Početna / 9. razred / 9.1 Kvadratne jednačine / Nepotpune jednačine

Nepotpune kvadratne jednačine

Pokreni prezentaciju →

🎯 Cilj lekcijeNakon ove lekcije ti ćeš moći: prepoznati tri oblika nepotpune kvadratne jednačine; riješiti oblik ax² + c = 0 korjenovanjem (uz znak ±); riješiti oblik ax² + bx = 0 izvlačenjem x pred zagradu; provjeriti rješenje uvrštavanjem u jednačinu.

1. Šta je nepotpuna kvadratna jednačina?

Kvadratna jednačina ima oblik ax² + bx + c = 0, gdje a ne smije biti nula. Kad su a, b i c svi različiti od nule, kažemo da je jednačina potpuna.

Ponekad jedan član nedostaje. To znači da je b = 0, ili c = 0, ili oba. Takvu jednačinu zovemo nepotpuna. Dobra vijest: nepotpune se rješavaju lakše, bez duge formule s diskriminantom!

ax² + bx + c = 0,  a ≠ 0

Postoje tri nepotpuna oblika. Svaki ima svoj trik — naučit ćeš ih korak po korak.

2. Oblik ax² = 0

Najlakši oblik: nedostaju i bx i c. Podijeliš obje strane sa a i dobiješ x² = 0, pa je rješenje uvijek isto.

ax² = 0  ⇒  x = 0 (dvostruko rješenje)
Primjer: Riješi 5x² = 0.
5x² = 0  ⇒  x² = 0 : 5 = 0  ⇒  x = 0. Provjera: 5 · 0² = 0. Tačno!

3. Oblik ax² + c = 0 — korjenovanje

Nedostaje član bx. Trik: prebaci c na desnu stranu, podijeli sa a i izvadi kvadratni korijen. Pošto i pozitivan i negativan broj na kvadrat daju isti rezultat, dobiješ dva rješenja sa znakom ±!

x² − 9 = 0  ⇒  x² = 9  ⇒  x = ±3
Primjer: Riješi 2x² − 8 = 0.
2x² = 8  ⇒  x² = 8 : 2 = 4  ⇒  x = ±2 (tj. x₁ = 2, x₂ = −2).
Provjera: 2 · 2² − 8 = 8 − 8 = 0 ✓ i 2 · (−2)² − 8 = 8 − 8 = 0 ✓

Pazi: ako nakon sređivanja dobiješ x² = negativan broj (npr. x² = −4), jednačina nema realnih rješenja — jer kvadrat realnog broja nikad nije negativan.

4. Oblik ax² + bx = 0 — faktorizacija

Nedostaje slobodni član c. Trik: izvuci zajednički činilac x pred zagradu. Proizvod je nula kad je barem jedan činilac nula — pa jedno rješenje uvijek bude x = 0!

x² − 5x = 0  ⇒  x(x − 5) = 0  ⇒  x = 0 ili x = 5
Primjer: Riješi x² − 5x = 0 korak po korak.
1) Izvuci x: x · (x − 5) = 0.
2) Prvi činilac nula: x = 0.
3) Drugi činilac nula: x − 5 = 0 ⇒ x = 5.
Rješenja: x₁ = 0, x₂ = 5. Provjera za 5: 25 − 25 = 0 ✓

5. Isprobaj sam: rješavač nepotpunih jednačina

🧮 Rješavač nepotpunih jednačina

Upiši koeficijente a, b i c jednačine ax² + bx + c = 0 (b ili c moraju biti 0) i pritisni „Riješi".

Upiši brojeve i pritisni „Riješi".

👉 Isprobaj i ovo: jednačina x² = k. Pomjeraj k i gledaj kako se rješenja ±√k pomjeraju na brojevnoj pravoj — simetrično oko nule!

6. Rješenje korak po korak: x² − 9 = 0

Riješimo zajedno jednačinu x² − 9 = 0 korak po korak. Klikni dugme i otkrivaj jedan po jedan korak:

x² − 9=0; a = 1, b = 0, c = −9Nema linearnog člana. Primijeni korjenovanje.
x²=9Dodaj 9 objema stranama jednačine.
x=±√9 = ±3I 3² i (−3)² jednaki su 9.
x₁=3, x₂ = −3Zapiši oba rješenja.
3²−9=0; (−3)²−9 = 0 ✓Provjeri oba rješenja u početnoj jednačini.

