Nule funkcije i crtanje grafika

Pokreni prezentaciju →

Mjesto u programuDodatno gradivo: ova tema proširuje osnovni program. Prvo završi polinome i faktorizaciju te linearnu algebru.

🎯 Cilj lekcijeNakon ove lekcije ti ćeš moći: objasniti šta su nule kvadratne funkcije; pronaći nule pomoću diskriminante (isto kao kod kvadratne jednačine); nacrtati kompletan grafik parabole koristeći tjeme, nule i presjek sa y-osom.

1. Šta su nule funkcije?

Nule funkcije su vrijednosti x za koje je y = 0 — to su tačno tačke u kojima parabola siječe (ili dodiruje) x-osu. Pronaći nule funkcije y = ax² + bx + c znači riješiti kvadratnu jednačinu ax² + bx + c = 0 — onu istu koju si naučio/la u oblasti 9.1!

💡 Veza s oblašću 9.1Nule funkcije i rješenja kvadratne jednačine su ista stvar, samo gledana drugačije: jednačina ti daje brojeve, a funkcija ti pokazuje gdje se ti brojevi nalaze na grafiku.

2. Formula — diskriminanta

Nule računaš po istoj formuli kao u 9.1:

D = b² − 4 ac • x = (−b ± √D) / 2a

D > 0 — dvije različite nule, parabola siječe x-osu u dvije tačke.
D = 0 — jedna (dvostruka) nula, parabola dodiruje x-osu tačno u tjemenu.
D < 0 — nema nula, parabola uopšte ne dodiruje x-osu (cijela je iznad ili ispod nje).

3. Glavni primjer: y = x² − 4x + 3

Primjer: Pronađi nule funkcije y = x² − 4x + 3 (ista funkcija iz prošle lekcije, gdje smo našli tjeme T(2, −1)).
a = 1, b = −4, c = 3.
D = (−4)² − 4·1·3 = 16 − 12 = 4. D > 0 ⇒ dvije nule.
x = (4 ± √4) / 2 = (4 ± 2) / 2 ⇒ x₁ = 1, x₂ = 3.
Parabola siječe x-osu u tačkama (1, 0) i (3, 0). Provjeri: sredina od 1 i 3 je 2 — tačno x-koordinata tjemena!

4. Crtanje grafika — plan od 4 tačke

Da nacrtaš grafik kvadratne funkcije, dovoljne su ti 4 vrste tačaka:

Tjeme T(x_t, y_t) — „centar" parabole.
Nule (ako postoje) — gdje parabola siječe x-osu.
Presjek sa y-osom (0, c).
Orijentacija — znak a ti kaže gore ili dole.

Za y = x² − 4x + 3: tjeme T(2, −1), nule (1, 0) i (3, 0), presjek sa y-osom (0, 3), otvorena nagore (a = 1 > 0). Ucrtaš te tačke i povučeš glatku U-krivu kroz njih — gotov grafik!

5. Isprobaj sam: crtač grafika

🖊️ Crtač grafika — od koeficijenata do slike

Upiši a, b, c i pogledaj tjeme, nule i presjek sa y-osom ucrtane na parabolu.

a b c

Upiši a, b, c i pritisni „Nacrtaj grafik".

„Animiraj crtanje" mijenja c korak po korak — gledaj kako se parabola pomjera gore-dole i kako nule (crvene tačke) nestaju i pojavljuju se.

Primjer iz života: Raketa na vodu lansira se sa zemlje. Njena visina u zavisnosti od vodoravne udaljenosti data je funkcijom y = −0,5x² + 4x (x i y u metrima).
a = −0,5, b = 4, c = 0.
D = 4² − 4·(−0,5)·0 = 16 − 0 = 16. D > 0 ⇒ dvije nule.
x = (−4 ± √16) / (2·(−0,5)) = (−4 ± 4) / (−1) ⇒ x₁ = 0, x₂ = 8.
Raketa polijeće sa zemlje u tački (0, 0) i ponovo pada na zemlju tačno na 8 metara od mjesta lansiranja — to je druga nula funkcije! Najvišu tačku leta (tjeme) izračunao/la bi isto kao u prošloj lekciji: x_t = −4/(2·(−0,5)) = 4, y_t = −0,5·16 + 16 = 8 metara.

6. Rješenje korak po korak: y = −x² + 2x + 3

Nacrtajmo grafik funkcije y = −x² + 2x + 3 korak po korak:

a=−1, b = 2, c = 3Funkcija je y = −x² + 2x + 3. Parabola se otvara prema dolje.

xₜ=−22·(−1) = 1; yₜ = 4Tjeme T(1,4) najviša je tačka.

D=2²−4·(−1)·3 = 16Izračunaj diskriminantu jednačine za nule.

x=−2±4−2 ⇒ x₁ = −1, x₂ = 3Pažljivo podijeli i negativnim imeniocem.

x=0 ⇒ y = 3Presjek s y-osom je (0,3).

T(1,4), A(−1,0), B(3,0), C(0,3)Ucrtaj tačke i povuci glatku krivu otvorenu prema dolje. Sredina nula je 1, što potvrđuje osu simetrije.

⚠️ Česte greške

Zaboravljen slučaj D < 0: ako diskriminanta ispadne negativna, to nije greška — parabola jednostavno ne dodiruje x-osu.
Crtanje "šiljaste" parabole: parabola je uvijek glatka, zaobljena kriva — nikad oštar vrh kao slovo V.
Zaboravljena provjera tjemena i nula: x-koordinata tjemena uvijek mora biti tačno na sredini između dvije nule (ako postoje).
Miješanje redoslijeda x₁ i x₂: redoslijed nula nije bitan za grafik — obje su podjednako nule funkcije.

