Tjeme parabole

Pokreni prezentaciju →

Mjesto u programuDodatno gradivo: ova tema proširuje osnovni program. Prvo završi polinome i faktorizaciju te linearnu algebru.

🎯 Cilj lekcijeNakon ove lekcije ti ćeš moći: objasniti šta je tjeme parabole; izračunati x-koordinatu tjemena formulom x = −b/2a; izračunati y-koordinatu tjemena uvrštavanjem u funkciju; odrediti osu simetrije parabole.

1. Šta je tjeme parabole?

Tjeme parabole je njena najniža tačka (kad je parabola otvorena nagore, a > 0) ili najviša tačka (kad je otvorena nadole, a < 0). To je tačka u kojoj parabola „mijenja smjer" — do tjemena opada (ili raste), a od tjemena raste (ili opada).

Tjeme obilježavamo sa T(x_t, y_t) i ono je ključna tačka za crtanje grafika — kad znaš tjeme, znaš gdje je „centar" parabole.

2. Formula za tjeme

Za kvadratnu funkciju y = ax² + bx + c, koordinate tjemena računaš ovako:

x_t = −b / 2a • y_t = f(x_t)

Prvo pronađeš x-koordinatu tjemena po formuli x_t = −b/2a, a zatim tu vrijednost uvrstiš nazad u funkciju da dobiješ y_t.

💡 Veza s prošlom oblašćuFormula x_t = −b/2a nije slučajna — to je baš sredina između dvije nule funkcije (ako postoje), jer je parabola simetrična! Ako nule računaš formulom x = (−b ± √D)/2a, njihova sredina je tačno −b/2a.

3. Glavni primjer: y = x² − 4x + 3

Primjer: Pronađi tjeme parabole y = x² − 4x + 3.
Koeficijenti: a = 1, b = −4, c = 3.
x_t = −(−4) / (2·1) = 4/2 = 2.
y_t = f(2) = 2² − 4·2 + 3 = 4 − 8 + 3 = −1.
Tjeme je tačka T(2, −1). Pošto je a = 1 > 0, ovo je najniža tačka parabole.

4. Isprobaj sam: kalkulator tjemena

📍 Kalkulator tjemena

Upiši a, b i c i pogledaj gdje se nalazi tjeme — i na grafiku i brojevima.

a b c

Upiši a, b, c i pritisni „Izračunaj tjeme".

„Animiraj" mijenja b korak po korak — gledaj kako se narandžasta tačka (tjeme) glatko pomjera lijevo-desno.

5. Rješenje korak po korak: y = 2x² + 8x + 5

Pronađimo tjeme parabole y = 2x² + 8x + 5. Otkrivaj korake jedan po jedan:

a=2, b = 8, c = 5Prepoznaj koeficijente funkcije y = 2x² + 8x + 5.

xₜ=−82·2 = −2Cijeli proizvod 2a nalazi se u imeniocu.

yₜ=2·(−2)² + 8·(−2) + 5 = −3Uvrsti xₜ u funkciju i poštuj redoslijed računanja.

T(−2,−3)Tjeme je uređeni par dobivenih koordinata.

a=2 > 0 ⇒ minimum u TGrane se otvaraju prema gore pa je T najniža tačka parabole.

Primjer iz života: Škola prodaje karte za predstavu. Ako cijenu karte podigneš za x KM iznad obične cijene, dobit je P(x) = −2x² + 40x − 150 (u KM).
Koeficijenti: a = −2, b = 40, c = −150.
x_t = −40 / (2·(−2)) = −40/−4 = 10.
y_t = −2·10² + 40·10 − 150 = −200 + 400 − 150 = 50.
Tjeme je T(10, 50). Pošto je a = −2 < 0, ovo je najviša tačka — znači najveća moguća dobit je 50 KM, kad cijenu podigneš tačno za 10 KM. Ni manje ni više poskupljenje ne donosi veću zaradu!

Riješeni primjeri

Vježbaj uz riješene primjere. Za svaki tip zadatka slijede tri primjera. Pokušaj sam zapisati sljedeći red, pa otkrij postupak korak po korak.

Tjeme i osa simetrije — tri riješena primjera

Primjer 1: Tjeme i osa simetrije

Odredi tjeme funkcije y = x² − 2x + -1.

a=1, b = −2Prepoznaj koeficijente.

xₜ=−b2a = 22 = 1Odredi prvu koordinatu tjemena.

yₜ=1 − 2 + (-1) = −2Uvrsti xₜ u zadanu funkciju.

T(1, −2), osa: x=1Osa simetrije je vertikalna prava kroz tjeme.

y=(x − 1)² − 2Dovršavanjem kvadrata provjeri tjeme.

Primjer 2: Tjeme i osa simetrije

Odredi tjeme funkcije y = x² − 4x + 2.

a=1, b = −4Prepoznaj koeficijente.

xₜ=−b2a = 42 = 2Odredi prvu koordinatu tjemena.

yₜ=4 − 8 + (2) = −2Uvrsti xₜ u zadanu funkciju.

T(2, −2), osa: x=2Osa simetrije je vertikalna prava kroz tjeme.

y=(x − 2)² − 2Dovršavanjem kvadrata provjeri tjeme.

Primjer 3: Tjeme i osa simetrije

Odredi tjeme funkcije y = x² − 6x + 7.

a=1, b = −6Prepoznaj koeficijente.

xₜ=−b2a = 62 = 3Odredi prvu koordinatu tjemena.

yₜ=9 − 18 + (7) = −2Uvrsti xₜ u zadanu funkciju.

T(3, −2), osa: x=3Osa simetrije je vertikalna prava kroz tjeme.

y=(x − 3)² − 2Dovršavanjem kvadrata provjeri tjeme.

6. Osa simetrije

Osa simetrije parabole je vertikalna prava koja prolazi kroz tjeme — njena jednačina je x = x_t. Za primjer y = x² − 4x + 3, osa simetrije je prava x = 2. Sve tačke parabole imaju svoj „par" simetričan preko ove ose: npr. x = 0 daje y = 3, a x = 4 (simetrično od x = 2) daje y = 16 − 16 + 3 = 3 — isti y!

⚠️ Česte greške

Zaboravljen minus u formuli: formula je x_t = −b/2a, a ne b/2a.
Zaboravljeno dijeljenje sa 2a: dijeli se sa 2a (uključujući koeficijent a), ne samo sa 2.
Pogrešno uvrštavanje za y_t: y_t se računa uvrštavanjem x_t u CIJELU funkciju, ne samo u jedan član.
Miješanje najniže i najviše tačke: provjeri znak a — pozitivan a daje najnižu, negativan daje najvišu tačku.

✅ Kviz — provjeri sebe (4 pitanja)

1. Koja je formula za x-koordinatu tjemena parabole y = ax² + bx + c?

2. Koje je tjeme parabole y = x² − 4x + 3?

3. Za parabolu y = −2x² + 4x + 1, tjeme je:

4. Da li je tjeme T(1, 3) iz prošlog pitanja najniža ili najviša tačka parabole y = −2x² + 4x + 1?

Zahtjevi i raspored: Predmetni kurikulum KS, Matematika, označene str. 40–43. Dodatne teme su posebno označene.