Riješeni primjeri

Vježbaj uz riješene primjere. Za svaki tip zadatka slijede tri primjera. Pokušaj sam zapisati sljedeći red, pa otkrij postupak korak po korak.

Jednačina oblika ax² = 0 — tri riješena primjera

Primjer 1: Jednačina oblika ax² = 0

Riješi 2x² = 0.

x²=0 : 2 = 0Koeficijent je različit od nule.
x=0Jedini realan broj čiji je kvadrat nula jeste nula.
2·0²=0 ✓Provjeri u početnoj jednačini.

Primjer 2: Jednačina oblika ax² = 0

Riješi 3x² = 0.

x²=0 : 3 = 0Koeficijent je različit od nule.
x=0Jedini realan broj čiji je kvadrat nula jeste nula.
3·0²=0 ✓Provjeri u početnoj jednačini.

Primjer 3: Jednačina oblika ax² = 0

Riješi 4x² = 0.

x²=0 : 4 = 0Koeficijent je različit od nule.
x=0Jedini realan broj čiji je kvadrat nula jeste nula.
4·0²=0 ✓Provjeri u početnoj jednačini.

Nepotpuna jednačina bez linearnog člana — tri riješena primjera

Primjer 1: Nepotpuna jednačina bez linearnog člana

Riješi 2x² − 2 = 0.

2x²=2Dodaj isti broj objema stranama.
x²=1Podijeli obje strane s 2.
x=±1Ne zaboravi negativni korijen.
2·(±1)² − 2=0 ✓Oba rješenja imaju isti kvadrat.

Primjer 2: Nepotpuna jednačina bez linearnog člana

Riješi 2x² − 8 = 0.

2x²=8Dodaj isti broj objema stranama.
x²=4Podijeli obje strane s 2.
x=±2Ne zaboravi negativni korijen.
2·(±2)² − 8=0 ✓Oba rješenja imaju isti kvadrat.

Primjer 3: Nepotpuna jednačina bez linearnog člana

Riješi 2x² − 18 = 0.

2x²=18Dodaj isti broj objema stranama.
x²=9Podijeli obje strane s 2.
x=±3Ne zaboravi negativni korijen.
2·(±3)² − 18=0 ✓Oba rješenja imaju isti kvadrat.

Nepotpuna jednačina bez slobodnog člana — tri riješena primjera

Primjer 1: Nepotpuna jednačina bez slobodnog člana

Riješi x² − 1x = 0.

x(x − 1)=0Izdvoji zajednički faktor x.
x=0 ili x − 1 = 0Primijeni pravilo nultog proizvoda.
x₁=0, x₂ = 1Ne dijeli s x jer bi izgubio nulto rješenje.
1² − 1·1=0 ✓Provjeri i nenulto rješenje.

Primjer 2: Nepotpuna jednačina bez slobodnog člana

Riješi x² − 2x = 0.

x(x − 2)=0Izdvoji zajednički faktor x.
x=0 ili x − 2 = 0Primijeni pravilo nultog proizvoda.
x₁=0, x₂ = 2Ne dijeli s x jer bi izgubio nulto rješenje.
2² − 2·2=0 ✓Provjeri i nenulto rješenje.

Primjer 3: Nepotpuna jednačina bez slobodnog člana

Riješi x² − 3x = 0.

x(x − 3)=0Izdvoji zajednički faktor x.
x=0 ili x − 3 = 0Primijeni pravilo nultog proizvoda.
x₁=0, x₂ = 3Ne dijeli s x jer bi izgubio nulto rješenje.
3² − 3·3=0 ✓Provjeri i nenulto rješenje.

Jednačina u obliku potpunog kvadrata — tri riješena primjera

Primjer 1: Jednačina u obliku potpunog kvadrata

Riješi x² − 2x + 1 = 0.

x² − 2x + 1 = (x−1)²Prepoznaj potpuni kvadrat prema formuli a²−2ab+b².
(x−1)² = 0Kvadrat realnog broja je nula samo kada je taj broj nula.
x−1 = 0 ⇒ x = 1Dobijaš jedno realno rješenje; nema potrebe za općom formulom.
1 − 2 + 1 = 0 ✓Uvrsti rješenje u početnu jednačinu.