✅ Kviz — provjeri sebe (5 pitanja)

1. Nule funkcije y = ax² + bx + c su rješenja jednačine:

2. Koje su nule funkcije y = x² − 4x + 3?

3. Ako je diskriminanta D = −8, koliko nula ima funkcija?

4. Koje 4 vrste tačaka/podataka su ti dovoljne da nacrtaš grafik kvadratne funkcije?

5. Za y = −x² + 2x + 3, tjeme je T(1, 4). Nule su x₁ = 1 i x₂ = −3. Je li ovo moguće?

Riješeni primjeri

Vježbaj uz riješene primjere. Za svaki tip zadatka slijede tri primjera. Pokušaj sam zapisati sljedeći red, pa otkrij postupak korak po korak.

Nule kvadratne funkcije — tri riješena primjera

Primjer 1: Nule kvadratne funkcije

Odredi nule funkcije y = x² + (-5)x + (6).

y=0Nule su presjeci grafika s x-osom.

x² + (-5)x + (6)=0Postavi kvadratnu jednačinu.

(x − (2))(x − (3))=0Rastavi tročlan na faktore.

x₁=2, x₂ = 3Svaki faktor izjednači s nulom.

A(2, 0), B(3, 0)Nule pretvori u tačke koordinatne ravni.

Primjer 2: Nule kvadratne funkcije

Odredi nule funkcije y = x² + (-3)x + (-4).

y=0Nule su presjeci grafika s x-osom.

x² + (-3)x + (-4)=0Postavi kvadratnu jednačinu.

(x − (-1))(x − (4))=0Rastavi tročlan na faktore.

x₁=-1, x₂ = 4Svaki faktor izjednači s nulom.

A(-1, 0), B(4, 0)Nule pretvori u tačke koordinatne ravni.

Primjer 3: Nule kvadratne funkcije

Odredi nule funkcije y = x² + (5)x + (6).

y=0Nule su presjeci grafika s x-osom.

x² + (5)x + (6)=0Postavi kvadratnu jednačinu.

(x − (-3))(x − (-2))=0Rastavi tročlan na faktore.

x₁=-3, x₂ = -2Svaki faktor izjednači s nulom.

A(-3, 0), B(-2, 0)Nule pretvori u tačke koordinatne ravni.

Tjeme i osa simetrije — tri riješena primjera

Primjer 1: Tjeme i osa simetrije

Odredi tjeme funkcije y = x² − 2x + -1.

a=1, b = −2Prepoznaj koeficijente.

xₜ=−b2a = 22 = 1Odredi prvu koordinatu tjemena.

yₜ=1 − 2 + (-1) = −2Uvrsti xₜ u zadanu funkciju.

T(1, −2), osa: x=1Osa simetrije je vertikalna prava kroz tjeme.

y=(x − 1)² − 2Dovršavanjem kvadrata provjeri tjeme.

Primjer 2: Tjeme i osa simetrije

Odredi tjeme funkcije y = x² − 4x + 2.

a=1, b = −4Prepoznaj koeficijente.

xₜ=−b2a = 42 = 2Odredi prvu koordinatu tjemena.

yₜ=4 − 8 + (2) = −2Uvrsti xₜ u zadanu funkciju.

T(2, −2), osa: x=2Osa simetrije je vertikalna prava kroz tjeme.

y=(x − 2)² − 2Dovršavanjem kvadrata provjeri tjeme.

Primjer 3: Tjeme i osa simetrije

Odredi tjeme funkcije y = x² − 6x + 7.

a=1, b = −6Prepoznaj koeficijente.

xₜ=−b2a = 62 = 3Odredi prvu koordinatu tjemena.

yₜ=9 − 18 + (7) = −2Uvrsti xₜ u zadanu funkciju.

T(3, −2), osa: x=3Osa simetrije je vertikalna prava kroz tjeme.

y=(x − 3)² − 2Dovršavanjem kvadrata provjeri tjeme.

Tačke za crtanje parabole — tri riješena primjera

Primjer 1: Tačke za crtanje parabole

Izračunaj tačke grafika y = 1x² za x = −2, −1, 0, 1, 2.

y(−2)=4, y(−1) = 1Prvo kvadriraj negativne argumente.

y(0)=0Tjeme je u koordinatnom početku.

y(1)=1, y(2) = 4Pozitivni argumenti daju simetrične tačke.

(−2,4), (−1,1), (0,0), (1,1), (2,4)Ucrtaj tačke i poveži glatkom krivom, a ne lomljenom linijom.

Primjer 2: Tačke za crtanje parabole

Izračunaj tačke grafika y = 2x² za x = −2, −1, 0, 1, 2.

y(−2)=8, y(−1) = 2Prvo kvadriraj negativne argumente.

y(0)=0Tjeme je u koordinatnom početku.

y(1)=2, y(2) = 8Pozitivni argumenti daju simetrične tačke.

(−2,8), (−1,2), (0,0), (1,2), (2,8)Ucrtaj tačke i poveži glatkom krivom, a ne lomljenom linijom.

Primjer 3: Tačke za crtanje parabole

Izračunaj tačke grafika y = 3x² za x = −2, −1, 0, 1, 2.

y(−2)=12, y(−1) = 3Prvo kvadriraj negativne argumente.

y(0)=0Tjeme je u koordinatnom početku.

y(1)=3, y(2) = 12Pozitivni argumenti daju simetrične tačke.

(−2,12), (−1,3), (0,0), (1,3), (2,12)Ucrtaj tačke i poveži glatkom krivom, a ne lomljenom linijom.

Zahtjevi i raspored: Predmetni kurikulum KS, Matematika, označene str. 40–43. Dodatne teme su posebno označene.