Tangens oštrog ugla

Pokreni prezentaciju →

Mjesto u programuDodatno gradivo: ova tema proširuje osnovni program. Prvo završi polinome i faktorizaciju te linearnu algebru.

🎯 Cilj lekcijeNakon ove lekcije ti ćeš moći: napisati definiciju tangensa oštrog ugla; povezati tangens sa sinusom i kosinusom; navesti tačne vrijednosti tan za 30°, 45° i 60°; izračunati katetu trougla pomoću tangensa kad ne znaš hipotenuzu.

1. Definicija tangensa

Treća trigonometrijska funkcija oštrog ugla je tangens. On poredi dvije katete međusobno — bez hipotenuze:

tan α = naspramna / priležeća

Tangens ti je koristan baš kad ne znaš hipotenuzu, a znaš (ili tražiš) odnos dvije katete — npr. visinu i udaljenost (sjenku).

2. Veza sa sinusom i kosinusom

Tangens nije potpuno nova ideja — direktno se dobije iz sinusa i kosinusa:

tan α = sin α / cos α

Provjeri: sin α / cos α = (naspramna/hipotenuza) / (priležeća/hipotenuza) = naspramna/priležeća — hipotenuze se skrate, i ostane baš definicija tangensa!

3. Tabela vrijednosti za 30°, 45°, 60°

α	30°	45°	60°
sin α	1/2	√2/2	√3/2
cos α	√3/2	√2/2	1/2
tan α	√3/3	1	√3

Primijeti: tan 45° = 1, jer su u tom slučaju naspramna i priležeća kateta jednake (jednakokraki pravougli trougao). tan 30° i tan 60° su jedan drugom recipročni: tan 30° · tan 60° = (√3/3) · √3 = 3/3 = 1.

4. Isprobaj sam: pomjeri ugao

📐 Interaktivni pravougli trougao — tangens

Pomjeri klizač i prati kako se mijenja odnos naspramne i priležeće katete.

α 45°

5. Glavni primjer

Primjer: Pravougli trougao ima katete: naspramna = 4 cm, priležeća = 4√3 cm (uz ugao α), hipotenuza = 8 cm. Izračunaj tan α i prepoznaj ugao.
tan α = naspramna / priležeća = 4 / (4√3) = 1/√3 = √3/3 ≈ 0,577.
Provjera preko sinusa: sin α = 4/8 = 1/2 ⇒ α = 30° — i zaista, tan 30° = √3/3 iz tabele ✓. Uočeno: ovo je poznati „30-60-90" trougao.

Primjer iz života: Rampa za skejtbording se penje pod uglom α = 20° i duga je (horizontalno, priležeća kateta) 8 m. Koliko je visoka na kraju rampe?
Tražimo naspramnu katetu, znamo priležeću (8 m) i ugao (20°) ⇒ koristimo tangens.
visina = priležeća · tan α = 8 · tan 20° ≈ 8 · 0,364 ≈ 2,91 m.
To je skoro visina jednog sprata zgrade — zato skejt rampe s velikim uglom izgledaju tako strmo!

6. Rješenje korak po korak

Priležeća kateta pravouglog trougla je 6 cm, a ugao α = 60°. Pronađimo naspramnu katetu pomoću tangensa.

b=6 cm, α = 60°Poznaješ priležnu, a tražiš naspramnu katetu a.

tg α=ab ⇒ a = b·tg αTangens poredi dvije katete.

tg 60°=√3 ≈ 1,732Koristi poznatu vrijednost posebnog ugla.

a=6√3 ≈ 10,39 cmTačan rezultat i približnu vrijednost razdvoji znakom ≈.

10,39 cm > 6 cm ✓Za ugao veći od 45° naspramna kateta je duža od priležne.

⚠️ Česte greške

Korištenje hipotenuze u tangensu: tangens NIKAD ne koristi hipotenuzu — samo dvije katete.
Pomiješan redoslijed: tan α = naspramna/priležeća, a ne obrnuto (priležeća/naspramna).
Zaboravljena tačna vrijednost tan 45°: tan 45° = 1 (ne √2/2, to je sin/cos od 45°!).
Zaboravljena provjera reda veličine: za α > 45° naspramna kateta je veća od priležeće, za α < 45° obrnuto.

