povoljni ishodi su crvene kuglice.

P(C)=mN = 38 = 38Podijeli broj povoljnih ukupnim brojem ishoda.

0 ≤ P(C) ≤ 1 ✓Provjeri da je rezultat dopuštena vjerovatnoća.

Primjer 3: Jednako vjerovatni ishodi

U vreći je 4 crvenih i 6 plavih kuglica iste veličine. Izvlačiš jednu nasumično. Odredi vjerovatnoću crvene.

N=4 + 6 = 10Sve pojedinačne kuglice imaju istu šansu izvlačenja.

m=4Povoljni ishodi su crvene kuglice.

P(C)=mN = 410 = 25Podijeli broj povoljnih ukupnim brojem ishoda.

0 ≤ P(C) ≤ 1 ✓Provjeri da je rezultat dopuštena vjerovatnoća.

Suprotni događaj — tri riješena primjera

Primjer 1: Suprotni događaj

Vjerovatnoća crvene kuglice je 25. Odredi vjerovatnoću da kuglica nije crvena.

P(C)=25Prepiši zadanu vjerovatnoću.

P(ne C)=1 − P(C)Događaj i njegov suprotni obuhvataju sve ishode.

P(ne C)=55 − 25 = 35Oduzmi razlomke istog imenioca.

25 + 35=1 ✓Provjeri da je zbir vjerovatnoća jedan.

Primjer 2: Suprotni događaj

Vjerovatnoća crvene kuglice je 38. Odredi vjerovatnoću da kuglica nije crvena.

P(C)=38Prepiši zadanu vjerovatnoću.

P(ne C)=1 − P(C)Događaj i njegov suprotni obuhvataju sve ishode.

P(ne C)=88 − 38 = 58Oduzmi razlomke istog imenioca.

38 + 58=1 ✓Provjeri da je zbir vjerovatnoća jedan.

Primjer 3: Suprotni događaj

Vjerovatnoća crvene kuglice je 410. Odredi vjerovatnoću da kuglica nije crvena.

P(C)=410Prepiši zadanu vjerovatnoću.

P(ne C)=1 − P(C)Događaj i njegov suprotni obuhvataju sve ishode.

P(ne C)=1010 − 410 = 35Oduzmi razlomke istog imenioca.

410 + 610=1 ✓Provjeri da je zbir vjerovatnoća jedan.

6. Primijeni i provjeri

Primjer i zadatak: Za dva bacanja novčića nacrtaj stablo ili tabelu: GG, GP, PG, PP. Za poštene nezavisne novčiće ishodi su jednako vjerovatni. Tačno jedno pismo daju GP i PG: 2/4=1/2. U 20 stvarnih pokušaja možeš dobiti drugačiji udio; ponovi pokus i uporedi.

Pokrij rješenje i ponovi postupak. Promijeni jedan podatak, riješi novi zadatak i provjeri ga istom metodom. Objasni zašto se odabrano pravilo može primijeniti.

Samostalni zadaci s provjerom

Zadatak 1. Za kocku nabroji ishode događaja: broj je djeljiv sa 3. Izračunaj P.

Provjeri rješenje i postupak

Povoljni su 3 i 6; P=2/6=1/3.

Zadatak 2. Za dva novčića izračunaj vjerovatnoću bar jednog pisma.

Provjeri rješenje i postupak

GG,GP,PG,PP; povoljni GP,PG,PP. P=3/4 uz poštene nezavisne novčiće.

Zadatak 3. Baci novčić 20 puta. Zapiši frekvencije glave i pisma i uporedi s 1/2.

Provjeri rješenje i postupak

Ako glava padne k puta, relativna frekvencija je k/20. Može odstupati od 1/2; teorijski rezultat nije obećanje za tačno 20 pokušaja.

7. Česte greške

⚠️ Česte greške

Događaji GG i jedno pismo nemaju isti broj ishoda.
Formula omjera zahtijeva jednako vjerovatne ishode.
Vjerovatnoća 1/2 ne garantuje tačno polovinu uspjeha u malom broju pokušaja.

8. Provjeri znanje

1. Paran broj na kocki ima vjerovatnoću

2. Nemoguć događaj ima P

3. Dva novčića imaju uređenih ishoda

Svaki pokušaj ti pokazuje šta već razumiješ. Ako pogriješiš, ponovi pravila i primjer korak po korak, pa riješi sličan zadatak na papiru.

Izvor zahtjeva: Predmetni kurikulum KS, Matematika, označena str. 39. Objašnjenja i zadaci su vlastiti sadržaj portala.