Primjer 2: Jednačina u obliku potpunog kvadrata

Riješi x² − 4x + 4 = 0.

x² − 4x + 4 = (x−2)²Prepoznaj potpuni kvadrat prema formuli a²−2ab+b².
(x−2)² = 0Kvadrat realnog broja je nula samo kada je taj broj nula.
x−2 = 0 ⇒ x = 2Dobijaš jedno realno rješenje; nema potrebe za općom formulom.
4 − 8 + 4 = 0 ✓Uvrsti rješenje u početnu jednačinu.

Primjer 3: Jednačina u obliku potpunog kvadrata

Riješi x² − 6x + 9 = 0.

x² − 6x + 9 = (x−3)²Prepoznaj potpuni kvadrat prema formuli a²−2ab+b².
(x−3)² = 0Kvadrat realnog broja je nula samo kada je taj broj nula.
x−3 = 0 ⇒ x = 3Dobijaš jedno realno rješenje; nema potrebe za općom formulom.
9 − 18 + 9 = 0 ✓Uvrsti rješenje u početnu jednačinu.

7. Još jedan primjer: 2x² − 8 = 0

Primjer: Riješi 2x² − 8 = 0.
1) Prebaci: 2x² = 8.
2) Podijeli sa 2: x² = 4.
3) Korjenuj uz ±: x = ±2, tj. x₁ = 2, x₂ = −2.
Provjera: 2 · (−2)² − 8 = 8 − 8 = 0 ✓
Primjer iz života — mobitel 📱: Preuzimaš besplatne igrice. Broj preuzimanja x zadovoljava jednačinu x² − 7x = 0. Koliko si igrica preuzeo/la?
1) Ovo je oblik ax² + bx = 0 (a = 1, b = −7, c = 0) — izvlačimo x pred zagradu.
2) x(x − 7) = 0.
3) Prvi činilac nula: x = 0 (to znači da nisi ništa preuzeo/la).
4) Drugi činilac nula: x − 7 = 0 ⇒ x = 7.
5) Jednačina sama dopušta 0 i 7. Ako je dodatno poznato da si preuzeo/la barem jednu igricu, ostaje x = 7.
Provjera: 7² − 7 · 7 = 49 − 49 = 0 ✓
⚠️ Česte greške
  • Zaboravljen ±: kod x² = 9 rješenje NIJE samo x = 3 — uvijek napiši oba: x = ±3.
  • Dijeljenje sa x: kod x² − 5x = 0 NIKAD ne dijeli obje strane sa x (izgubio bi rješenje x = 0)! Umjesto toga izvuci x pred zagradu.
  • Korijen negativnog broja: x² = −4 nema realnih rješenja — ne piši x = ±2, jer 2² = 4, a ne −4.
  • Neprovjerena rješenja: uvijek uvrsti nazad u jednačinu — provjera traje 10 sekundi i spašava bodove.

✅ Kviz — provjeri sebe (4 pitanja)

1. Koja su rješenja jednačine x² − 9 = 0?

2. Riješi x² − 5x = 0. Koji je ispravan postupak?

3. Koja su rješenja jednačine 2x² − 8 = 0?

4. Koliko realnih rješenja ima jednačina x² + 4 = 0?

← PrethodnaSljedeća →

Zahtjevi i raspored: Predmetni kurikulum KS, Matematika, označene str. 40–43. Dodatne teme su posebno označene.

Poseban oblik: potpuni kvadrat

x²−6x+9=0 prepoznaj kao (x−3)²=0. Zato x−3=0 i x=3. Provjera: 9−18+9=0. Slično x²+4x+4=0 daje (x+2)²=0, pa x=−2. Za ax²+bx=0 izdvoji x: x(ax+b)=0; ako a≠0 rješenja su x=0 i x=−b/a (mogu se poklopiti). Za x²−a=0, a≥0, rješenja su ±√a; za a=0 to je jedno rješenje.