✅ Kviz — provjeri sebe (4 pitanja)

1. Tangens oštrog ugla α definiše se kao:

2. Koliko je tan 45°?

3. Priležeća kateta je 5 cm, ugao α = 45°. Kolika je naspramna kateta?

4. Koja formula povezuje tangens sa sinusom i kosinusom?

Riješeni primjeri

Vježbaj uz riješene primjere. Za svaki tip zadatka slijede tri primjera. Pokušaj sam zapisati sljedeći red, pa otkrij postupak korak po korak.

Tangens iz kateta — tri riješena primjera

Primjer 1: Tangens iz kateta

Naspramna kateta ugla α je 3 cm, a priležna 4 cm. Odredi tg α i provjeri odnosom sinusa i kosinusa.

tg α=naspramnapriležna = 34Za tangens ne koristi hipotenuzu.

c=√(9+16) = 5 cmOdredi hipotenuzu za provjeru.

sin αcos α=(35) : (45)Podijeli odgovarajuće omjere.

=34 = tg α ✓Zajednički imenilac se skrati.

Primjer 2: Tangens iz kateta

Naspramna kateta ugla α je 5 cm, a priležna 12 cm. Odredi tg α i provjeri odnosom sinusa i kosinusa.

tg α=naspramnapriležna = 512Za tangens ne koristi hipotenuzu.

c=√(25+144) = 13 cmOdredi hipotenuzu za provjeru.

sin αcos α=(513) : (1213)Podijeli odgovarajuće omjere.

=512 = tg α ✓Zajednički imenilac se skrati.

Primjer 3: Tangens iz kateta

Naspramna kateta ugla α je 8 cm, a priležna 15 cm. Odredi tg α i provjeri odnosom sinusa i kosinusa.

tg α=naspramnapriležna = 815Za tangens ne koristi hipotenuzu.

c=√(64+225) = 17 cmOdredi hipotenuzu za provjeru.

sin αcos α=(817) : (1517)Podijeli odgovarajuće omjere.

=815 = tg α ✓Zajednički imenilac se skrati.

Visina iz ugla i udaljenosti — tri riješena primjera

Primjer 1: Visina iz ugla i udaljenosti

Tačka posmatranja je 6 m od podnožja stuba. Ugao prema vrhu je 45°. Odredi visinu iznad nivoa posmatranja.

tg 45°=h6Visina i udaljenost su katete.

tg 45°=1Za 45° katete su jednake.

h=6 · 1 = 6 mPomnoži udaljenost tangensom.

h6=1 ✓Ako je oko iznad tla, njegovu visinu dodaj tek za ukupnu visinu stuba.

Primjer 2: Visina iz ugla i udaljenosti

Tačka posmatranja je 10 m od podnožja stuba. Ugao prema vrhu je 45°. Odredi visinu iznad nivoa posmatranja.

tg 45°=h10Visina i udaljenost su katete.

tg 45°=1Za 45° katete su jednake.

h=10 · 1 = 10 mPomnoži udaljenost tangensom.

h10=1 ✓Ako je oko iznad tla, njegovu visinu dodaj tek za ukupnu visinu stuba.

Primjer 3: Visina iz ugla i udaljenosti

Tačka posmatranja je 14 m od podnožja stuba. Ugao prema vrhu je 45°. Odredi visinu iznad nivoa posmatranja.

tg 45°=h14Visina i udaljenost su katete.

tg 45°=1Za 45° katete su jednake.

h=14 · 1 = 14 mPomnoži udaljenost tangensom.

h14=1 ✓Ako je oko iznad tla, njegovu visinu dodaj tek za ukupnu visinu stuba.

Zahtjevi i raspored: Predmetni kurikulum KS, Matematika, označene str. 40–43. Dodatne teme su posebno označene.