Koordinatni sistem i tačke

Pokreni prezentaciju →

Mjesto u programuPonavljanje i proširenje ranije uvedenih tema. U 8. razredu obrađuješ koordinate i funkcije te osnove podataka i vjerovatnoće.

🎯 Cilj lekcijeNakon ove lekcije ti ćeš moći: imenovati dijelove koordinatnog sistema; upisati tačku A(x, y) u koordinatni sistem; prepoznati u kojem je kvadrantu data tačka; pročitati koordinate tačke sa slike.

1. Koordinatni sistem

Koordinatni sistem čine dvije brojevne prave koje se sijeku pod pravim uglom u tački O(0, 0) — koordinatnom početku. Vodoravna prava je x-osa (osa apscisa), a uspravna je y-osa (osa ordinata). Svaka tačka ravni opisuje se parom brojeva (x, y) — to su njene koordinate.

Prvi broj (x) zove se apscisa i govori koliko se pomjeriti lijevo/desno od O, a drugi broj (y) zove se ordinata i govori koliko se pomjeriti gore/dole.

2. Kvadranti

Dvije ose dijele ravan na četiri dijela — kvadranta, koji se broje suprotno od kazaljke na satu počevši od gornjeg desnog:

Kvadrant	Znak x	Znak y	Primjer
I	+	+	(3, 2)
II	−	+	(−2, 4)
III	−	−	(−3, −1)
IV	+	−	(4, −3)

Ako je x = 0, tačka je na y-osi. Ako je y = 0, tačka je na x-osi. Tačka (0, 0) je sam koordinatni početak O.

3. Upisivanje tačaka

Primjer: Upiši tačke A(3, 2), B(−2, 4), C(−3, −1), D(4, −3) u koordinatni sistem i odredi kvadrante.
A(3, 2): x > 0, y > 0 ⇒ I kvadrant.
B(−2, 4): x < 0, y > 0 ⇒ II kvadrant.
C(−3, −1): x < 0, y < 0 ⇒ III kvadrant.
D(4, −3): x > 0, y < 0 ⇒ IV kvadrant.

Primjer iz igre: Na mapi video-igre tvoj lik stoji u tački P(−6, 3), a neprijateljska baza je u tački T(5, −2). Mapa je okrenuta kao pravi kompas: gore je sjever, desno je istok.
P(−6, 3): x < 0, y > 0 ⇒ II kvadrant — to je sjeverozapadni dio mape.
T(5, −2): x > 0, y < 0 ⇒ IV kvadrant — to je jugoistočni dio mape.
Zaključak: moraš krenuti s juga prema sjeveru i sa istoka prema zapadu da stigneš od baze do svog lika! 🎮

4. Isprobaj sam: ucrtaj tačku

📍 Ucrtaj tačku u koordinatni sistem

Upiši koordinate tačke (ili klikni dugme) i gledaj kako se tačka glatko pomjera na slici.

x y

Upiši x i y i pritisni „Ucrtaj tačku".

5. Određivanje kvadranta korak po korak

Odredimo u kojem je kvadrantu tačka M(−5, 7).

M(−5,7)Prepiši tačku i redoslijed koordinata (x,y).

x=−5 < 0Prva koordinata je negativna: položaj je lijevo od y-ose.

y=7 > 0Druga koordinata je pozitivna: položaj je iznad x-ose.

(−,+) ⇒ II. kvadrantU tabeli znakova pronađi ovu kombinaciju.

M ∈ II. kvadrantZapiši zaključak za tačku M(−5,7).

⚠️ Česte greške

Zamijenjen redoslijed x i y: uvijek je prvo apscisa (x), pa ordinata (y) — tačka (3, −2) nije isto što i (−2, 3).
Pogrešno brojanje kvadranata: kvadranti se broje suprotno od kazaljke na satu, počevši od gornjeg desnog (I).
Zaboravljeno: tačka na osi nije ni u jednom kvadrantu: ako je x = 0 ili y = 0, tačka leži na osi, a ne u kvadrantu.
Pomiješani nazivi: x-osa = osa apscisa, y-osa = osa ordinata — ne obrnuto.

✅ Kviz — provjeri sebe (4 pitanja)

1. U kojem kvadrantu je tačka P(−4, −6)?

2. Tačka (0, 5) se nalazi:

3. Koja je apscisa tačke K(7, −2)?

4. Tačka ima x > 0 i y < 0. U kojem je kvadrantu?

Riješeni primjeri

Vježbaj uz riješene primjere. Za svaki tip zadatka slijede tri primjera. Pokušaj sam zapisati sljedeći red, pa otkrij postupak korak po korak.

Koordinate i kvadrant — tri riješena primjera

Primjer 1: Koordinate i kvadrant

Ucrtaj tačku A(2, 3) i odredi kvadrant.

x=2Od početka idi vodoravno: desno za plus, lijevo za minus.

y=3Od tog položaja idi uspravno: gore za plus, dolje za minus.

sgn(x)=+, sgn(y) = +Znakovi određuju kvadrant.

A ∈ I. kvadrantTačka nije na osi jer nijedna koordinata nije nula.

Primjer 2: Koordinate i kvadrant

Ucrtaj tačku A(-3, 2) i odredi kvadrant.

x=-3Od početka idi vodoravno: desno za plus, lijevo za minus.

y=2Od tog položaja idi uspravno: gore za plus, dolje za minus.

sgn(x)=−, sgn(y) = +Znakovi određuju kvadrant.

A ∈ II. kvadrantTačka nije na osi jer nijedna koordinata nije nula.

Primjer 3: Koordinate i kvadrant

Ucrtaj tačku A(-2, -4) i odredi kvadrant.

x=-2Od početka idi vodoravno: desno za plus, lijevo za minus.

y=-4Od tog položaja idi uspravno: gore za plus, dolje za minus.

sgn(x)=−, sgn(y) = −Znakovi određuju kvadrant.

A ∈ III. kvadrantTačka nije na osi jer nijedna koordinata nije nula.

Tačke simetrične prema osama — tri riješena primjera

Primjer 1: Tačke simetrične prema osama

Za A(2, 3) odredi slike pri osnoj simetriji prema koordinatnim osama.

A(2, 3)Prepiši početne koordinate.

Simetrija prema x-osi: A₁(2, -3)Prva koordinata ostaje ista, druga mijenja znak.

Simetrija prema y-osi: A₂(-2, 3)Druga koordinata ostaje ista, prva mijenja znak.

Simetrija prema početku: A₃(-2, -3)Obje koordinate mijenjaju znak.

Primjer 2: Tačke simetrične prema osama

Za A(-3, 2) odredi slike pri osnoj simetriji prema koordinatnim osama.

A(-3, 2)Prepiši početne koordinate.

Simetrija prema x-osi: A₁(-3, -2)Prva koordinata ostaje ista, druga mijenja znak.

Simetrija prema y-osi: A₂(3, 2)Druga koordinata ostaje ista, prva mijenja znak.

Simetrija prema početku: A₃(3, -2)Obje koordinate mijenjaju znak.

Primjer 3: Tačke simetrične prema osama

Za A(-2, -4) odredi slike pri osnoj simetriji prema koordinatnim osama.

A(-2, -4)Prepiši početne koordinate.

Simetrija prema x-osi: A₁(-2, 4)Prva koordinata ostaje ista, druga mijenja znak.

Simetrija prema y-osi: A₂(2, -4)Druga koordinata ostaje ista, prva mijenja znak.

Simetrija prema početku: A₃(2, 4)Obje koordinate mijenjaju znak.

Zahtjevi i raspored: Predmetni kurikulum KS, Matematika, označene str. 40–43. Dodatne teme su posebno označene.